预习第13讲 圆的方程 2025年升高二暑假数学讲义（人教A版2019必修第二册）

第13讲 圆的方程 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 圆的标准方程 【题型二】 圆的一般方程 【题型三】 求圆的方程 【题型四】 求轨迹方程 【题型五】 圆的方程的运用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解圆的定义； 2.掌握圆的标准方程和一般方程； 3.会利用待定系数法或几何法求圆的方程； 4.理解曲线的轨迹方程的概念，会求简单曲线方程. 【题型一】 圆的标准方程 相关知识点讲解 1 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径. 2 圆的标准方程 ，称之为圆心为，半径为的圆的标准方程. 证明 在直角坐标系中，设圆上任意一点，由圆的定义可得， 由两点距离公式可得， 两边平方得 ， 若点在上，点的坐标满足方程；反过来，若点的坐标满足方程，就说明点在上. 【典题1】（24-25高二上·贵州黔东南·期末）若圆的圆心为，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D． 变式练习 1（2025·河北保定·一模）已知O为坐标原点，圆，则（    ） A．2 B．3 C． D．5 2（24-25高二上·福建福州·期中）给定圆的方程，则过坐标原点和圆心的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型二】 圆的一般方程 相关知识点讲解 圆的一般方程 解释 (1) 圆的标准方程可变形为， 比如 圆变形为； 但形如的方程不一定能表示为圆， 比如 ，对其配方得，其中. (2) 要满足什么条件方程才能表示圆呢？ 证明 ， 对其左边进行配方得， 当时，它可以表示以为圆心，为半径的圆； 当时，方程只有一组实数解，它表示一个点； 当时，方程没有实数解，它不表示任何图形. 【典题1】（24-25高二上·湖北·期末）已知圆上的所有点都在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高三下·山西·期中）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·河北廊坊·期中）若点在圆外，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型三】 求圆的方程 相关知识点讲解 待定系数法 先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用一般方程，需要求出； 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 【典题1】（24-25高二上·海南·期末）已知圆过点，，且圆心在轴上，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【题型四】 求轨迹方程 相关知识点讲解 曲线方程的理解 若动点的横坐标，纵坐标满足方程，则在直角坐标系中，动点的轨迹为由方程确定的曲线. (2) 求轨迹方程的方法 ① 代数法，建立动点的横、纵坐标的方程； ② 几何法，通过题中已知条件确定动点符合的几何图形，再求轨迹方程. (3) 代数法求轨迹方程的一般步骤 ① 设动点的坐标， ② 根据已知条件得到与动点相关的等量关系，进而得到关于的方程； ③ 化简方程得到动点的轨迹方程． 【典题1】（24-25高一下·浙江·期中）已知点、，点满足，记的轨迹为，下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的方程为 C．点的轨迹所围成的面积为 D．点的轨迹所围成的面积为 变式练习 1（23-24高二上·河北唐山·期末）线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 2（24-25高二下·贵州黔西·期中）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 3（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知点的坐标为，动点满足，为坐标原点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4（2025·江西·模拟预测）已知点A，B是圆C：上的两个动点，O为原点，点A，B，O共线，点D为AB的中点，则点D的轨迹长度为（    ） A． B．2π C． D． 【题型五】 圆的方程的运用 【典题1】（2025·河北·模拟预测）已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【典题2】（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，直线：与圆C：交于A，B两点. (1)证明恒过定点，并求出原点到直线的最大距离； (2)已知点在圆C上，求的取值范围. 变式练习 1（24-25高三下·湖南邵阳·阶段练习）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 2（2025高三·全国·专题练习）设，为圆：的直径，则等于（    ） A．4 B．21 C．25 D．29 3（2025·新疆·模拟预测）已知，动圆经过原点，且圆心在直线上.当直线的斜率取最大值时，动圆的面积为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知A，B是圆O: 上的两点，且A，B，O(O为坐标原点)三点共线，点，则·=（    ） A．1 B．3 C．21 D．25 5（24-25高二下·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【A组---基础题】 1（2025·浙江台州·二模）已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（   ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 2（24-25高二上·江苏泰州·期末）圆的圆心为（   ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·北京昌平·期末）以，为直径的两个端点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4（24-25高二上·重庆·期末）方程所表示的图形是（    ） A．一个圆 B．一个半圆 C．两个圆 D．两个半圆 5（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知点到两个定点的距离之比为2，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 6（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，若从点发出的光线经过点，且被轴反射后将圆平分，则实数（   ） A． B． C． D． 7（24-25高二上·广西·期中）已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 8（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知直线：，圆：. (1)若不经过第三象限，求的取值范围； (2)当圆心到直线的距离最大时，求此时直线的方程. 9（24-25高二上·广东深圳·期末）已知的三个顶点分别是，，，求： (1)线段AB的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程. 10（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【B组---提高题】 1（24-25高三上·安徽·期末）在平面直角坐标系中，已知点，第一象限内的一个动点满足，设动点的轨迹为曲线l，若l完全在一个正方形内，则正方形面积的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 2（24-25高二上·安徽·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上，且满足，当且时，点P的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，，且，当面积取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·江西九江·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，的外接圆为圆，直线与圆相交于两点． (1)求圆的标准方程； (2)设直线的倾斜角分别为，求的值． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 圆的方程 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 圆的标准方程 【题型二】 圆的一般方程 【题型三】 求圆的方程 【题型四】 求轨迹方程 【题型五】 圆的方程的运用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解圆的定义； 2.掌握圆的标准方程和一般方程； 3.会利用待定系数法或几何法求圆的方程； 4.理解曲线的轨迹方程的概念，会求简单曲线方程. 【题型一】 圆的标准方程 相关知识点讲解 1 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径. 2 圆的标准方程 ，称之为圆心为，半径为的圆的标准方程. 证明 在直角坐标系中，设圆上任意一点，由圆的定义可得， 由两点距离公式可得， 两边平方得 ， 若点在上，点的坐标满足方程；反过来，若点的坐标满足方程，就说明点在上. 【典题1】（24-25高二上·贵州黔东南·期末）若圆的圆心为，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为圆， 所以圆心的坐标为 则圆心到直线的距离为. 故选：D. 变式练习 1（2025·河北保定·一模）已知O为坐标原点，圆，则（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】求出圆心坐标，再利用两点间距离公式计算得解. 【详解】圆的圆心，所以. 故选：C 2（24-25高二上·福建福州·期中）给定圆的方程，则过坐标原点和圆心的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得圆心为，从而可得直线方程的斜率为-4，由直线的点斜式方程即可求解. 【详解】由圆的标准方程可知，圆心为， 则过坐标原点和圆心的直线方程的斜率为： ， 由直线的点斜式可得 ，即 . 故选：B. 【题型二】 圆的一般方程 相关知识点讲解 圆的一般方程 解释 (1) 圆的标准方程可变形为， 比如 圆变形为； 但形如的方程不一定能表示为圆， 比如 ，对其配方得，其中. (2) 要满足什么条件方程才能表示圆呢？ 证明 ， 对其左边进行配方得， 当时，它可以表示以为圆心，为半径的圆； 当时，方程只有一组实数解，它表示一个点； 当时，方程没有实数解，它不表示任何图形. 【典题1】（24-25高二上·湖北·期末）已知圆上的所有点都在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化成标准方程，结合题意得到不等式组，解之即得. 【详解】由，配方得， 则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得， 故实数的取值范围是. 故选：A. 变式练习 1（24-25高三下·山西·期中）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的方程化为标准方程后可得所求． 【详解】将圆方程化为标准方程得， 所以圆心坐标为． 故选：D 2（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件，即可求解. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 3（24-25高二上·河北廊坊·期中）若点在圆外，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出关于的不等式组即可求解. 【详解】若点在圆即圆外， 则，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D. 【题型三】 求圆的方程 相关知识点讲解 待定系数法 先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用一般方程，需要求出； 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 【典题1】（24-25高二上·海南·期末）已知圆过点，，且圆心在轴上，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心在轴上，设出圆的方程，把点，的坐标代入圆的方程即可求出答案. 【详解】因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为， 因为点，在圆上，所以，解得， 所以圆的方程是. 故选：B. 变式练习 1（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆上一点到圆心的距离即为半径，即可写出圆的方程. 【详解】圆心为的圆的方程为， 又因为原点在圆上，则， 所以. 故选：D. 2已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可. 【详解】设中点为O，则，即， 设圆半径为r，则， 则以为直径的圆的方程为. 故选：B. 3（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D 4（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆方程为，代入三点坐标求出系数即可. 【详解】设的外接圆方程为， 因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为. 故选：D. 【题型四】 求轨迹方程 相关知识点讲解 曲线方程的理解 若动点的横坐标，纵坐标满足方程，则在直角坐标系中，动点的轨迹为由方程确定的曲线. (2) 求轨迹方程的方法 ① 代数法，建立动点的横、纵坐标的方程； ② 几何法，通过题中已知条件确定动点符合的几何图形，再求轨迹方程. (3) 代数法求轨迹方程的一般步骤 ① 设动点的坐标， ② 根据已知条件得到与动点相关的等量关系，进而得到关于的方程； ③ 化简方程得到动点的轨迹方程． 【典题1】（24-25高一下·浙江·期中）已知点、，点满足，记的轨迹为，下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的方程为 C．点的轨迹所围成的面积为 D．点的轨迹所围成的面积为 【答案】B 【分析】设点，由结合平面内两点间的距离公式化简可得曲线的方程，确定曲线的形状，结合圆的相关知识求解即可. 【详解】设点，由可得， 整理可得，故曲线的方程为， 所以，曲线是圆心为原点，半径为的圆，故点的轨迹所围成的面积为， B对，ACD错. 故选：B. 变式练习 1（23-24高二上·河北唐山·期末）线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用几何法直接求出轨迹方程，进而由圆的面积公式求解. 【详解】，设为线段中点， ，设，则，即． 则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； 故线段中点的轨迹所围成图形的面积为. 故选：D 2（24-25高二下·贵州黔西·期中）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式求出点的轨迹可得. 【详解】设点， 因为，所以， 整理得 ， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 所以点到直线的最大距离． 故选：B． 3（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知点的坐标为，动点满足，为坐标原点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，从而的最大值为，得到答案. 【详解】点的坐标为，动点满足， 故点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 圆的方程为， 圆心与原点的距离为， 则的最大值为. 故选：B 4（2025·江西·模拟预测）已知点A，B是圆C：上的两个动点，O为原点，点A，B，O共线，点D为AB的中点，则点D的轨迹长度为（    ） A． B．2π C． D． 【答案】C 【分析】根据D点的性质，求出轨迹方程，确定轨迹是一个新的圆，找到轨迹对应的圆心角度数，即可求出轨迹长度. 【详解】 由题意知，变形得，可知圆是以为圆心，以2为半径的圆，画出示意图，根据垂径定理可知，，则点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆的一部分. 如图，过原点作圆的切线切点分别为，连接. 易知，则，所以，同理可知可得， 当圆周角为时，圆心角为，则弧长轨迹. 故选：C. 【题型五】 圆的方程的运用 【典题1】（2025·河北·模拟预测）已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】通过直线方程求出两条直线所过的定点，再根据两直线垂直的条件判断两直线垂直，进而确定点的轨迹，最后结合点的位置求出的最小值. 【详解】可变形为由可得，则恒过定点， 同理可得恒过定点，且有，则， 此时的轨迹是以为直径的圆：． 因，由图知，当点在线段上时，的值最小，其最小值为. 故选：A． 【典题2】（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，直线：与圆C：交于A，B两点. (1)证明恒过定点，并求出原点到直线的最大距离； (2)已知点在圆C上，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，最大距离 (2) 【分析】（1）将化为，令即可求出定点，当直线与定点和原点构成直线垂直时，原点到直线的距离最大，得到答案； （2）根据的几何意义为点到的距离，结合与圆的位置关系，结合半径和圆心到得到答案. 【详解】（1）由直线：， 得， 联立，解得， 所以恒过定点， 设直线恒过定点为, 则当时，原点到直线的距离最大，最大距离为. （2）点在圆C上，的几何意义为点到的距离， 因为圆C：，即，圆心， 又因为，所以在圆内， 所以到的距离的最大值为， 到的距离的最大值为 所以， 所以的取值范围为. 变式练习 1（24-25高三下·湖南邵阳·阶段练习）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对称性，确定，时的面积即可求解. 【详解】解：当，时，可得， ，表示的图形占整个图形的， 而，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆， ∴ 故围成的图形的面积为： 故选：A 2（2025高三·全国·专题练习）设，为圆：的直径，则等于（    ） A．4 B．21 C．25 D．29 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算将数量积转化成与的长度关系再求解. 【详解】由圆，得圆心的坐标为，半径为2， 所以. 故选：B． 3（2025·新疆·模拟预测）已知，动圆经过原点，且圆心在直线上.当直线的斜率取最大值时，动圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心直线上可得，即可根据基本不等式求解的最值，即可得斜率的最值，根据不等式取等条件可得圆的半径. 【详解】由于经过原点，所以， 圆心在直线上,所以， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故， 因此圆的面积为， 故选：C 4（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知A，B是圆O: 上的两点，且A，B，O(O为坐标原点)三点共线，点，则·=（    ） A．1 B．3 C．21 D．25 【答案】C 【分析】设，则，，然后由数量积坐标表示可得答案. 【详解】设，因A，B，O(O为坐标原点)三点共线，则，. 又，则·， . 故选：C 5（24-25高二下·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在， (2)过定点或 【分析】（1）令，得，根据结合韦达定理得到，得到半径和圆心，得到圆方程. （2）设过A，B，C的圆P的方程为列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可. 【详解】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 【A组---基础题】 1（2025·浙江台州·二模）已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（   ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 【答案】D 【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：D 2（24-25高二上·江苏泰州·期末）圆的圆心为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得圆心. 【详解】由的标准式为，故圆心为. 故选：A 3（24-25高二上·北京昌平·期末）以，为直径的两个端点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可． 【详解】易知该圆圆心为的中点，半径， 所以该圆方程为：． 故选：D． 4（24-25高二上·重庆·期末）方程所表示的图形是（    ） A．一个圆 B．一个半圆 C．两个圆 D．两个半圆 【答案】D 【分析】根据和，平方化简可得圆的方程，即可求解. 【详解】由于，故或， 当时，则，平方可得，表示圆心为半径为2的右半圆， 当时，则，平方可得，表示圆心为半径为2的左半圆， 故选：D 5（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知点到两个定点的距离之比为2，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合两点间距离公式列出方程，再化简可得答案. 【详解】由得， 整理得. 故选：C. 6（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，若从点发出的光线经过点，且被轴反射后将圆平分，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点关于轴的对称点为，分析可知，点、、圆心三点共线，结合可求得的值. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为， 由对称性可知，点、、圆心三点共线，则，即，解得. 故选：A. 7（24-25高二上·广西·期中）已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据得到，代入圆中，得到轨迹方程. 【详解】设，因为，所以， 又在圆：上， 故，即的方程为． 故选：C 8（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知直线：，圆：. (1)若不经过第三象限，求的取值范围； (2)当圆心到直线的距离最大时，求此时直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）化直线的方程为斜截式，再由已知列出不等式求解. （2）求出圆的圆心及直线所过的定点，借助几何意义确定圆心到直线的距离最大的条件，进而求出直线方程. 【详解】（1）直线：化为， 由不经过第三象限，得，解得， 所以的取值范围是. （2）圆：的圆心，直线：恒过定点， 当且仅当时，点到直线的距离最大，此时直线的斜率， 直线的斜率，直线的方程. 9（24-25高二上·广东深圳·期末）已知的三个顶点分别是，，，求： (1)线段AB的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求出AB中点的坐标与直线AB的斜率，然后根据垂直平分线的性质算出AB的垂直平分线的方程； （2）设出的外接圆的一般式方程，根据A、B、C的坐标求出D、E、F，即可得到的外接圆的方程． 【详解】（1）根据题意，可得，所以AB的垂直平分线的斜率， 结合AB的中点为，可得AB的垂直平分线方程为，即； （2）设的外接圆的方程为， 根据题意，可得，解得， 所以的外接圆的方程为 10（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1) (2)，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【分析】（1）利用待定系数法求解圆的方程即可. （2）根据题干设的坐标是，点的坐标是，再由， 列出方程代入即可求得轨迹方程. 【详解】（1）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （2）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【B组---提高题】 1（24-25高三上·安徽·期末）在平面直角坐标系中，已知点，第一象限内的一个动点满足，设动点的轨迹为曲线l，若l完全在一个正方形内，则正方形面积的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】结合题意求出动点的轨迹方程，再讨论边界情况，进而求出正方形最小边长，再得到最小面积即可. 【详解】设，由两点间距离公式得， ，因为，所以， 同时平方得，即， 故，得到， 配方得，即， 故是以为圆心，为半径的圆的一部分， 令，解得(负根舍去)，令，解得(负根舍去)， 若l完全在一个正方形内，则该轨迹两端点的连线为正方形的对角线， 此时由勾股定理得正方形的对角线为，边长为， 得到正方形面积的最小值，故A正确. 故选：A 2（24-25高二上·安徽·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上，且满足，当且时，点P的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，，且，当面积取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据得到轨迹方程，并得到，表达出，当时，面积最大，求出，，由余弦定理得到答案. 【详解】由题意设，，， 由得：， 化简得，故， ∵，∴当时，面积最大， 此时不妨设，则，. ∴. 故选：D. 3（24-25高二上·江西九江·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，的外接圆为圆，直线与圆相交于两点． (1)求圆的标准方程； (2)设直线的倾斜角分别为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用待定系数法，求出圆的一般方程，再转化成标准方程，即可求解； （2）先求圆心到直线的距离，数形结合求得，再利用倍角公式，即可求解. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 则解得 所以圆的一般方程为，故圆的标准方程为. （2）如图，点到直线的距离， 又圆的半径，所以， 所以. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$