第8讲 直线的交点坐标与距离公式（5个知识点9大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第8讲 直线的交点坐标与距离公式 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数． 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 知识点三：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握． 知识点四：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 知识点五：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 知识点诠释： （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 题型一：判断两直线的位置关系 【典例1-1】（2025·高二·上海宝山·开学考试）已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，与函数图像的交点分别为C，D，则直线与（    ） A．相交，且交点在坐标原点 B．相交，且交点在第一象限 C．相交，且交点在第二象限 D．相交，且交点在第四象限 【典例1-2】（2025·高二·上海长宁·期末）记，则“”是“方程组有唯一解”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】两条直线与的交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法： ①若方程组无解，则两直线平行； ②若方程组只有一解，则两直线相交； ③若方程组有无数多解，则两直线重合． 其中说法正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【变式1-2】曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 题型二：过两条直线交点的直线系方程 【典例2-1】（2025·高二·四川成都·期中）已知点，和直线l：（），直线l与线段AB有公共点，则m的取值范围是 . 【典例2-2】若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ． 【变式2-1】经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【变式2-2】经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为 ． 题型三：交点问题 【典例3-1】直线：与直线：的交点坐标为 . 【典例3-2】（2025·高二·湖南长沙·期中）直线与直线的交点坐标为 【变式3-1】（2025·高二·重庆·期中）直线与直线的交点坐标为 . 【变式3-2】（2025·高二·广西玉林·期中）若直线经过两直线和的交点，则 . 【变式3-3】（2025·高二·广东惠州·期中）已知两条直线和相交，则这两条直线的交点坐标为 ； 题型四：对称问题 【典例4-1】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）点关于直线对称的点的坐标为 ． 【典例4-2】（2025·高二·安徽合肥·期末）一条光线从点射出，经过直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【变式4-1】（2025·高二·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 【变式4-2】（2025·高二·山西吕梁·期末）一条光线从点出发射到直线上的点B，经直线反射后，反射光线恰好经过点，则入射光线所在直线的斜率为 ． 【变式4-3】如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是 . 【变式4-4】在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长是 . 题型五：两点间的距离 【典例5-1】已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 . 【典例5-2】已知，且，则 ． 【变式5-1】（2025·高二·天津红桥·期中）已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为 ． 【变式5-2】（2025·高二·天津和平·开学考试）直线与之间的距离的最大值为 . 题型六：点到直线的距离 【典例6-1】（2025·高二·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【典例6-2】（2025·高二·四川乐山·期末）点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式6-1】（2025·高二·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【变式6-2】已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 题型七：两平行直线间的距离 【典例7-1】直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 【典例7-2】（2025·高二·浙江·期中）若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·高二·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-3】已知两条平行直线与之间的距离为，则的值为（    ） A．或8 B．或9 C．或2 D．或2 题型八：距离问题的综合灵活运用 【典例8-1】（2025·高二·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【典例8-2】（2025·高二·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【变式8-1】（2025·高一·山东滨州·竞赛）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为 . 【变式8-2】著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ． 题型九：线段和与差的最值问题 【典例9-1】（2025·高二·河北石家庄·期末）已知，，则的最小值为 . 【典例9-2】（2025·高二·福建泉州·期中）函数的最小值为 ． 【变式9-1】（2025·高二·江苏镇江·期中）函数的最大值为 . 【变式9-2】已知，则的最小值为 . 【变式9-3】已知，为实数，代数式的最小值是 . 1．过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A． B． C． D． 3．点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 5．（2025·广东佛山·二模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 6．（2025·高二·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·高二·甘肃金昌·期中）两平行直线，之间的距离为（   ） A． B． C．1 D． 10．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 11．直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·高二·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 13．（多选题）（2025·高二·青海西宁·期中）下列说法不正确的有（    ） A．直线过定点 B．若两直线与平行，则实数的值为1 C．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 14．（多选题）（2025·高一·浙江杭州·期中）在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（   ） A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形 C． D． 15．（多选题）（2025·高二·宁夏吴忠·期中）对于直线，．以下说法错误的有（    ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 16．（多选题）（2025·高二·福建福州·期中）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最大值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 17．平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是 .    18．已知，，则S的最小值是 . 19．函数的最大值为 ． 20．（2025·高二·浙江温州·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为 ． 21．已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为 ． 22．在平面直角坐标下中，有四个定点及一个动点，则的最小值为 ． 23．已知三条直线：，，，且与间的距离是， (1)求 的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点 到的距离是点 到的距离的；③点 到的距离与点 到的距离之比是，若能，求点 的坐标；若不能，说明理由 24．已知直线，直线， (1)若与相交，求实数的值； (2)若与平行.求实数的值并求出此时两直线间的距离. 25．已知的三个顶点的坐标为，，．求： (1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； (2)点C关于直线AB对称点的坐标； (3)求的面积． 26．在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 27．已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若，求直线关于直线对称的直线方程. (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8讲 直线的交点坐标与距离公式 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数． 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 知识点三：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握． 知识点四：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 知识点五：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 知识点诠释： （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 题型一：判断两直线的位置关系 【典例1-1】（2025·高二·上海宝山·开学考试）已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，与函数图像的交点分别为C，D，则直线与（    ） A．相交，且交点在坐标原点 B．相交，且交点在第一象限 C．相交，且交点在第二象限 D．相交，且交点在第四象限 【答案】A 【解析】由得，得， 所以直线AB的方程为，即 由得，得 所以直线CD的方程为，即， 直线与相交，且交点在坐标原点， 故选：A. 【典例1-2】（2025·高二·上海长宁·期末）记，则“”是“方程组有唯一解”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】，由可得，即， 由两直线方程可知，两条直线必然相交，即有唯一交点，故满足充分性； 若方程组有唯一解，则两直线相交，则满足，即， 所以由可知，故满足必要性； 综上可知，“”是“方程组有唯一解”的充分必要条件， 故选：C. 【变式1-1】两条直线与的交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法： ①若方程组无解，则两直线平行； ②若方程组只有一解，则两直线相交； ③若方程组有无数多解，则两直线重合． 其中说法正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【解析】①若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行；正确；②若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交；正确；③若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合．正确. 故答案为C. 【变式1-2】曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】A 【解析】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点． 故选：A 题型二：过两条直线交点的直线系方程 【典例2-1】（2025·高二·四川成都·期中）已知点，和直线l：（），直线l与线段AB有公共点，则m的取值范围是 . 【答案】 【解析】，得，所以直线过点， ，， 若直线与线段有公共点，所以直线斜率的取值范围是. 故答案为： 【典例2-2】若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解析】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①． 又直线l的斜率为，则，解得． 将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程． 故答案为：. 【变式2-1】经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【答案】 【解析】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 【变式2-2】经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为 ． 【答案】x－y＝0. 【解析】设直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出的值即得解.过两直线交点的直线方程可设为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0， 即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0， 因为它与直线x－y＋4＝0平行， 所以3＋λ＋3λ－2＝0， 即λ＝－， 故所求直线为x－y＝0. 故答案为：x－y＝0. 题型三：交点问题 【典例3-1】直线：与直线：的交点坐标为 . 【答案】 【解析】联立，解得，故交点为， 故答案为： 【典例3-2】（2025·高二·湖南长沙·期中）直线与直线的交点坐标为 【答案】 【解析】联立，得， 所以交点坐标为. 故答案为： 【变式3-1】（2025·高二·重庆·期中）直线与直线的交点坐标为 . 【答案】 【解析】联立，解得， 因此，直线与直线的交点坐标为. 故答案为：. 【变式3-2】（2025·高二·广西玉林·期中）若直线经过两直线和的交点，则 . 【答案】 【解析】联立，解得， 将点代入到直线，得，故. 故答案为：. 【变式3-3】（2025·高二·广东惠州·期中）已知两条直线和相交，则这两条直线的交点坐标为 ； 【答案】 【解析】由方程组，解得，  即交点为. 故答案为：. 题型四：对称问题 【典例4-1】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）点关于直线对称的点的坐标为 ． 【答案】 【解析】若对称点为，则，可得，即对称点为. 故答案为： 【典例4-2】（2025·高二·安徽合肥·期末）一条光线从点射出，经过直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【解析】点关于直线的对称点为， 根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过，Q的直线， 由直线点斜式方程得直线的方程为：， 化为 故答案为： 【变式4-1】（2025·高二·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 【答案】 【解析】如图：可知折痕为点与点的中垂线， 中点坐标为， 设折痕直线的斜率为，则，得， 故折痕直线方程为，即， 由题意点与原点关于折痕对称， 故得，故. 故答案为： 【变式4-2】（2025·高二·山西吕梁·期末）一条光线从点出发射到直线上的点B，经直线反射后，反射光线恰好经过点，则入射光线所在直线的斜率为 ． 【答案】 【解析】点关于直线的对称点为， 由题知，入射光线所在的直线经过点和点， 且． 故答案为：． 【变式4-3】如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是 . 【答案】 【解析】如图， 点关于直线的对称点为，则，即， 解得，即点关于直线的对称点为，又点关于轴的对称点为， 则光线所经过的路程为. 故答案为： 【变式4-4】在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长是 . 【答案】 【解析】以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则，，， 所以直线的方程为， 设，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为， 由，易得，，直线就是所在的直线， 所以直线的方程为， 设的重心为，则， 所以，即， 所以（舍去）或， 所以，. 结合对称关系可知，， 所以的周长即线段的长度为：. 故答案为：. 题型五：两点间的距离 【典例5-1】已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 . 【答案】 直角三角形 5 【解析】因为， ，， 所以，即是以A为直角顶点的直角三角形． 由于是以A为直角顶点的直角三角形，所以. 故答案为：直角三角形； 【典例5-2】已知，且，则 ． 【答案】 【解析】因为且，所以，解得 故答案为： 【变式5-1】（2025·高二·天津红桥·期中）已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为 ． 【答案】 【解析】设，则，解得， 点的坐标为， 故答案为：． 【变式5-2】（2025·高二·天津和平·开学考试）直线与之间的距离的最大值为 . 【答案】5 【解析】直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 且与平行， 故当与直线，垂直时，直线，的距离最大， 且最大值为， 故答案为：5． 题型六：点到直线的距离 【典例6-1】（2025·高二·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】由题点到直线的距离为. 故选：D. 【典例6-2】（2025·高二·四川乐山·期末）点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】法一：点到直线的距离为， ， 令，当时，， 当时，，由对勾函数的性质可知， 所以，所以， 所以. 法二：易知直线过定点，则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即. 故选：C. 【变式6-1】（2025·高二·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【解析】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 【变式6-2】已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】直线l：可化为， 依题意得，整理得，所以或． 当时，点的坐标为； 当时，点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或. 故选：AB． 题型七：两平行直线间的距离 【典例7-1】直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】可变为，则两条平行直线间的距离为． 故选：C. 【典例7-2】（2025·高二·浙江·期中）若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】有已知直线与直线平行， 则，即， 此时直线与直线，即满足平行， 则两直线间距离， 故选：D. 【变式7-1】（2025·高二·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可变为， 则两条平行直线间的距离为. 故选：B 【变式7-2】已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由题意可得，是直线上的点， 是直线上的点，则两直线平行， 的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为. 故选：D 【变式7-3】已知两条平行直线与之间的距离为，则的值为（    ） A．或8 B．或9 C．或2 D．或2 【答案】A 【解析】因为两条平行直线与之间的距离为， 由两平行线间的距离公式，可得，解得或． 故选：A. 题型八：距离问题的综合灵活运用 【典例8-1】（2025·高二·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，作点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以. 则“将军饮马”的最短总路程为. 故选：C. 【典例8-2】（2025·高二·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，解得， ，又点 故“将军饮马”的最短总路程为． 故选：A． 【变式8-1】（2025·高一·山东滨州·竞赛）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为 . 【答案】 【解析】因为， 所以它表示点到点和的距离之差，如图所示： 因为， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式8-2】著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】 相当于动点到的距离之和， 因为四边形为矩形，所以， 所以当为矩形对角线交点时，， 此时最小，最小为， 故答案为：. 题型九：线段和与差的最值问题 【典例9-1】（2025·高二·河北石家庄·期末）已知，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】 . 记点、点、点和点， 因为，， 所以的几何意义为：表示正方形内的点到点、点、点和点四点的距离之和. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 综上可得：当点是线段与的交点时，和同时取得最小值，均为. 所以的最小值为. 故答案为：. 【典例9-2】（2025·高二·福建泉州·期中）函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】表示、的距离， 表示、的距离， 又关于x轴的对称点，如图， 所以， 所以． 故答案为： 【变式9-1】（2025·高二·江苏镇江·期中）函数的最大值为 . 【答案】 【解析】， 表示为点与点的距离减去点与点的距离， 所以， 又，当共线，且P在B的外侧时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式9-2】已知，则的最小值为 . 【答案】 【解析】依题意，取点，顺次连接得矩形， 设，，显然点在矩形内， 因此 而，当且仅当点在线段上（除端点外）时取等号， ，当且仅当点在线段上（除端点外）时取等号， 因此，当且仅当是与的交点时取等号，此时， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 【变式9-3】已知，为实数，代数式的最小值是 . 【答案】10 【解析】设点， 则 ， 当且仅当分别为连线与两坐标轴的交点时，等号成立. 故答案为：10. 1．过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立，得交点坐标为， 因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率为， 所以由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为，即. 故选：A. 2．已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，直线的法向量为， 所以直线的方程为， 即， 则原点到的距离. 所以选：C. 3．点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 4．（2025·高二·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 【答案】D 【解析】由题意可知，直线与直线平行，所以， 因为直线与直线间的距离为2， 所以，解得或. 故选：D. 5．（2025·广东佛山·二模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 【答案】D 【解析】曲线C：等价于或或或. 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 所以曲线C：的周长为. 故选：D 6．（2025·高二·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 7．已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，边所在直线的方程为， 设所在直线方程为，因为过， 所以，所以所在直线方程为， 由解得，即顶点的坐标为. 故选：A. 8．（2025·高二·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 9．（2025·高二·甘肃金昌·期中）两平行直线，之间的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由题意可知可以化为， 所以两平行直线，之间的距离. 故选：B. 10．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 11．直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D 12．（2025·高二·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为. 故选：A. 13．（多选题）（2025·高二·青海西宁·期中）下列说法不正确的有（    ） A．直线过定点 B．若两直线与平行，则实数的值为1 C．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】A选项，， 故直线恒过定点，故A正确； B选项，两直线与平行， 则，解得或， 当时，两直线与满足要求， 当时，两直线与满足要求， 综上，或，故B错误； C选项，当直线过原点且经过点时，可得直线方程为； 当直线不过原点时，设直线为，将点代入解得， 所以直线方程为，故C错误； D选项，直线，直线经过定点， 画出坐标系，如下： 其中， 则要想直线与线段AB相交，则直线斜率或， 解得或，故D错误. 故选：BCD 14．（多选题）（2025·高一·浙江杭州·期中）在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（   ） A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形 C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，直线的斜率，直线的斜率， ，即，为直角三角形，A正确； 对于B，直线的斜率，点共线，B错误； 对于C，在中，，， ，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD 15．（多选题）（2025·高二·宁夏吴忠·期中）对于直线，．以下说法错误的有（    ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 【答案】AC 【解析】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为，， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，故C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时， 到直线的距离最大，最大值为， 故D正确， 故选：AC. 16．（多选题）（2025·高二·福建福州·期中）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最大值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【解析】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 17．平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是 .    【答案】 【解析】点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点， 则， 有，则，， ，， ，， 即， ，解得. 故答案为： 18．已知，，则S的最小值是 . 【答案】2 【解析】表示点到点与点的距离之和， 即，如图所示： 由图象知：， 当点在线段上时，等号成立. 所以取得最小值为2. 故答案为：2. 19．函数的最大值为 ． 【答案】 【解析】表示点，分别到，的距离差， 即在函数的图象上求点，使得取得最大值， 如图所示， 易知，当且仅当点位于的延长线与的交点， 所以. 故函数的最大值为. 故答案为：. 20．（2025·高二·浙江温州·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为 ． 【答案】 【解析】， 可转化成x轴上一点到点的距离与到点的距离之差. ， 所以的最大值为. 故答案为： 21．已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由直线垂直于，，则设的方程为， 由，得，由，得， 由，，得， 表示动点到定点与的距离的和， 动点在直线上，点与在直线两侧， 则有， 当且仅当是直线与线段的交点，即原点时取“”，此时， 所以取最小值， 则的最小值为． 故答案为：． 22．在平面直角坐标下中，有四个定点及一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】（1）设，由已知条件得，解得所以. （2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 23．已知三条直线：，，，且与间的距离是， (1)求 的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点 到的距离是点 到的距离的；③点 到的距离与点 到的距离之比是，若能，求点 的坐标；若不能，说明理由 【答案】(1)； (2)存在点. 【分析】 （1）由两平行线间距离公式代入数据即可求解； （2）由点在第一象限，结合点到线的距离公式列出等式求解即可. 【详解】 （1）， 与间的距离为， 即 ， ， ； （2）假设存在，设点， 由条件知，点在与平行的直线上， 且， 或， 或， 由条件知，， ，即或， 因为点在第一象限，，舍， 或 解得（舍），， 所以存在点同时满足①②③． 24．已知直线，直线， (1)若与相交，求实数的值； (2)若与平行.求实数的值并求出此时两直线间的距离. 【答案】(1)且. (2) 【分析】 （1）根据给定的直线方程，利用两直线相交的充要条件列式求解. （2）由两直线平行列式求出，再利用平行线间距离公式求解. 【详解】 （1）由直线与直线相交， 得，即，解得且， 所以实数的取值为且. （2）由直线与平行，得，即，解得， 此时，即，直线， 所以直线与间距离. 25．已知的三个顶点的坐标为，，．求： (1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； (2)点C关于直线AB对称点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】 （1）由ABCD为平行四边形知可求； （2）设点关于直线AB对称点的坐标为，由题意可得出，解方程即可得出答案. （3）求出和点到直线AB的距离即可求出面积. 【详解】 （1）设，由ABCD为平行四边形知， 即，则，解得，即. （2）直线AB的方程为，即， 点关于直线AB对称点的坐标为， 所以，解得：， 故C关于直线AB对称点的坐标为. （3）， 直线AB的方程， 点到直线AB：的距离为， ∴. 26．在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用垂直关系得到直线的斜率，再利用点斜式求解即可； （2）设点坐标，利用已知信息求得点坐标，再求点关于直线的对称点，由两点式可求直线方程. 【详解】 （1）因，且，则， 因， 则直线的方程为，即. （2）设点，则线段的中点为， 将其代入所在直线方程中，得， 将点代入所在的直线方程中，得， 解得，即， 设点关于直线对称得点， 则，得，即， 因三点共线，则, 直线所在的直线方程为，即. 27．已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若，求直线关于直线对称的直线方程. (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)； 【分析】 （1）利用直线方程直接求解恒过的定点即可； （2）在直线上取一点，求出其关于的对称点，再结合联立直线和求出的点，即可利用点斜式方程求出所求直线方程； （3）根据已知条件得到的范围，表示出的面积，利用基本不等式即可求出最小值，以及此时直线的方程. 【详解】 （1）因为直线， 即， 所以直线恒过定点. （2）由题知，直线方程为， 设直线关于直线对称的直线为，如图， 联立，解得， 即直线过， 在直线上取，设其关于的对称点为， 则，解得， 即直线过， 所以直线方程为， 即直线方程为. （3）由题知，， 则， 且，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 此时直线的方程为， 即， 综上，的最小值为， 且此时直线的方程为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$