第06讲 圆的标准方程-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第06讲 圆的标准方程 1．回顾确定圆的几何要素． 2．在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程． 知识点一 直线的斜率 1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 2．圆的要素：圆心和半径，如图所示． 3．圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)． 知识点二 直线的倾斜角圆的标准方程的三个参数 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件． 考点一：求直线的斜率 例1 写出圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5，－7)，M2(－2，－1)是否在这个圆上．若该点不在圆上，说明该点在圆外还是在圆内？ 【总结】 判断点P与圆C位置关系的方法 方法一：利用点P到圆心C的距离d与半径r的大小关系来判断： 若d>r则点P在圆外； 若d＝r则点P在圆上； 若d<r则点P在圆内． 方法二：根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断： (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外； (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上； (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内． 变式 已知两点P1(3,8)和P2(5,4)，求以线段P1P2为直径的圆的标准方程，并判断点M(5,3)，N(3,4)，P(3,5)是在圆上、圆内、还是圆外． 考点二：求圆的标准方程 例2 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程． 【总结】 求圆的标准方程的两种方法 (1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 (2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程． 变式 圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆的标准方程为____________________． 考点三：圆的标准方程的实际应用 例3 赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥．如图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径． 【总结】 求与圆的方程有关的实际应用问题的解题步骤 变式 某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？ 1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为(　　) A．(－1,5)， B．(1，－5)， C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3 2．点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 3．(多选)下列说法错误的是(　　) A．圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1,2)，半径为5 B．圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2,0)，半径为b C．圆(x－)2＋(y＋)2＝2的圆心为(，－)，半径为 D．圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(2,2)，半径为 4．已知点A(3，－2)，B(－5,4)，则以线段AB为直径的圆的方程是________． 5．求圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程． 1．圆心为(3,1)，半径为5的圆的标准方程是(　　) A．(x＋3)2＋(y＋1)2＝5 B．(x＋3)2＋(y＋1)2＝25 C．(x－3)2＋(y－1)2＝5 D．(x－3)2＋(y－1)2＝25 2．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周长是(　　) A．π B．2π C．2π D．2π 3．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　) A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝ C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4 4．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 5．若点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是(　　) A．(－1,1) B．(0,1) C． D． 6．(多选)过点A(1，－1)与B(－1,1)且半径为2的圆的方程可以为(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 D．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 7．(多选)若直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的周长，则mn的取值可能是(　　) A