第04讲 空间向量的应用（5个知识点7大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第04讲 空间向量的应用 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 知识点诠释： （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量． （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 2、平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量． 3、平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 知识点四、用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 知识点五、用向量方法求空间距离 1、求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3、点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 题型一：求平面的法向量 【典例1-1】（2025·高二·广东广州·开学考试）如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．    (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 【典例1-2】在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 【变式1-1】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 【变式1-2】（2025·高二·广东江门·期末）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面的一个法向量； (2)求平面的一个法向量． 题型二：利用向量研究平行问题 【典例2-1】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【典例2-2】如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【变式2-1】如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 【变式2-2】（2025·高二·福建厦门·期中）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：平面. 【变式2-3】在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 题型三：利用向量研究垂直问题 【典例3-1】（2025·高二·江苏常州·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且，为的中点. 求证： (1)平面； (2). 【典例3-2】如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【变式3-1】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【变式3-2】（2025·高二·宁夏中卫·期末）如图在边长是2的正方体中，，分别为，的中点. (1)求直线与直线所成角的大小. (2)求证：平面. 【变式3-3】如图所示，已知平行六面体的底面是菱形，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 题型四：异面直线所成的角 【典例4-1】（2025·高二·甘肃白银·期中）如图，在正三棱柱中，，为的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【典例4-2】（2025·高二·上海长宁·期末）如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.    (1)求此圆锥的侧面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 【变式4-1】（2025·高二·上海闵行·期末）如图，四面体的各棱长均为2，，分别为棱，的中点，设，，； (1)用向量，，的线性组合表示向量，； (2)求两条异面直线，所成角的大小． 【变式4-2】（2025·高二·甘肃兰州·期末）如图，正三棱柱中，底面边长为. (1)设侧棱长为，求证：； (2)设与的夹角为，求侧棱的长． 题型五：线面角 【典例5-1】（2025·高二·云南昆明·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形且，，侧面底面，且侧面是正三角形，、分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【典例5-2】（2025·高二·上海宝山·期中）如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【变式5-1】（2025·高二·上海奉贤·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面是的中点，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【变式5-2】（2025·高二·河南周口·期中）如图，在长方体中，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 题型六：二面角 【典例6-1】（2025·高二·甘肃兰州·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，E是棱PA的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【典例6-2】（2025·高二·广西南宁·期中）如图，直三棱柱中，，，是的中点．    (1)证明：直线平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【变式6-1】（2025·高三·安徽·开学考试）如图，在三棱柱中，平面ABC，四边形是边长为2的正方形，，．    (1)求AB的长； (2)若二面角的正切值为，求的值． 题型七：距离问题 【典例7-1】（2025·高二·广西贵港·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，. (1)证明：平面平面. (2)若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离. 【典例7-2】（2025·高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面，，点为棱DF的中点. (1)求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值； (2)求点到平面ACP的距离. 【变式7-1】如图，在正三棱柱中，是棱的中点．    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，求到平面的距离． 【变式7-2】（2025·高二·内蒙古·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 1．若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A． B． C．或 D．或 3．已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四面体ABCD中，与为等边三角形，且，E，F分别为棱AD，AB的中点，则异面直线BE，CF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·福建龙岩·期中）如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）正四棱锥中，各棱长均为1，，，．过点，，的平面交于点，且，则（    ） A． B．点到平面的距离为 C．平面与平面夹角的余弦值为 D．两个四棱锥与体积之比为 8．（多选题）在棱长为1的正方体中，点在棱上运动，则（   ） A．若点为的中点，则平面平面 B． C．点到平面距离的最小值为 D．异面直线，所成角的取值范围是 9．（多选题）在空间直角坐标系中，已知过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为．根据上述材料，解决以下问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则下列说法正确的是（    ） A．直线经过点 B．直线的一个方向向量为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．若点，则点到平面距离为 10．（2025·高二·甘肃武威·期末）已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 11．（2025·高二·江苏南京·期中）若平面的一个法向量，平面的一个法向量，且，则x＋z＝ ． 12．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    13．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，F，分别是，AD，的中点，为矩形的中心. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的正弦值. 14．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，E为的中点. (1)求证：平面； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值. 15．如图，四棱柱的所有棱长都为2，AC交BD于点，且． (1)求证：平面ABCD； (2)若，求直线AB与平面所成角的正弦值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 空间向量的应用 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 知识点诠释： （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量． （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 2、平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量． 3、平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 知识点四、用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 知识点五、用向量方法求空间距离 1、求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3、点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 题型一：求平面的法向量 【典例1-1】（2025·高二·广东广州·开学考试）如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．    (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 【解析】（1）因点分别是的中点， 则，， 则. （2）以为原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 则， 则，，， 得，则， 则， 故的面积为. （3）设平面的法向量为 则，令，则， 平面的一个法向量为. 【典例1-2】在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 【解析】（1），，， ，. （2）设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，， ， 所以平面的一个法向量为. 【变式1-1】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 【解析】因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直. 如图所示，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A－xyz， 则，， ，，， 于是，， 设平面ACE的一个法向量为， 则，即，所以， 令，则，，即 所以平面ACE的一个法向量. 【变式1-2】（2025·高二·广东江门·期末）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面的一个法向量； (2)求平面的一个法向量． 【解析】（1）因为x轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量． （2）因为正方体的棱长为3，， 所以M，B，的坐标分别为，，， 因此，， 设是平面的法向量，则 ，， 所以， 取，则，．于是是平面的一个法向量． 题型二：利用向量研究平行问题 【典例2-1】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【解析】因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 【典例2-2】如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【解析】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以平面的法向量为； （2），则， 故， 因为， 所以， 又平面， 所以平面. 【变式2-1】如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 【解析】在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、， 则， 平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. 【变式2-2】（2025·高二·福建厦门·期中）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：平面. 【解析】（1） 如图建立空间直角坐标系， 则， 则，           由，     可得，得证. （2）设平面的法向量为，因，    则，令，可得，                因，故得，         又平面，所以，平面. 【变式2-3】在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）平面平面 且平面平面， 平面 平面 平面 又， 平面. 平面平面平面. （2）假设在棱上是否存在点，使得平面 取中点，连接，，如下图 ，， ，， 从而，故平面， 又平面平面 且平面平面， 平面， 以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如下图： 由题意可知，，，，， 设 点在棱上，故， ，故 设平面的法向量为 故，令，则， 从而平面的法向量可以取 平面 ，解得， 故假设成立，存在这样的点，使得平面，此时 即，从而 题型三：利用向量研究垂直问题 【典例3-1】（2025·高二·江苏常州·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且，为的中点. 求证： (1)平面； (2). 【解析】（1）连接与交点为，在连接， 则为中点，为中点， 所以平面平面， 所以平面； （2）， ， 底面是菱形，且， ， ，即， . 【典例3-2】如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【解析】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 【变式3-1】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【解析】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 【变式3-2】（2025·高二·宁夏中卫·期末）如图在边长是2的正方体中，，分别为，的中点. (1)求直线与直线所成角的大小. (2)求证：平面. 【解析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 则， 故直线与直线所成角的大小为； （2）， ，故⊥， ，故⊥， 因为，平面， 所以平面. 【变式3-3】如图所示，已知平行六面体的底面是菱形，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【解析】（1）证明：设，，，则， 底面是菱形，有，且两两所成角相等，设为， 则， ∴，即. （2）要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 题型四：异面直线所成的角 【典例4-1】（2025·高二·甘肃白银·期中）如图，在正三棱柱中，，为的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）取的中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱， 所以为正三角形，所以, 又平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 以为坐标原点，直线，分别为，轴，在面内过作的平行线作为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 所以，， ， 则点到直线的距离. （2）因为，． 所以． 所以异面直线与BD所成角的余弦值为． 【典例4-2】（2025·高二·上海长宁·期末）如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.    (1)求此圆锥的侧面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 【解析】（1）因为圆锥的底面半径， 经过旋转轴SO的截面是等边，可得， 所以圆锥的侧面积为. （2）以为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图， 由题意可得，则，，，，， 则，， 所以，，， 所以， 设异面直线PQ与SO所成角的大小为，， 则， 故异面直线PQ与SO所成角的余弦值为. 【变式4-1】（2025·高二·上海闵行·期末）如图，四面体的各棱长均为2，，分别为棱，的中点，设，，； (1)用向量，，的线性组合表示向量，； (2)求两条异面直线，所成角的大小． 【解析】（1），； （2）由四面体的各棱长均为2，可知四面体为正四面体，所以，，两两夹角为， 因此， ， ， ， ， 由于两条异面直线，所成角的范围为， 所以两条异面直线，所成角为. 【变式4-2】（2025·高二·甘肃兰州·期末）如图，正三棱柱中，底面边长为. (1)设侧棱长为，求证：； (2)设与的夹角为，求侧棱的长． 【解析】（1）由已知得，， 平面， ，， 又是正三角形， , ； ； （2）由（1）得， 又， ， ， 解得， 即侧棱长为. 题型五：线面角 【典例5-1】（2025·高二·云南昆明·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形且，，侧面底面，且侧面是正三角形，、分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）取的中点，连接，， 因为是的中点，所以是三角形的中点，所以，且， 因为底面为矩形，是的中点，所以，， 所以且， 所以四边形是平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为侧面是正三角形，是的中点，所以， 又因为侧面底面，侧面底面，侧面， 所以底面， 取的中点，连接，则，所以， 以为坐标原点，ED所在直线为x轴，取BC中点H，EH所在直线为y轴，EP所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量，则，取， 又， 设直线CF与平面所成角为，故； 所以直线CF与平面所成角的正弦值为. 【典例5-2】（2025·高二·上海宝山·期中）如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【解析】（1）底面是等腰直角三角形，且, ， 在直三棱柱中，平面， 又 平面， ， ，平面， 平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的法向量为，、，， 则，取， 设直线与平面所成角为 ， 则， 所以直线与平面所成角为的大小为 ， 【变式5-1】（2025·高二·上海奉贤·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面是的中点，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【解析】（1） 取的中点，连接，因是的中点，则且， 在直角梯形中，，，，则且. 故且，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. （2）由（1）知，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为. 【变式5-2】（2025·高二·河南周口·期中）如图，在长方体中，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）因为⊥平面，平面， 所以， 又，，平面， 所以平面； （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 故， 设，则， 因为，所以， 解得，故，， 又，， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 题型六：二面角 【典例6-1】（2025·高二·甘肃兰州·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，E是棱PA的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）在四棱锥中，连接交于点，连接， 由四边形为正方形，得为的中点，又E是棱PA的中点，则， 而平面，平面， 所以平面. （2）在四棱锥中，平面， 因为平面，所以， 以点为原点，直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，得， 设平面的法向量为，则， 解得，取，则，得， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【典例6-2】（2025·高二·广西南宁·期中）如图，直三棱柱中，，，是的中点．    (1)证明：直线平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 设， 则，，，，，， 则，，， 则，， 则，， 又，平面，平面，则直线平面. （2）由（1）知平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【变式6-1】（2025·高三·安徽·开学考试）如图，在三棱柱中，平面ABC，四边形是边长为2的正方形，，．    (1)求AB的长； (2)若二面角的正切值为，求的值． 【解析】（1）三棱柱中，平面ABC，则平面ABC， 平面ABC，所以． 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 而，故，故． （2）由平面ABC，， 以为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz， 因为，所以， 故，因为，故． 易知是平面的法向量． 因为． 设是平面的法向量、所以 即，取，得， 所以， 因为二面角的正切值为，故余弦值为， 则，解得. 题型七：距离问题 【典例7-1】（2025·高二·广西贵港·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，. (1)证明：平面平面. (2)若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离. 【解析】（1）证明：因为平面平面，， 所以平面.因为平面，所以平面平面. （2）取的中点，连接.因为，所以. 因为平面平面，所以平面. 以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 设，平面的法向量为， 因为，， 所以，令，得. 平面的一个法向量为. 因为平面与平面的夹角为，所以，所以. 设平面的法向量为， 因为，， 所以 令，得. 因为，所以点到平面的距离. 【典例7-2】（2025·高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面，，点为棱DF的中点. (1)求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值； (2)求点到平面ACP的距离. 【解析】（1）由直线平面平面ABCD，得， 由矩形ABCD，得， 以为原点，直线AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 可得 设平面BCF的一个法向量， 则，令，得， 设平面APC的一个法向量为，则， 令，得， 所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为. （2）由（1）知，平面APC的一个法向量， 而， 所以点到平面ACP的距离. 【变式7-1】如图，在正三棱柱中，是棱的中点．    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，求到平面的距离． 【解析】（1）因为为等边三角形，是棱的中点， 所以⊥， 三棱柱为正三棱柱，故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以； （2）连接，与相交于点，连接， 因为四边形为矩形，故为的中点， 又为的中点，故， 又平面，平面， 所以平面； （3）由（2）知，平面， 故到平面的距离即为到平面的距离， 取的中点，连接，则， 由于⊥平面，故⊥平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得， 故， 所以到平面的距离， 故到平面的距离为. 【变式7-2】（2025·高二·内蒙古·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 【解析】（1）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； （2）设平面的法向量为，，，， 则，. 设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 1．若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点，点，所以， 又平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 故选：B. 2．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】设直线与平面所成的角为，则． 因为，所以． 故选：A. 3．已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得. 故选：C. 4．如图，在四面体ABCD中，与为等边三角形，且，E，F分别为棱AD，AB的中点，则异面直线BE，CF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，作平面于点， 因，则为的外心， 又，故点为斜边的中点，且． 故可以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图． 设，则，则， ， 则有， 因E，F分别为棱AD，AB的中点，故，， 则，， 设直线所成的角为， 则， 故选：A.． 5．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直. 可得， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 在平面上，直线方程为，可设， 在平面上直线方程为，设，因此得， 由得， 则，所以， 当且仅当时，取得最小值，此时分别是的中点， ，，，，， 设平面的一个法向量， 则，取得， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以，由图可知，二面角的平面角为钝角. 所以二面角的平面角的余弦值为. 故选：A 6．（2025·高二·福建龙岩·期中）如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，设，连接， 由，得，所以， 因为底面是菱形，所以， 又因为，且，在平面内， 所以平面， 在中，，，所以， 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 故，，， 设平面的法向量为， 则有，令，得， 所以点到平面的距离. 故选：C. 7．（多选题）正四棱锥中，各棱长均为1，，，．过点，，的平面交于点，且，则（    ） A． B．点到平面的距离为 C．平面与平面夹角的余弦值为 D．两个四棱锥与体积之比为 【答案】BCD 【解析】对于选项A：设底面的中心为O， 以为坐标原点，分别为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 又因为，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为， 因为四点共面，则，可得，解得，故A错误； 对于选项B：可得， 且平面的法向量为， 所以点S到平面的距离为，故B正确； 对于选项C：显然平面的法向量为， 且， 所以平面与平面夹角的余弦值为，故C正确； 对于选项D：设点S、D到平面的距离分别， 则， 因为 所以两个四棱锥与体积之比为，故D正确. 故选：BCD. 8．（多选题）在棱长为1的正方体中，点在棱上运动，则（   ） A．若点为的中点，则平面平面 B． C．点到平面距离的最小值为 D．异面直线，所成角的取值范围是 【答案】BD 【解析】以D为坐标原点，分别以、、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图， 得：， 对于A，若点P为的中点，则， 设平面的法向量为，，， 由，取，得， 设平面的法向量为，， 由，取，得， 显然不平行，即平面平面不成立，故A错误； 对于B，设，则，， 则，故，故B正确； 对于C，设，， 平面的一个法向量为， 则点P到平面距离为， ∵，，∴当时，取得最小值为，故C错误； 对于D，设，， 设异面直线所成角为，则， 由，得，则， 则，又，则，故D正确. 故选：BD． 9．（多选题）在空间直角坐标系中，已知过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为．根据上述材料，解决以下问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则下列说法正确的是（    ） A．直线经过点 B．直线的一个方向向量为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．若点，则点到平面距离为 【答案】ABD 【解析】对于A，已知直线是平面与的交线，对于平面，，满足该平面方程. 对于平面，，满足该平面方程.所以点在直线上，A选项正确. 对于B，设平面的法向量为，平面的法向量为. 因为直线是这两个平面的交线，所以直线的方向向量与、都垂直. 根据向量垂直的性质，设 ，则，即， 令，取，B选项正确. 对于C，已知平面的方程为，则平面的法向量为. 设直线与平面所成角为，直线的方向向量为. 根据直线与平面所成角的向量公式，可得： 则. 因为，所以，C选项错误. 对于D，前面知道平面：的法向量为，取面上一个点，又，则， 根据点到平面距离公式得到， 可得点到平面：的距离为，D选项正确. 故选：ABD. 10．（2025·高二·甘肃武威·期末）已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 【答案】/ 【解析】因平面，且平面，故， 又，故可以为坐标原点，以所在直线 分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则，， 所以，令，则. 设异面直线与之间的距离为d， 则. 故答案为： 11．（2025·高二·江苏南京·期中）若平面的一个法向量，平面的一个法向量，且，则x＋z＝ ． 【答案】-1 【解析】因为，所以，故存在实数使得：， 即， 所以，解得，所以. 故答案为： 12．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    【解析】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，则． 设点的坐标为，因为，所以， 即，，， 所以点的坐标为，即． 因为，所以，则． 由已知，且，平面，平面， 所以平面． 13．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，F，分别是，AD，的中点，为矩形的中心. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的正弦值. 【解析】（1）（证法一）连接，，，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面， ，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，平面，，平面， 所以平面平面. 因为平面，所以平面； （证法二）连接，， 在中，因为G，H分别为，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）过点作，垂足为. 以为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，. ，. 设为平面的法向量，则， 所以，可取. 平面的一个法向量为. ， 所以. 故平面与平面夹角的正弦值为. 14．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，E为的中点. (1)求证：平面； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）取的中点F，连接，， ∵E为的中点，∴且，又，， ∴且， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. （2）取的中点为O，连接，∵，∴， ∵平面平面，∴平面， ∵，，，∴，∴，，两两垂直， 以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由是边长为4的等边三角形，得， ∴，，，，， ∴，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，即平面的一个法向量为； ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 15．如图，四棱柱的所有棱长都为2，AC交BD于点，且． (1)求证：平面ABCD； (2)若，求直线AB与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）由题意得四边形ABCD是边长为2的菱形，所以， 因为， 所以， 所以，即， 又， 所以平面ABCD. （2）由（1）知，两两垂直，以为坐标原点， 直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以为等边三角形，， 则， 所以， ， 设平面的法向量为， 则，得， 取，得， 设直线AB与平面所成的角为， 则， 所以直线AB与平面所成角的正弦值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$