精品解析：江苏省无锡市江阴市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年第二学期期中考试 初二数学试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上相应的表格中．） 1. 下列哪个图形不是中心对称图形？（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，直接根据中心对称图形的定义把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形进行判断即可． 【详解】解：．是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是中心对称图形 ，故该选项不符合题意； ．是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：D． 2. 下列各项调查适合普查的是（ ） A. 夏季冷饮市场上冰淇淋的质量 B. 公民保护环境的意识 C. 调查某学校七年级（2）班每位同学所穿鞋子的尺码 D. 某品牌灯泡的使用寿命 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：．夏季冷饮市场上冰淇淋的质量适合抽样调查，故该选项不符合题意； ．公民保护环境的意识适合抽样调查，故该选项不符合题意； ．调查某学校七年级（2）班每位同学所穿鞋子的尺码适合普查，故该选项符合题意； ．某品牌灯泡的使用寿命适合抽样调查，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 在一只不透明的袋子中装有3个红球、2个白球和1个黄球，这些球除颜色外都相同．从袋子中任意摸出1个球，摸到的球是白色，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：从袋子中任意摸出1个球，摸到的球是白色，这个事件是随机事件， 故选：A 4. 农业科研人员在试验田里种植了新品种大麦，为了考察麦穗长度的分布情况，抽取了100个麦穗进行测量．这项调查中的样本是（ ） A. 新品种大麦长度的分布情况 B. 100 C. 从中抽取的100个麦穗的长度 D. 100个麦穗中的某一个麦穗的长度 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了样本的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，据此即可判断． 【详解】解：这项调查中的样本是从中抽取的100个麦穗的长度， 故选：C 5. 在式子、、、、中，是分式的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的知识，熟练掌握分式的定义是解题关键．一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母．根据分式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：在式子、、、、中， 分式的有，， 故选：B 6. 若有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 可取任何数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式分母不为0求解即可． 【详解】解：根据分式有意义可知：， 解得：， 故选：B 7. 下列命题为真命题的个数有（ ） ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②顺次连接对角线相等的四边形的四边中点，得到的四边形是矩形； ③对角线互相垂直的四边形是菱形； ④对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，根据各自的判定定理一一判定即可． 【详解】解：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，一组对边平行，另一组对边相等的四边形无法判断，则该命题是假命题， ②如下图： 因为点H，点E分别为，的中点， ∴，， ∴是的中位线， ∴， 同理，，， ∴， ∴四边形为菱形， 则顺次连接对角线相等的四边形的四边中点，得到的四边形是菱形，故该命题是假命题， ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原说法错误，是假命题， ④对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，满足正方形的判定定理，是真命题， 故选：A． 8. 已知，是正数，则（ ） A. 是正数 B. 是负数 C. 有可能是0 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的减法运算，先进行分式的减法运算，再结合，是正数判断分子分母的正负性，进而可得出答案． 【详解】解： ∵，是正数， ∴分子，分母 ， ∴ ， 即是正数， 故选∶A 9. 如图，在菱形中，，在射线、上有两点、，连接、、，下列说法：①若、分别是、的中点，且，则菱形的面积为．②若菱形的周长为16，则． ③若，且，则的长度为．④若，则面积的最小值为．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，过点作与点H，由菱形的性质和，含30度直角三角形的性质得出，，进而求出，再根据菱形的性质求出面积可判断①，由菱形的性质可判断②，连接．由等边三角形的判定和含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定性质结合勾股定理即可求出进而可判断③，由等边三角形的性质得出，再根据垂线段最短，得出即时，面积的最小值，此时点E为的中点，进而求出面积的最小值，即可判断④． 【详解】解：过点作与点H， ∵， ∴， ∴， ∵是菱形， ∴， ∵、分别是、的中点，且， ∴ ∴，， ∴， ∴则菱形的面积为，故①正确， 若菱形的周长为16，则， 但无法确定射线、上两点、的位置，故无法推出，故②错误， 如下图，连接． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，． ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， 又∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确， ∵是等边三角形， 过点A作交与点K， 则， ∴， ∴， ∴， ∴当最小，即时，面积的最小值，此时点E为的中点， 在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴，故④正确， 综上：①③④正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据题意画出图形，利用相关知识求解是解题的关键． 10. 将一个边长为1的等边三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作等边三角形，并擦去中间一段，得图2，如此继续下去，得图（3）…不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线．记为如图中第个图形的面积，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，图形类规律探索，分式四则混合的应用，先利用等边三角形的性质求出，再根据图形规律求出，最后再根据图形规律求出即可． 【详解】解：过点A作与点D， 由等边三角形的性质可得出， ∴， ∴， ∴， 根据对比第二个图像和第一个图形可知：第一次操作后增加了3个边长为的等边三角形， 则图二面积， 第二次操作后，增加了个边长为的等边三角形，即图3， 此时 ， 故选：A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 分式与的最简公分母是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．根据确定最简公分母的方法求出最简公分母即可． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故答案为：． 12. 我市数学学科期中考试开考时间是4月22日上午9时00分，数串“”中“”出现的频数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频数，解答本题的关键是掌握频数的概念：频数是指每个对象出现的次数． 【详解】解：数串“”中“”出现的频数是4． 故答案为： 13. 从一副扑克牌中任意抽取1张．①这张牌是“”；②这张牌是“黑桃”；③这张牌是“小王”；④这张牌是“黑色的”．估计上述事件发生的可能性的大小，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序列____________． 【答案】③①②④ 【解析】 【分析】此题主要考查了随机事件发生的可能性的大小，首先分别求出一副扑克牌中含“”、“黑桃”、“小王”、“黑色的”的张数各是多少，然后根据每张牌被抽到的机会相等，只要比较出哪个事件的可能结果最多，即可判断出这些事件发生的可能性的大小，并将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列即可． 【详解】解：一副扑克牌中含“” 4 张，“黑桃”13 张，“小王”1 张，“黑色的” 27 张， ， ∴将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列：③①②④． 故答案为：③①②④． 14. 在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有10个白球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，那么可以推算出的值大约为____________． 【答案】200 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：由题意可得，， 解得，， 故估计n大约是 200 ， 故答案为：200 ． 15. 菱形的边长为5，一条对角线长为6，则这个菱形的面积是________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积． 【详解】解：如图，当BD=6时， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=3， ∵AB=5， ∴AO=， ∴AC=8， ∴菱形的面积是：BD×AC=×6×8=24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半． 16. 用反证法证明“在中，若，则”，第一步应假设____________． 【答案】在中， 【解析】 【分析】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可求解． 【详解】解：用反证法证明“在中，若，则”，第一步应假设在中， 故答案为：在中，． 17. 关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是____________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 由分式方程的解为非负数，得到且， 解得：且． 故答案为：且． 18. 如图，中，将绕点旋转一周，旋转过程中点与点对应，点与点对应，取中点，连接，取中点，则在旋转过程中的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，取中点，连接，根据点是中点，点是中点，得出是中位线，即可得，在中，根据，点是中点，结合等腰三角形三线合一的性质得出，，勾股定理求出，根据题意可得，是定值，，即可得出当共线时，最大，最大值．如图，过点C作，根据旋转可得，则，根据勾股定理可得，求出，即可求得，再根据勾股定理求出，即可得出，再根据的最大值为即可解答， 【详解】解：如图，取中点，连接， ∵点是中点，点是中点， ∴是中位线， ∴， 在中，，点是中点， ∴，， ∴， ∵，是定值，， ∴当共线时，最大，最大值． 如图，过点C作， 根据旋转可得， ∴， 根据题意， ∴ 即， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】该题考查了勾股定理，二次根式的混合运算，三角形中位线定理，旋转的性质等知识点，正确做出辅助线，确定当共线时，最大，最大值是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算 （2）解方程 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题主要考查分式的计算及分式方程的求解，解题的关键是熟知其运算法则． （1）根据分式的运算法则即可求解        （2）先去分母化为整式方程，故可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解： 去分母得： 移项得 解得： 检验，当时， ∴是原方程的解 20. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先运算除法，再运算减法，化简得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证： （1）△ABE≌△CDF； （2）四边形AECF是平行四边形． 【答案】（1）证明：解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴（SAS）； （2）证明：∵， ∴ ∴， ∴四边形AECF是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据SAS即可证明； （2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 22. 为了鼓励学生课外阅读，学校公布了“阅读奖励”方案，征求了部分学生的意见，赞成、中立、反对、无所谓四种意见的人数之比为，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）根据图中信息，本次共调查了 名学生；赞成的百分比为 ． （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1800名学生，估计持反对意见的学生有多少人? 【答案】（1）1200；50 （2）见解析 （3）持反对意见的学生有360人 【解析】 【分析】本题考查统计的基本知识，样本估计总体，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息． （1）根据四种意见的人数之比为，得出赞成的人数的百分比，进而求得总人数； （2）根据总人数和四种意见的人数之比为，求得其他三种意见的人数，补全统计图； （3）根据样本估计总体，即可求解． 【小问1详解】 解：， 本次共调查了名学生， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：中立、反对、无所谓三种意见的人数分别为 如图， 【小问3详解】 （人） 答：持反对意见的学生有人． 23. 作，使． （1）请用两种不同方法确定点，要求尺规作图，单位长参考示例图，保留作图痕迹，简要写出作图步骤；单位长示例： （2）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了画线段，平行四边形的性质与判定，勾股定理，掌握基本作图以及平行四边形的性质是解题的关键； （1）方法1：先画出，再画交于点；方法2：先画出，再以的中点为圆心作圆确定点； （2）勾股定理求得边上的高，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：方法1：如图 方法2：如图 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 在中， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ 24. 按下列要求在方格纸中画图： （1）绕点按逆时针方向旋转所得到的； （2）关于点成中心对称所得到的； （3）方格纸中小正方形边长为1，请在上找一点，使得最小，画出点并直接写出这个最小值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析，最小值是 【解析】 【分析】本题考查了作旋转图形，勾股定理与网格问题，轴对称-最短问题，解题的关键熟练掌握旋转的性质． （1）分别作出A，B，C的对应点即可； （2）分别作出A，B，C 的对应点即可； （3）作点关于的对称点，连接交轴于点P，连接，此时的值最小． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，作点关于的对称点，连接交轴于点P，连接，此时的值最小，最小值为． 25. 某学校计划购买一批平板电脑装备智慧教室．已知有、两种型号的平板电脑可供选择，且型号的单价比型号贵元．经测算，若学校花费元单独购买型平板电脑或单独购买型平板电脑，则购买到的型平板电脑的数量是型的倍． （1）、型平板电脑的原价各是多少元？ （2）实际购买时，恰逢“国家补贴”优惠期，两种型号的平板电脑单价均降价元销售，学校决定花费不超过元装备台平板电脑，且为了良好的实际体验效果要求型号的平板数量不超过型号的两倍，问有哪几种购买方案？ 【答案】（1）、型平板电脑的原价各是元与元 （2）共有四种购买方案 【解析】 【分析】本题考查了分式方程与一元一次不等式的应用，根据题意列出方程和不等式是解题的关键； （1）设、型平板电脑的原价各是元、元，根据题意列出分式方程，解方程，并检验，即可求解． （2）设购买型平板电脑台，购买型平板电脑台，根据题意得出不等式，根据为正整数，得17、18、19、20，求得对应的方案，即可求解． 【小问1详解】 解：设、型平板电脑的原价各是元、元 根据题意： 解之得， 经检验，是所列方程的解且符合题意． 答：、型平板电脑的原价各是2500元与2000元 【小问2详解】 解：补贴后，、型平板电脑的原价各是2000元与1500元 设购买型平板电脑台，购买型平板电脑台 ∴购买总价为 由题意得： ∴ 又∵为正整数，得17、18、19、20，对应的分别是33、32、31、30 答：共有四种购买方案，分别是： ①购买型平板电脑17台，购买型平板电脑33台 ②购买型平板电脑18台，购买型平板电脑32台 ③购买型平板电脑19台，购买型平板电脑31台 ④购买型平板电脑20台，购买型平板电脑30台 26. 我们知道，一些分数可以写成两个分子为1、分母为正整数的分数的差，如，我们把具有这种性质的分数称为“可拆分数”．类似的，若一个分式可以拆为两个分子是1、分母为整系数整式的分式之差，我们就将其称为“可拆分式”．如因为，所以是“可拆分式”． 【初步感受】（1）________（是或不是）“可拆分数”，________（是或不是）“可拆分数” ________（是或不是）“可拆分式”． （2）证明是“可拆分式”． 【深入探究】记（为正整数）．当时，我们发现：，因此当时，是“可拆分式”． （3）是否始终为“可拆分式”？若是，请说明理由．不是则举出反例． 【答案】（1）是、不是、是；（2）见解析；（3）是，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，有理数的运算，理解新定义是解题的关键； （1）根据“可拆分数”和“可拆分式”的定义，逐个判断，即可求解； （2）按照例题，计算，即可求解； （3）将拆为两个分子是1、分母为整系数整式的分式之差，即可求解． 【详解】解：（1），是“可拆分数”， 不是“可拆分数”， 是“可拆分式”． 故答案为：是、不是、是 （2） ∴是“可拆分式” （3）答：是 证明： ∴始终为“可拆分式” 27. 如图，在正方形外取一点，连接、、．过点作的垂线交于点，． （1）求证：； （2）若．过点作的延长线交于点，交于点，解答以下问题： ①求的长； ②求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）先证明得出，进而得出，即可得证； （2）①根据已知可得为等腰直角三角形进而证明为等腰直角三角形，勾股定理求得，，进而求得； ②证明为等腰直角三角形；得出，,在中，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图， ∵正方形，， ∴ ∴， 又∵ ∴； ∴， ∵； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①∵且， ∴为等腰直角三角形； ∴， ∵， ∴； ∴， ∵， ∴； ∴为等腰直角三角形， 在中， ∴， ∴， ∴． （2）②∵与是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形； ∴， ∴， 在中， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期期中考试 初二数学试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上相应的表格中．） 1. 下列哪个图形不是中心对称图形？（ ） A. B. C. D. 2. 下列各项调查适合普查的是（ ） A. 夏季冷饮市场上冰淇淋的质量 B. 公民保护环境的意识 C. 调查某学校七年级（2）班每位同学所穿鞋子的尺码 D. 某品牌灯泡的使用寿命 3. 在一只不透明的袋子中装有3个红球、2个白球和1个黄球，这些球除颜色外都相同．从袋子中任意摸出1个球，摸到的球是白色，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定事件 4. 农业科研人员在试验田里种植了新品种大麦，为了考察麦穗长度的分布情况，抽取了100个麦穗进行测量．这项调查中的样本是（ ） A. 新品种大麦长度的分布情况 B. 100 C. 从中抽取的100个麦穗的长度 D. 100个麦穗中的某一个麦穗的长度 5. 在式子、、、、中，是分式的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 可取任何数 7. 下列命题为真命题的个数有（ ） ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②顺次连接对角线相等的四边形的四边中点，得到的四边形是矩形； ③对角线互相垂直的四边形是菱形； ④对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 已知，是正数，则（ ） A. 是正数 B. 是负数 C. 有可能是0 D. 无法判断 9. 如图，在菱形中，，在射线、上有两点、，连接、、，下列说法：①若、分别是、的中点，且，则菱形的面积为．②若菱形的周长为16，则． ③若，且，则的长度为．④若，则面积的最小值为．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 10. 将一个边长为1的等边三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作等边三角形，并擦去中间一段，得图2，如此继续下去，得图（3）…不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线．记为如图中第个图形的面积，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 分式与的最简公分母是____________． 12. 我市数学学科期中考试开考时间是4月22日上午9时00分，数串“”中“”出现的频数是____________． 13. 从一副扑克牌中任意抽取1张．①这张牌是“”；②这张牌是“黑桃”；③这张牌是“小王”；④这张牌是“黑色的”．估计上述事件发生的可能性的大小，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序列____________． 14. 在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有10个白球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，那么可以推算出的值大约为____________． 15. 菱形的边长为5，一条对角线长为6，则这个菱形的面积是________． 16. 用反证法证明“在中，若，则”，第一步应假设____________． 17. 关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是____________． 18. 如图，中，将绕点旋转一周，旋转过程中点与点对应，点与点对应，取中点，连接，取中点，则在旋转过程中的最大值为____________． 三、解答题（本大题共9小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算 （2）解方程 20. 先化简再求值：，其中． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证： （1）△ABE≌△CDF； （2）四边形AECF是平行四边形． 22. 为了鼓励学生课外阅读，学校公布了“阅读奖励”方案，征求了部分学生的意见，赞成、中立、反对、无所谓四种意见的人数之比为，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）根据图中信息，本次共调查了 名学生；赞成的百分比为 ． （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1800名学生，估计持反对意见的学生有多少人? 23. 作，使． （1）请用两种不同方法确定点，要求尺规作图，单位长参考示例图，保留作图痕迹，简要写出作图步骤；单位长示例： （2）求的面积． 24. 按下列要求在方格纸中画图： （1）绕点按逆时针方向旋转所得到的； （2）关于点成中心对称所得到的； （3）方格纸中小正方形边长为1，请在上找一点，使得最小，画出点并直接写出这个最小值． 25. 某学校计划购买一批平板电脑装备智慧教室．已知有、两种型号的平板电脑可供选择，且型号的单价比型号贵元．经测算，若学校花费元单独购买型平板电脑或单独购买型平板电脑，则购买到的型平板电脑的数量是型的倍． （1）、型平板电脑的原价各是多少元？ （2）实际购买时，恰逢“国家补贴”优惠期，两种型号的平板电脑单价均降价元销售，学校决定花费不超过元装备台平板电脑，且为了良好的实际体验效果要求型号的平板数量不超过型号的两倍，问有哪几种购买方案？ 26. 我们知道，一些分数可以写成两个分子为1、分母为正整数的分数的差，如，我们把具有这种性质的分数称为“可拆分数”．类似的，若一个分式可以拆为两个分子是1、分母为整系数整式的分式之差，我们就将其称为“可拆分式”．如因为，所以是“可拆分式”． 【初步感受】（1）________（是或不是）“可拆分数”，________（是或不是）“可拆分数” ________（是或不是）“可拆分式”． （2）证明是“可拆分式”． 【深入探究】记（为正整数）．当时，我们发现：，因此当时，是“可拆分式”． （3）是否始终为“可拆分式”？若是，请说明理由．不是则举出反例． 27. 如图，在正方形外取一点，连接、、．过点作的垂线交于点，． （1）求证：； （2）若．过点作的延长线交于点，交于点，解答以下问题： ①求的长； ②求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $