第9讲 圆的方程（5个知识点7大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第9讲 圆的方程 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 知识点五：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 题型一：圆的标准方程 【例1】（2025·高二·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高二·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高二·广东潮州·期末）已知点和点，则以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2025·高二·天津河北·期末）过点，且圆心在直线上的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 题型二：圆的一般方程 【例2】（2025·高二·天津西青·开学考试）圆心为，半径等于的圆的一般方程是 ． 【变式2-1】已知圆的圆心坐标为，且点在圆上，则圆的一般方程为 . 【变式2-2】已知圆心的坐标为（2，-3），一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则这个圆的一般方程为 . 【变式2-3】过三点的圆的一般方程为 ． 题型三：点与圆的位置关系 【例3】（2025·高二·河北唐山·期末）已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·高二·陕西铜川·期中）已知点，圆，则（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不确定 【变式3-2】（2025·高二·甘肃白银·期中）点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 【变式3-3】若点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2025·高二·浙江·期中）若点在圆内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：二元二次曲线与圆的关系 【例4】（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 【变式4-1】（2025·高二·上海浦东新·期中）若圆的方程为，则实数的取值范围为 . 【变式4-2】（2025·高二·广东·期中）已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ． 【变式4-3】已知表示圆，则实数a的值为 题型五：圆过定点问题 【例5】点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 【变式5-1】（2025·高二·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是 ;②圆E恒过的两个定点是 . 【变式5-2】（2025·高一·河南安阳·期末）已知圆C：恒过点A，且点A在函数的图象上，则f(x)的值域为 【变式5-3】（2025·高三·浙江丽水·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于A点，直线与y轴及直线l分别交于B点，C点，且A，B，C，O四点共圆，则此圆的标准方程是 . 【变式5-4】（2025·高三·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 题型六：轨迹问题 【例6】（2025·高二·四川绵阳·期中）已知圆，直线过点 (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【变式6-1】（2025·高二·江苏苏州·期末）已知圆，直线l过点. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; (2)设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 【变式6-2】（2025·高二·内蒙古通辽·开学考试）已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求：动点的轨迹方程 【变式6-3】已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 【变式6-4】已知圆C：，点，点． (1)过点P作圆C的切线l，求出l的方程； (2)设A为圆C上的动点，G为三角形APQ的重心，求动点G的轨迹方程． 【变式6-5】已知定点A，B，且，动点P满足．请选择恰当的坐标系，求相应点P的轨迹方程，并指明轨迹是什么曲线． 题型七：阿波罗尼斯圆综合应用问题 【例7】（2025·高二·湖北荆州·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为 ． 【变式7-1】（2025·高二·四川内江·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.书中介绍到：平面内两个定点及动点，若且，则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.现已知点为圆上一动点，为圆上一动点，点，点，则的最小值为 . 【变式7-2】（2025·高二·吉林·期末）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则动点的轨迹方程为 ；点为抛物线：上的动点，点在上的射影为，则的最小值为 . 【变式7-3】（2025·高二·河南洛阳·期末）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点Q为抛物线E：上的动点，Q在轴y上的射影为H，则的最小值为 . 【变式7-4】（2025·高二·江苏无锡·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，则点所在的曲线所对应的阿波罗尼斯圆方程为 ，若点，则的最小值为 ． 1．（2025·高二·贵州遵义·期中）已知点满足，点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D．6 2．（2025·高二·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·云南昆明·期中）已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（2025·高二·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·安徽宿州·期中）已知圆与圆，则两圆圆心所在直线的方程为（   ） A．或 B． C． D． 7．已知点，若点满足，则点到直线 的距离的最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（2025·高二·云南保山·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．9 9．（2025·高二·云南红河·期末）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2025·高二·河南·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则（   ） A．为直角三角形 B．为等腰三角形 C．的外接圆方程为 D．的重心位于直线上 11．（多选题）（2025·高二·广西南宁·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．如果且，那么直线不经过第三象限. B．若直线与平行，则与的距离为. C．圆C：关于直线对称的圆方程为. D．点为圆上任意一点，则的最大值为6. 12．（多选题）（2025·高二·江苏徐州·期中）已知圆，，则（   ） A．当时，的面积是 B．实数的取值范围是 C．点在内 D．当的周长最大时，圆心坐标是 13．（2025·高二·江苏扬州·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围为 . 14．已知实数满足，则的最大值和最小值之和为 . 15．（2025·高二·青海西宁·期中）已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为 . 16．（2025·高二·浙江·期中）已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ． 17．（2025·高二·湖北·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数且，那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知直线，直线，点为和的交点. (1)求点的轨迹方程； (2)点为曲线与轴正半轴的交点，直线交曲线于A，B两点，与A，B两点不重合，直线MA、MB的斜率分别为，且，证明直线过定点，并求出该定点； (3)当点在曲线上运动时，求的最小值. 18．（2025·高二·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 19．（2025·高二·北京·期中）设直线 (1)求与直线的距离为的直线的方程； (2)求圆关于直线的对称圆的方程. 20．（2025·高二·江苏无锡·期末）已知直线：，圆：. (1)若不经过第三象限，求的取值范围； (2)当圆心到直线的距离最大时，求此时直线的方程. 21．（2025·高二·山东青岛·期末）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完成解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 已知直线l过点，且__________． ①与直线平行；②与直线垂直；③直线l的方向向量为． (1)求直线l的一般式方程； (2)已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线l上，求此圆的标准方程． 22．在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9讲 圆的方程 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 知识点五：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 题型一：圆的标准方程 【例1】（2025·高二·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D 【变式1-1】（2025·高二·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆的标准方程为， 由题意得， 解得， 故圆的方程为， 故选：B 【变式1-2】（2025·高二·广东潮州·期末）已知点和点，则以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由线段的中点坐标公式，求得圆心.直径. 故以为直径的圆的标准方程为. 故选：C 【变式1-3】圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心坐标为，它关于直线对称点为， 因此对称圆方程为， 故选：B． 【变式1-4】（2025·高二·天津河北·期末）过点，且圆心在直线上的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，的中点坐标为，且， ∴的中垂线方程为，联立， ∴，可得，即圆心为，而， ∴圆的方程是． 故选：B． 题型二：圆的一般方程 【例2】（2025·高二·天津西青·开学考试）圆心为，半径等于的圆的一般方程是 ． 【答案】 【解析】依题意，该圆的方程为，即， 所以所求圆的一般方程为：. 故答案为： 【变式2-1】已知圆的圆心坐标为，且点在圆上，则圆的一般方程为 . 【答案】 【解析】由已知点在圆上， 则半径， 即圆的标准方程为， 即， 故答案为：. 【变式2-2】已知圆心的坐标为（2，-3），一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则这个圆的一般方程为 . 【答案】x2+y2-4x+6y=0 【解析】因为直径所对的圆周角是直角，所以圆恰好过原点，故半径为， 所以圆的标准方程为，化为一般方程为x2+y2-4x+6y=0. 故答案为：x2+y2-4x+6y=0 【变式2-3】过三点的圆的一般方程为 ． 【答案】 【解析】设所求圆的方程为． 由已知，点的坐标满足上述方程，分别代入方程， 可得关于的三元一次方程组， 解方程组得， 于是得到所求圆的一般方程为． 故答案为：. 题型三：点与圆的位置关系 【例3】（2025·高二·河北唐山·期末）已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程， 只有C选项满足该方程. 故选：C 【变式3-1】（2025·高二·陕西铜川·期中）已知点，圆，则（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不确定 【答案】C 【解析】因为，所以点在圆外. 故选：C. 【变式3-2】（2025·高二·甘肃白银·期中）点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 【答案】A 【解析】因为，所以点在圆的外部． 故选：A. 【变式3-3】若点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点在圆外， 且， 解得． 故选：C． 【变式3-4】（2025·高二·浙江·期中）若点在圆内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，，解得. 故选：D 题型四：二元二次曲线与圆的关系 【例4】（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，变形得， 所以，解得. 故答案为：. 【变式4-1】（2025·高二·上海浦东新·期中）若圆的方程为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为圆的方程为，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-2】（2025·高二·广东·期中）已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ． 【答案】 【解析】因为方程表示圆， 所以①，②， 由①可得或． 当时，，不满足要求，舍去， 当时，，满足要求， 所以圆的方程为， 即，圆心为； 故答案为：. 【变式4-3】已知表示圆，则实数a的值为 【答案】 【解析】由圆的方程，知， 解得或， 当时，变为， 此时不表示圆； 当时，变为， 此时表示圆， 故. 故答案为：-1 题型五：圆过定点问题 【例5】点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 【答案】和 【解析】如图，过点作垂直于直线，垂足为， 则以为直径的圆过定点和， 因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，解得，即. 所以以为直径的圆经过定点和. 故答案为：和 【变式5-1】（2025·高二·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是 ;②圆E恒过的两个定点是 . 【答案】 【解析】①当时， 二次函数的图象与两坐标轴交于点，，， 的外接圆为圆E， 设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得， 此方程有一个根为，代入此方程得出， 所以圆E的一般方程为； ②设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得，此方程有一个根为， 代入此方程得出，所以圆E的一般方程为， 当时，或， 故圆E恒过定点. 故答案为：； 【变式5-2】（2025·高一·河南安阳·期末）已知圆C：恒过点A，且点A在函数的图象上，则f(x)的值域为 【答案】 【解析】由圆的方程知圆恒过点，即， 又点A在函数的图象上，所以，， 即，，， 从而，所以， 故答案为：． 【变式5-3】（2025·高三·浙江丽水·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于A点，直线与y轴及直线l分别交于B点，C点，且A，B，C，O四点共圆，则此圆的标准方程是 . 【答案】 【解析】由题意A，B，C，O四点共圆且，所以 ，则直线l与m垂直故，又， 此圆的圆心为，半径为＝， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 【变式5-4】（2025·高三·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 【答案】 【解析】设抛物线交轴于点，交轴于点、， 由题意可知，由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为，设圆心为， 由可得，解得， ，则，则， 所以，圆的方程为， 整理可得， 方程组的解为. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 题型六：轨迹问题 【例6】（2025·高二·四川绵阳·期中）已知圆，直线过点 (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【解析】（1）若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离为半径， 故直线为圆的切线； 若直线的斜率存在，设切线方程为， 则，故，此时切线方程为， 综上，切线的方程为或. （2）设点则，由点是的中点得， 所以① ，因为在圆上运动，所以②， ①代入②得  化简得点的轨迹方程是. 【变式6-1】（2025·高二·江苏苏州·期末）已知圆，直线l过点. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; (2)设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 【解析】（1）已知圆C的圆心是，半径是2， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意; 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心O到直线l的距离为=2，解得，故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. （2）设点，则由点M是线段AB的中点得，所以①， 因为点B在圆C上运动，所以②，将①代入②得， 化简得点M的轨迹方程是. 【变式6-2】（2025·高二·内蒙古通辽·开学考试）已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求：动点的轨迹方程 【解析】设，由中点坐标公式可得， 所以， 又点在圆：上， 所以， 将代入得，即， 所以的轨迹方程为. 【变式6-3】已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 【解析】（1）设圆心为，由题意可得， 则，解得，所以，圆的半径为， 故圆的方程为． （2）设点，共中，则，设点， 因为，则， 可得，可得， 因为点在圆上，则，即． 故点的轨迹方程为． 【变式6-4】已知圆C：，点，点． (1)过点P作圆C的切线l，求出l的方程； (2)设A为圆C上的动点，G为三角形APQ的重心，求动点G的轨迹方程． 【解析】（1）由C：， 则圆心，半径， 当切线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意； 当切线l的斜率存在时,则设切线l的方程为，即， 所以，解得， 此时切线l的方程为，即. 综上所述，切线l的方程为或. （2）设，， 因为，，G为三角形APQ的重心， 所以，即， 由A为圆C上的动点，得， 则，整理得， 即动点G的轨迹方程为． 【变式6-5】已知定点A，B，且，动点P满足．请选择恰当的坐标系，求相应点P的轨迹方程，并指明轨迹是什么曲线． 【解析】如图，以AB所在直线为x轴，AB中点O为原点建立平面直角坐标系， 则，，设， 则由，得， 整理得，即， 所以点P的轨迹方程为，是以为圆心，为半径的圆． 题型七：阿波罗尼斯圆综合应用问题 【例7】（2025·高二·湖北荆州·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】 当时，，此时交点为， 当时，由直线，斜率为k； 由直线，斜率为，， 又，所以直线恒过点， ，所以直线恒过， 若M为，的交点，则， 所以点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，E点, 综合以上两种情况，点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故M的轨迹方程为，即， 又,易知在该圆内，又由题意可知圆C上一点 满足，取，则，满足.下面证明任意一点都满足，即， 因为， 又,所以, 所以， 又，， 如图,当且仅当三点共线,且M位于N,D之间时,等号成立,即的最小值为. 故答案为： 【变式7-1】（2025·高二·四川内江·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.书中介绍到：平面内两个定点及动点，若且，则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.现已知点为圆上一动点，为圆上一动点，点，点，则的最小值为 . 【答案】9 【解析】由为圆上一动点，得，， 又，. 因为，，所以，于是. 当共线且时取得最小值，即. 所以，当共线时等号成立. 故答案为：9. 【变式7-2】（2025·高二·吉林·期末）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则动点的轨迹方程为 ；点为抛物线：上的动点，点在上的射影为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设为所求轨迹上任意一点， ∵，，动点满足， ∴， ∴， ∴， 化简可得动点的轨迹方程为； ∵抛物线C：的焦点为，准线为， 所以， ∴ ， 当且仅当，，，四点共线时，等号成立， ∴的最小值为 故答案为：； 【变式7-3】（2025·高二·河南洛阳·期末）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点Q为抛物线E：上的动点，Q在轴y上的射影为H，则的最小值为 . 【答案】 / 【解析】设，已知，， 则，化简整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆； 抛物线的焦点，准线方程为， 则， 当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号， 又， 所以的最小值为. 故答案为：； 【变式7-4】（2025·高二·江苏无锡·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，则点所在的曲线所对应的阿波罗尼斯圆方程为 ，若点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设，因为，且， 则，整理得到，即， 所以点所在的曲线所对应的阿波罗尼斯圆方程为. 因为，又，，所以， 故答案为：，. 1．（2025·高二·贵州遵义·期中）已知点满足，点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【解析】 因为，变形得，所以轨迹是以为圆心，以为半径的圆的上半部分，如图所示，则当与点重合时线段长度最大， 可知当与点重合时，,在中根据勾股定理可知. 故选：C. 2．（2025·高二·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 3．（2025·高二·云南昆明·期中）已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】圆： 的标准方程为， 所以圆的圆心和半径分别是，. 故选：B 4．（2025·高二·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，则的中点为，且， 所以为直径的圆的方程为，即， 故选：A. 5．（2025·高二·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 6．（2025·高二·安徽宿州·期中）已知圆与圆，则两圆圆心所在直线的方程为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心为， 圆可化为， 所以圆心为，圆心所在直线的斜率为，所以两圆圆心所在直线的方程为. 故选：C 7．已知点，若点满足，则点到直线 的距离的最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解析】令，由，可得， 可得点的轨迹方程为，其中圆心，半径为2. 而直线过定点， 故距离的最大值为. 故选：D 8．（2025·高二·云南保山·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】A 【解析】化简整理得 ∴点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆； 而表示的是圆上的动点与圆外一定点间的距离， ∴的最小值即为的最小值， 而，∴的最小值为. 故选：A． 9．（2025·高二·云南红河·期末）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的标准方程为：，圆心. 圆的标准方程为：，圆心. 所以线段的中点为， 由题意，为线段的垂直平分线，且，所以， 所以的方程为，则. 故选：D 10．（多选题）（2025·高二·河南·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则（   ） A．为直角三角形 B．为等腰三角形 C．的外接圆方程为 D．的重心位于直线上 【答案】ABC 【解析】因为，所以，则是以为直角顶点的直角三角形，故A正确； 因为两点间的距离公式计算得到，所以是等腰三角形，故B正确； 由知的外接圆是以线段为直径的圆，其圆心为，半径，所以外接圆方程为，故C正确； 的重心坐标为，即，显然不在直线上，故D错误． 故选：ABC． 11．（多选题）（2025·高二·广西南宁·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．如果且，那么直线不经过第三象限. B．若直线与平行，则与的距离为. C．圆C：关于直线对称的圆方程为. D．点为圆上任意一点，则的最大值为6. 【答案】ABC 【解析】对于A，当时，直线等价于， 由于且，所以直线的斜率，轴截距， 即该直线经过第一、第二、第四象限，故A正确； 对于B，由直线与平行，则， 此时可化简直线与，再由平行线间距离公式得： ，故B正确； 对于C，由圆C：可得，圆心， 设圆心关于直线的对称圆心为， 则，解得， 则对称圆的方程为，故C正确； 对于D，由于可以看成动点到原点距离的平方， 即可求圆心到原点的距离为，而圆的半径为， 所以圆上的动点到原点的最大距离是， 即的最大值是，故D错误； 故选：ABC． 12．（多选题）（2025·高二·江苏徐州·期中）已知圆，，则（   ） A．当时，的面积是 B．实数的取值范围是 C．点在内 D．当的周长最大时，圆心坐标是 【答案】AB 【解析】对于A，由，则，整理可得， 所以此时方程表示以为圆心，以为半径的圆，其面积为，故A正确； 对于B，由，则， 可得，解得，故B正确； 对于C，由圆，则圆心，半径， 点到圆心的距离为， 当时，，此时点在圆外，故C错误； 对于D，当圆的周长最大时，半径取最大，即，，此时圆心，故D错误. 故选：AB. 13．（2025·高二·江苏扬州·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】若方程表示圆， 则，即，可得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14．已知实数满足，则的最大值和最小值之和为 . 【答案】4 【解析】由题设，令，，且， 所以，且， 所以的最大、最小值分别为、，故它们的和为4. 故答案为：4. 15．（2025·高二·青海西宁·期中）已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设， M为线段的中点，， 而A是圆C上一动点， 故， 整理得：， 即， 故动点M的轨迹方程为. 故答案为： 16．（2025·高二·浙江·期中）已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】如下图所示： 点关于轴的对称点为，圆的圆心为，半径为， 由于为轴上的动点，由对称性知， 所以， 当且仅当、分别为线段与圆、轴的交点时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 17．（2025·高二·湖北·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数且，那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知直线，直线，点为和的交点. (1)求点的轨迹方程； (2)点为曲线与轴正半轴的交点，直线交曲线于A，B两点，与A，B两点不重合，直线MA、MB的斜率分别为，且，证明直线过定点，并求出该定点； (3)当点在曲线上运动时，求的最小值. 【解析】（1）当时，，此时，交点为 当时，由，斜率为t， 由，斜率为，综上，. 直线恒过，直线恒过，若为的交点，则，设点， 所以点的轨迹是以EF为直径的圆， 又因为当代入方程得到不成立，所以点的轨迹不包含点. 则圆心为EF的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为 （2），设， 当斜率存在时，直线的方程为，故 将直线方程与圆的方程进行联立， 整理得：， ∴ 将其带入中可得：， 化简得， ∴或， 由于M与A，不重合，则直线的方程为恒过定点（）； 当直线的斜率不存在时， 设，则， 故可得，即则直线，仍恒过定点， 综上可得，则直线恒过定点 （3），易知R、Q在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取，则，满足. 下面证明任意一点，都满足，即， 即,所以 ，即当且仅当D，P，Q三点共线，且P位于D，Q之间时，等号成立. 即的最小值为 18．（2025·高二·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【解析】（1）因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为． （2）设圆的方程为（其中， 因为、、三点都在圆上，可得，                 解得，，，满足， 所以所求圆的方程为，即. 19．（2025·高二·北京·期中）设直线 (1)求与直线的距离为的直线的方程； (2)求圆关于直线的对称圆的方程. 【解析】（1）由题意可知该直线与直线平行， 所以设该直线方程为， 依题意，解得或， 故该直线方程为或. （2）圆的圆心为， 设圆心关于直线的对称点为， 则且的中点在直线上． ，解得， ， 圆关于直线的对称圆半径不变， 该对称圆方程为：． 20．（2025·高二·江苏无锡·期末）已知直线：，圆：. (1)若不经过第三象限，求的取值范围； (2)当圆心到直线的距离最大时，求此时直线的方程. 【解析】（1）直线：化为， 由不经过第三象限，得，解得， 所以的取值范围是. （2）圆：的圆心，直线：恒过定点， 当且仅当时，点到直线的距离最大，此时直线的斜率， 直线的斜率，直线的方程. 21．（2025·高二·山东青岛·期末）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完成解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 已知直线l过点，且__________． ①与直线平行；②与直线垂直；③直线l的方向向量为． (1)求直线l的一般式方程； (2)已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线l上，求此圆的标准方程． 【解析】（1）若选①与直线平行，则直线l的斜率 又其过点，故直线l的方程为，整理得 若选②与直线垂直，则直线l的斜率k满足，解得 又其过点，故直线l的方程为，整理得 若选③直线l的方向向量为，则直线l的斜率 又其过点，故直线l的方程为，整理得 综上，直线方程为： （2）设圆心C的坐标为，因为C在上， 所以① 因为A，B是圆上两点，所以有 即②.由①②得 所以圆心C坐标为，圆的半径 综上，所求圆的标准方程是 22．在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【解析】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$