第09讲 圆的方程讲义-2025年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

第09讲：圆的方程 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　圆的标准方程 (1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. (2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2. 知识点二　圆的一般方程 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 知识点三　点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 【例题详解】 题型一、求圆的标准方程 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期末）已知点、、，则外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·海南·阶段练习）圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 . 题型二、圆的一般方程的求圆心与半径 4．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）若圆关于直线对称，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁葫芦岛·一模）（多选）已知圆的圆心到直线与距离为，则实数的值为（   ） A． B． C．14 D． 6．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）若圆的半径为2，则 ． 题型三、求圆的一般方程 7．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·江苏淮安·期中）（多选）已知三点下列结论正确的是（    ） A．AB的距离为 B．直线BC的一般式方程为 C．以BC为直径的圆方程为 D．外接圆的方程为 9．（24-25高二上·北京房山·期中）已知点，，，在同一个圆上，则这个圆的方程为 . 题型四、圆的定点问题 10．（21-22高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 11．（21-22高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和故选：D. 12．（已知曲线：． （1）当取何值时，方程表示圆？ （2）求证：不论为何值，曲线必过两定点． （3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值． 题型五、点与圆的位置关系 13．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 15．（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型六、求动点的轨迹方程 16．（24-25高二下·云南昭通·期末）已知，，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则点M的轨迹方程为 . 17．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知向量，满足，则动点的轨迹方程是 . 18．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为 . 题型七、圆的方程综合问题 19．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知点，若点满足，则点到直线 的距离的最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 20．（24-25高二上·福建三明·期末）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，当动点在直线上运动时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，直线：与圆C：交于A，B两点. (1)证明恒过定点，并求出原点到直线的最大距离； (2)已知点在圆C上，求的取值范围. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．（24-25高二上·安徽·期末）已知圆，则圆的圆心到坐标原点的距离为（    ） A．1 B． C． D． 4（21-22高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 5．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一下·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 8．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）点可以向圆引两条切线，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·广东惠州·模拟预测）已知圆，直线：，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则b的值为（   ） A．0 B．±1 C． D． 10．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高三下·全国·开学考试）已知圆经过点和，且圆被轴，轴截得的弦长相等，则圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 三、填空题 13．（24-25高二下·上海普陀·期中）设，若圆的半径为2，则的值为 ； 14．（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知直线：平分圆：的周长，则实数 . 15．（24-25高二上·辽宁·期中）已知点，点B，C是直线与圆的交点，则经过点A，B，C的圆的方程是 ． 16．（21-22高三下·上海闵行·期中）点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 17．（24-25高三下·陕西西安·阶段练习）已知点，的方程为，P，Q为上的动点，满足，则PQ中点的轨迹方程为 ． 18．（24-25高二上·青海西宁·期中）已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为 . 19．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆上一点，则的最大值为 . 20．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 四、解答题 21．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆过两点且圆关于直线对称，求的的方程． 22．（24-25高二上·北京·期中）已知圆上三点坐标分别为． (1)求该圆的一般方程； (2)求弦BC垂直平分线的方程； (3)求的面积． 23．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值和最大值． 24．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲：圆的方程 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　圆的标准方程 (1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. (2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2. 知识点二　圆的一般方程 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 知识点三　点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 【例题详解】 题型一、求圆的标准方程 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程. 【详解】根据题意，以为直径的圆的圆心为中点，半径为， 所以圆的方程为. 故选：B. 2．（24-25高二上·上海·期末）已知点、、，则外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设外接圆的方程为，将三个顶点代入圆的方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】设外接圆的方程为， 由题意可得，解得， 因此，外接圆的方程是. 故选：B. 3．（24-25高三下·海南·阶段练习）圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据直线交点得出圆心，再结合圆心及切线得出半径，最后应用圆的标准方程即可求解. 【详解】由题设可知圆为直线与的交点，其半径为3， 故圆标准方程为. 故答案为：. 题型二、圆的一般方程的求圆心与半径 4．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）若圆关于直线对称，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的对称轴过圆心，可求得结论. 【详解】把圆的方程化为标准方程为， 所以圆的圆心的坐标为， 因为圆关于直线对称，则直线一定过圆心. 故选：A. 5．（2025·辽宁葫芦岛·一模）（多选）已知圆的圆心到直线与距离为，则实数的值为（   ） A． B． C．14 D． 【答案】AC 【分析】根据圆心到直线的距离可以列出关于方程，再解方程即可得到的取值. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心为， 又因为点到直线的距离为， 所以，解得或. 故选：. 6．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）若圆的半径为2，则 ． 【答案】1 【分析】将圆的方程配方后，结合题意列出方程，求解即得. 【详解】由经配方，可得：， 因圆的半径为2，故，解得. 故答案为：1. 题型三、求圆的一般方程 7．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的中点和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解. 【详解】已知、，则中点坐标为即. ， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为. 所以圆的标准方程为，展开可得， 整理得. 故选：B. 8．（24-25高二上·江苏淮安·期中）（多选）已知三点下列结论正确的是（    ） A．AB的距离为 B．直线BC的一般式方程为 C．以BC为直径的圆方程为 D．外接圆的方程为 【答案】BCD 【分析】根据两点间的距离坐标公式以及直线方程、圆的标准方程、待定系数法求解圆的一般方程即可得出结论. 【详解】由题意知,AB的距离为，故A错误; 直线BC的方程为,即，故B正确； 以BC为直径的圆，圆心为，半径为, 所以圆的方程为, 即,故C正确; 设外接圆的方程为， 代入三点坐标得， ,解得 , 所以外接圆的方程为,故D正确. 故选：BCD. 9．（24-25高二上·北京房山·期中）已知点，，，在同一个圆上，则这个圆的方程为 . 【答案】 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法即可求得答案. 【详解】设圆的方程为, 将点，，代入得, 解得,满足，则， 将代入也适合， 故所求圆的方程为， 故答案为： 题型四、圆的定点问题 10．（21-22高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 11．（21-22高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 12．已知曲线：． （1）当取何值时，方程表示圆？ （2）求证：不论为何值，曲线必过两定点． （3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）当时，可知方程表示直线；当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得； （3）根据（2）的结论，可知以为直径的圆面积最小，从而得到圆的方程，与已知方程对应相等可构造方程组，解方程组求得结果． 【详解】解：（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时方程表示圆． （2）证明：方程变形为． 由于取任何值，上式都成立，则有． 解得或 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点. （3）由（2）知曲线过定点A，，在这些圆中，以为直径的圆的面积最小（其余不以为直径的圆的直径大于的长，圆的面积也大）， 从而以为直径的圆的方程为， 所以，解得． 题型五、点与圆的位置关系 13．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入验证法确定正确答案. 【详解】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 14．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】先由根与系数的关系找到所满足的条件，再判断点与圆的位置关系. 【详解】因为是方程的两个不等实数根，且. 所以，. 所以点在圆外. 故选：C. 15．（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程及点在圆外有且，即可求参数范围. 【详解】由题设，圆，则①， 由点在圆外，则有②， 联立①②得：或 所以实数m的取值范围为 故选：C 题型六、求动点的轨迹方程 16．（24-25高二下·云南昭通·期末）已知，，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则点M的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设点的坐标，利用两点之间的距离公式列出等式化简即可. 【详解】设点的坐标为，因为，，， 所以，化简得， 即. 故答案为：. 17．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知向量，满足，则动点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】先计算出，利用向量垂直得到方程，求出轨迹方程. 【详解】， ，故， 即， 故答案为： 18．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设点，当不重合时，根据圆的几何性质，利用垂直建立方程求解即可得解，当重合时，代入检验即可. 【详解】由直线过点，圆可知，圆心为， 设点， 由题意可知，当点与点不重合时，，则，整理得，即， 此时点的轨迹为圆但不包括点. 当点与点重合时，其坐标满足方程. 综上，点的轨迹方程为. 故答案为： 题型七、圆的方程综合问题 19．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知点，若点满足，则点到直线 的距离的最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】先根据可得点的轨迹方程为，又直线过定点，故最大距离为圆心到定点的距离与半径的和，进而可得. 【详解】令，由，可得， 可得点的轨迹方程为，其中圆心，半径为2. 而直线过定点， 故距离的最大值为. 故选：D 20．（24-25高二上·福建三明·期末）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，当动点在直线上运动时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出原点关于直线的对称点的坐标，可得出，进而可得出，再结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为，如下图所示： 设原点关于直线的对称点为， 而直线的斜率为，且线段的中点在直线上， 由题意可得，解得，即点， 由对称性可得， 所以，， 当且仅当、分别为线段与圆、直线的交点时， 上述不等式中的两个等号同时成立，故取最小值. 故选：B. 21．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，直线：与圆C：交于A，B两点. (1)证明恒过定点，并求出原点到直线的最大距离； (2)已知点在圆C上，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，最大距离 (2) 【分析】（1）将化为，令即可求出定点，当直线与定点和原点构成直线垂直时，原点到直线的距离最大，得到答案； （2）根据的几何意义为点到的距离，结合与圆的位置关系，结合半径和圆心到得到答案. 【详解】（1）由直线：， 得， 联立，解得， 所以恒过定点， 设直线恒过定点为, 则当时，原点到直线的距离最大，最大距离为. （2）点在圆C上，的几何意义为点到的距离， 因为圆C：，即，圆心， 又因为，所以在圆内， 所以到的距离的最大值为， 到的距离的最大值为 所以， 所以的取值范围为. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D 2．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用圆的对称性及一般式求出圆心坐标，代入直线方程求参数即可. 【详解】由，即， 由题意可知圆心在直线上，代入得. 故选：C 3．（24-25高二上·安徽·期末）已知圆，则圆的圆心到坐标原点的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先转化为圆的标准方程，求圆心，再求两点间距离. 【详解】根据题意，圆可化为， 所以圆的圆心为，所以圆心到坐标原点的距离为． 故选：B 4（21-22高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【答案】A 【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆． 【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 5．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】定点在圆的外部， ，化简得， k的取值范围：或， 所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件. 故选：B. 6．（24-25高一下·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件列不等式求解即可. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，解得，实数的取值范围是. 故选：C 7．（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆及点在圆外列不等式求参数范围即可. 【详解】圆的方程可化为，则，可得， 又点在圆外，则，可得， 所以. 故选：B 8．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）点可以向圆引两条切线，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程表示圆及点在圆外构造不等式求解即可； 【详解】由题意可知：表示圆， 可得：， 解得：， 又在圆外，所以，得：， 所以k的取值范围为， 故选：C 9．（2025·广东惠州·模拟预测）已知圆，直线：，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则b的值为（   ） A．0 B．±1 C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆的方程得出圆心坐标和半径；再根据题意分析得出圆心O到直线：的距离d为1；最后利用点到直线距离公式等式求解即可. 【详解】圆的圆心坐标是，半径为2. 因为圆上恰有三个点到直线距离等于1， 所以圆心O到直线：的距离d为1，即，得. 故选：C. 10．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中点坐标公式求出、、三点坐标，再由待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程即可. 【详解】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入、、三点坐标，可得， 解得，，，即， 化简可得圆的标准方程为． 故选：C. 二、多选题 11．（24-25高三下·全国·开学考试）已知圆经过点和，且圆被轴，轴截得的弦长相等，则圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设圆心为，由题意列出相应方程，求出圆心坐标和半径，即得答案. 【详解】设圆心为，由题意可得，且， 解得或 则，即圆方程为或, 故选：BC 12．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由圆的标准方程判断圆心与半径知A错误；用y表示x并利用可求得x的范围判断B；将转化为圆上点到定点的距离，利用几何意义进行求解可判断C；利用圆的方程将转化为一元二次函数，再利用二次函数的性质求最大值判断D. 【详解】表示圆心为，半径为的圆，A错误； ，解得，即的最大值为，B正确； 表示圆上点到定点的距离，圆心到定点的距离为，圆上点到定点的距离的最大值为，C正确； 由得，代入得，，因为函数在上单调递增，所以的最大值为，D错误. 故选：BC 三、填空题 13．（24-25高二下·上海普陀·期中）设，若圆的半径为2，则的值为 ； 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆的半径列式求解. 【详解】圆的半径， 依题意，解得，经验证，符合题意， 所以的值为. 故答案为： 14．（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知直线：平分圆：的周长，则实数 . 【答案】 【分析】根据直线和圆的位置关系列方程，从而求得的值. 【详解】圆：的圆心为， 由于直线平分圆的周长， 所以直线过圆心， 即. 故答案为： 15．（24-25高二上·辽宁·期中）已知点，点B，C是直线与圆的交点，则经过点A，B，C的圆的方程是 ． 【答案】 【分析】由题设圆的方程为：，代入，即可求得方程. 【详解】因点B，C是直线与圆的交点， 则设过B，C的圆的方程为：，代入， 则，则过过点A，B，C的圆的方程是： . 故答案为： 16．（21-22高三下·上海闵行·期中）点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 【答案】和 【分析】过点作垂直于直线，垂足为，则以为直径的圆过定点和，求出直线的方程，联立两直线方程，求出交点坐标，即可得解. 【详解】如图，过点作垂直于直线，垂足为， 则以为直径的圆过定点和， 因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，解得，即. 所以以为直径的圆经过定点和. 故答案为：和 17．（24-25高三下·陕西西安·阶段练习）已知点，的方程为，P，Q为上的动点，满足，则PQ中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设线段的中点为，则，由得，代入即可求解. 【详解】由题意设线段的中点为，由有，      连接MB，则，故，得， 又因为， 所以，化简整理有. 故答案为：. 18．（24-25高二上·青海西宁·期中）已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】令，由题设得，代入已知圆方程整理即可得动点M的轨迹方程； 【详解】设， M为线段的中点，， 而A是圆C上一动点， 故， 整理得：， 即， 故动点M的轨迹方程为. 故答案为： 19．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆上一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】记原点为，易知原点在圆上，结合距离的几何意义与圆的几何性质可求得的最大值. 【详解】记原点为，易知原点在圆上，则， 故的最大值为圆的直径，故的最大值为. 故答案为：. 20．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】根据给定条件，求出点与直线上的点距离和的最小值，再减去两圆半径和即可. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设点关于直线的对称点为，连接，如图： 则，解得，即， ，则 ，当且仅当是与直线的交点， 且分别是线段与圆的交点时取等号， 所以的最小值为9. 故答案为：9 四、解答题 21．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆过两点且圆关于直线对称，求的的方程． 【答案】 【分析】根据对称性可得圆心在直线上，再由一般方程代入点解方程组可得结果. 【详解】设圆的方程为，则圆心是， 因为圆关于直线对称，则直线经过圆心，即圆心在直线上， 可得，即． 又圆过点，由此可得， 解得， 故的一般方程是． 22．（24-25高二上·北京·期中）已知圆上三点坐标分别为． (1)求该圆的一般方程； (2)求弦BC垂直平分线的方程； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】（1）设圆的一般方程为，将圆上三点坐标代入方程，得到一个三元一次方程组，解方程组即可求出、、的值. （2）先求出弦中点坐标，再根据两直线垂直斜率之积为求出垂直平分线的斜率，最后利用点斜式求出直线方程. （3）可先求出的长度，再求出点到直线的距离，根据三角形面积公式计算. 【详解】（1）设圆的一般方程为. 将，，分别代入方程可得： 解得，，. 所以圆的一般方程为. （2）先求中点坐标，，，中点坐标为.，则弦垂直平分线的斜率为. 根据点斜式可得弦垂直平分线的方程为，即. （3）. 直线的方程为，即. 点到直线的距离. 所以的面积. 23．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)最小值是，最大值是 【分析】（1）设，由，整理可得； （2）由圆心，半径是2，先判断即在圆外，故的最小值为，最大值为. 【详解】（1） 设动点，则， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为，该轨迹是以为圆心，以为半径的圆. （2） 由（1）可知：，半径是2，圆心． 因，故在圆外， 故的最小值是，最大值是. 24．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1) (2)，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【分析】（1）利用待定系数法求解圆的方程即可. （2）根据题干设的坐标是，点的坐标是，再由， 列出方程代入即可求得轨迹方程. 【详解】（1）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （2）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$