精品解析：广东省中山市小榄中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

2024年广东中山小榄中学高二下学期数学5月月考 一、单选题 1. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．已知，则依据小概率值的独立性检验，可以推断变量与（ ） A. 独立，此推断犯错误的概率是 B. 不独立，此推断犯错误的概率是 C. 独立，此推断犯错误的概率不超过 D. 不独立，此推断犯错误的概率不超过 2. 已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示， x 2 4 6 8 y 5 8.2 13 m 则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量y与x是负相关关系 C. 该回归直线必过点 D. x增加1个单位，y一定增加2个单位 3. 某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50000名考生参加这次考试，数学成绩近似服从正态分布，其正态密度函数为且，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为（ ） A. 2000 B. 3000 C. 4000 D. 5000 4. 若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（ ） A. 144种 B. 72种 C. 36种 D. 24种 6. 对任意实数x，有，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的值域为，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列导数运算正确的（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是函数定义域内的极大值点 B. 在上的最小值为 C. 是函数定义域内的极小值点 D. 在定义域内既无最大值又无最小值 11. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立 三、填空题 12. 已知函数，则函数在上的最大值为_______． 13. 统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：g），某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得出，的最大值是______. 14. 在高三的一个班中，有的学生数学成绩合格，若从班中随机找出10名学生，那么数学成绩合格的学生人数，则取最大值时______. 四、解答题 15. 在（）的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列． （1）求n的值； （2）求展开式中的第7项． 16. 某校举办乒乓球与羽毛球比赛，要求每个学生只能报名参加其中一项.从报名参加比赛的学生中随机选取男生、女生各75人进行调查，得到如下列联表: 性别 比赛项目 合计 乒乓球组 羽毛球组 男生 50 25 75 女生 35 40 75 合计 85 65 150 （1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生选择乒乓球还是羽毛球是否与性别有关联. （2）从调查的女生中，按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15人.若从这15人中随机抽2人，记为抽到乒乓球组的学生人数，求的分布列及数学期望. 附: 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数． （1）求的最小值； （2）设，证明： 18. 为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1-10分别对应年份2013-2022．根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 表中 （1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型？并说明理由； （2）根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入金额．附：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 19. 已知函数，若函数在点处的切线方程为. （1）求，的值； （2）求的单调区间； （3）当时，若存在常数，使得方程有两个不同的实数解，，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年广东中山小榄中学高二下学期数学5月月考 一、单选题 1. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．已知，则依据小概率值的独立性检验，可以推断变量与（ ） A. 独立，此推断犯错误的概率是 B. 不独立，此推断犯错误的概率是 C. 独立，此推断犯错误的概率不超过 D. 不独立，此推断犯错误的概率不超过 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立性检验的含义即可判断. 【详解】因为， 所以依据小概率值的独立性检验，可以推断变量与不独立，此推断犯错误的概率不超过. 故选：D 2. 已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示， x 2 4 6 8 y 5 8.2 13 m 则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量y与x是负相关关系 C. 该回归直线必过点 D. x增加1个单位，y一定增加2个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定数据及回归方程求出样本中心点，再逐项判断即可得解. 【详解】依题意，， 由，解得，A错误； 回归方程中，，则变量y与x是正相关关系，B错误； 由于样本中心点为，因此该回归直线必过点，C正确； 由回归方程知，x增加1个单位，y大约增加2个单位，D错误. 故选：C 3. 某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50000名考生参加这次考试，数学成绩近似服从正态分布，其正态密度函数为且，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为（ ） A. 2000 B. 3000 C. 4000 D. 5000 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可得． 【详解】由题易知均值， 由正态曲线的对称性可知 ， 则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为． 故选：D． 4. 若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的图象，分类讨论，求得的符号，得到函数的递增区间，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得： 当时，可得，所以，单调递减； 当时，可得，所以，单调递增； 当时，可得，所以，单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 5. 某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（ ） A. 144种 B. 72种 C. 36种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】将第一个和最后一个先安排为公益广告，然后由商业广告不能3个连续播放，将其排成一列，之间有两个空，将剩下的公益广告插进去即可. 【详解】先从3个不同的公益广告中选两个安排到第一个和最后一个播放有种方法， 然后将3个不同的商业广告排成一列有种方法， 3个不同的商业广告之间有两个空，选择一个将剩下的一个公益广告安排进去即可， 所以总共有：种方式. 故选:B 6. 对任意实数x，有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对A，赋值判断即可； 对B，根据，再根据展开式中项的系数方法求解即可； 对C，赋值判断即可； 对D，赋值判断即可； 【详解】对A，赋值可得，即，故A错误； 对B，，故，故B错误； 对C，赋值有，又，故，故C错误； 对D，赋值有，即，故D正确 故选：D 7. 若函数的值域为，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若函数的值域为，则函数的函数值应能取到所有的正数，只需使的最小值小于等于0，通过导数研究函数的最小值，解出即可求得实数的最大值. 【详解】若函数的值域为， 则函数的函数值应能取到所有的正数，易知， ，则只需使的最小值小于等于0， ，当时，，单减； 当时，，单增； 则的最小值为， 解得，则实数的最大值为 故选：B 8. 下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，利用独立重复试验的概率公式可判断AB选项；利用二项分布的期望和方差的公式可判断CD选项． 【详解】设“向右下落”，则“向左下落”，， 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数， 而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确； 故选：B． 二、多选题 9. 下列导数运算正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导数的运算法则依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对A，，故A正确； 对B，，B错误； 对C，，C 正确； 对D， ，D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是函数定义域内的极大值点 B. 在上的最小值为 C. 是函数定义域内的极小值点 D. 在定义域内既无最大值又无最小值 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A和C，用导数研究的单调性再确定极值点即可；对于B，用导数研究的最小值即可；对于D，证明对任意的，有，，从而得到既没有最大值也没有最小值即可. 【详解】对于A，由知当或时，当时. 所以在和上单调递减，在上单调递增，这表明是的极小值点，A错误； 对于B，根据的单调性，知在上的最小值为，B正确； 对于C，上面已经推知是的极小值点，C正确； 对于D，由于对任意的，有，. 所以没有最大值，也没有最小值，D正确. 故选：BCD. 11. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用互斥事件概率公式分析A，条件概率公式分析B，独立事件的性质判断C,独立事件的概率公式分析D即可. 【详解】对于A，已知A与B互斥，则，故A正确， 对于B，已知，则，故，故B错误， 对于C，若A与B相互独立，则，故C正确， 对于D，易知，，故，则A与B相互独立，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 已知函数，则函数在上的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的单调性求出的单调性，比较极小值与两端点，的大小求出在上的最大值. 【详解】因为，则，令，即时，函数单调递增. 令，即时，函数单调递减. 所以的单调递减区间为，的单调递增区间为， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值也是函数的最小值. ，两端点为，，即最大值为. 故答案为：. 13. 统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：g），某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得出，的最大值是______. 【答案】5 【解析】 【分析】利用原则列出不等式，求解即得. 【详解】依题意，，由原则，得，解得， 所以的最大值是5. 故答案为：5 14. 在高三的一个班中，有的学生数学成绩合格，若从班中随机找出10名学生，那么数学成绩合格的学生人数，则取最大值时______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，得到且，进而求得的值. 【详解】由数学成绩合格的学生人数，可得， 则满足且， 解得且，所以， 所以取最大值时，实数的值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 在（）的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列． （1）求n的值； （2）求展开式中的第7项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，再解方程即可； （2）根据二项式的通项求解即可. 【小问1详解】 第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，即构成等差数列. 所以，即，且，. 整理，得，解得或（舍去）. 【小问2详解】 ， 令，则， 故展开式中的第7项为. 16. 某校举办乒乓球与羽毛球比赛，要求每个学生只能报名参加其中一项.从报名参加比赛的学生中随机选取男生、女生各75人进行调查，得到如下列联表: 性别 比赛项目 合计 乒乓球组 羽毛球组 男生 50 25 75 女生 35 40 75 合计 85 65 150 （1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生选择乒乓球还是羽毛球是否与性别有关联. （2）从调查的女生中，按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15人.若从这15人中随机抽2人，记为抽到乒乓球组的学生人数，求的分布列及数学期望. 附: 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）与性别有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，与3.841比较得到结论； （2）先得到选取乒乓球组和羽毛球组的人数，得到的可能取值为和对应的概率，得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 ， 故可以在的情况下，得到该校学生选择乒乓球还是羽毛球与性别有关联； 【小问2详解】 女生中，乒乓球组与羽毛球组选取人数比例为， 故选取的15人中，选取乒乓球组的有人，选取羽毛球组的有人， 故的可能取值为， ，，， 故的分布列为 0 1 2 数学期望为. 17. 已知函数． （1）求的最小值； （2）设，证明： 【答案】（1） （2）因为，， 所以由，得，即， 令，，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数性质的关系即可得解； （2）构造函数，利用导数证得恒成立，从而得证. 【小问1详解】 因为，，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 【小问2详解】 略 18. 为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1-10分别对应年份2013-2022．根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 表中 （1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型？并说明理由； （2）根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入金额．附：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 【答案】（1）选择模型②，理由为： 根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差； 模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好， 所以选择模型②更适宜． （2），预测该公司2028年的高科技研发投入亿元． 【解析】 【分析】（1）根据残差图与拟合效果的关系即可确定； （2）根据最小二乘法求非线性回归方程，再将代入回归方程，即可预测该公司2028年的高科技研发投入金额； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知回归方程为，设，则， 所以， 所以关于的经验回归方程为， 令，则， 即预测该公司2028年的高科技研发投入亿元． 19. 已知函数，若函数在点处的切线方程为. （1）求，的值； （2）求的单调区间； （3）当时，若存在常数，使得方程有两个不同的实数解，，求证：. 【答案】（1）、 （2）单调递减区间为，，单调递增区间为 （3）由（1）可得当时的单调递减区间为，单调递增区间为， 则在处取得极小值， 因为当时，存在常数，使得方程有两个不同的实数解，， 即与有两个交点，则， 不妨设，则， 要证， 即证，又，所以， 因为在上单调递增， 所以只需证明， 又，则只需证明， 令， 则 ， 令，，则， 则在上单调递减，且，所以， 所以，即在上单调递减， 所以， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 则. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得即可； （2）由（1）可得，求出函数的定义域与导函数，再解得关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （3）由（2）不妨设，则，则只需证明，即证，令，利用导数说明函数的单调性，即可得证. 【小问1详解】 因为，所以， 因为函数在点处的切线方程为，所以，即， 解得. 【小问2详解】 由（1）可得定义域为， 则， 因为， 所以当或时，当时， 所以的单调递减区间为，，单调递增区间为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $