专题07 二次函数（9大题型）（河南专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题07 二次函数 题型概览 题型01 二次函数的图象与性质 题型02 二次函数的图象与系数的关系 题型03 二次函数的最值 题型04 待定系数法求求二次函数解析式 题型05 二次函数图象的平移 题型06 二次函数与一元二次方程 题型07 二次函数与不等式 题型08 实际问题与二次函数 题型09 二次函数综合 ( 题型0 1 )二次函数的图象与性质 1．（2025·河南驻马店·二模）点 是抛物线 上的点，且 ，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的图象和性质，先判断出抛物线开口方向及对称轴，再根据点到对称轴的距离判断函数值的大小． 【详解】解：中 抛物线开口向下，对称轴为y轴，抛物线上离对称轴越远的点，函数值越小， ， ， 故选：C． 2．（2025·河南开封·二模）如图，在中，，，，点 P 从点A 出发，沿向点C 以的速度运动，同时点 Q从点C 出发，沿向点B 以的速度运动（当点 Q 运动到点 B 时，点 P，Q 同时停止运动）．在运动过程中，四边形的面积最小为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，勾股定理，列函数关系是解题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再设点 P 运动时间为t，四边形的面积为y，根据题意表示出y与t的函数关系式，进一步利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：由题可知，是直角三角形， ∴， 设点 P 运动时间为t，四边形的面积为y， 则， ∴， 则当时，y最小为． 故选：C． 3．（2025·河南·二模）点，是抛物线上的点，且，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴的求法，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小；反之，越大． 根据函数解析式得出图象开口向上，对称轴为y轴，结合，即可解答． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∵，， ∴图象开口向上，对称轴为y轴， ∵， ∴， 故选：A． 4．（2025·河南·二模）已知二次函数 ． (1)当时． ①求该函数图象的顶点坐标； ②当时，直接写出x的取值范围． (2)若点是该函数图象上不同的两点，求m的值． (3)当时，将该函数图象沿y轴向上或向下平移t个单位，若图象的最低点到x轴的距离为1，求t的值． 【答案】(1)①；②或 (2) (3)或或或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质并利用分类讨论是解题的关键． （1）①把抛物线化为顶点式，即可得到答案；②先判断函数的增减性，再求出时的自变量值，据此即可得到答案； （2）把点A坐标代入解析式求出t的值，得到函数解析式，再把顶点B的坐标代入即可求出m的值； （3）分情况利用图象的最低点到x轴的距离为1列方程进行解答即可． 【详解】（1）①当时．， ∴该函数图象的顶点坐标为； ②当时．， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大， ∵当时，，解得， ∴当时，或； （2）∵点是该函数图象上不同的两点， ∴把代入得到，，解得， ∴， 把代入得，， 解得， ∵点是该函数图象上不同的两点， ∴ （3）由题意可得，， 将该函数图像沿y轴向上平移t个单位后得到的解析式为， ∵图象的最低点到x轴的距离为1， ∴或 即或， 解得或（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去） ∴或， 将该函数图像沿y轴向下平移t个单位后得到的解析式为， ∵图象的最低点到x轴的距离为1， ∴或 即或， 解得或（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去） ∴或， 综上可知，或或或 5．（2025·河南漯河·二模）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．利用二次函数的性质可得抛物线开口向下，对称轴为，令，求出抛物线与轴的交点为和，再由抛物线经过点，，且，结合二次函数的图象即可求解． 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向下，对称轴为， 令，则， 解得：，， 抛物线与轴的交点为和， 抛物线经过点，，且， ， 解得：． 故选：B． 6．（2025·河南郑州·二模）写出一个开口向上，且与y 轴的正半轴相交的抛物线的表达式： 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 由“开口向上，且与轴的正半轴相交”可得二次项系数大于0，常数项大于0，据此解答即可． 【详解】解：开口向上，且与轴的正半轴相交的抛物线的解析式满足条件：二次项系数大于0，常数项大于0， 如：， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（2025·河南商丘·二模）写出一个二次函数，其图象过点且开口向下： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据二次函数定义，由二次函数开口向下，得到，再由图象过，得到，任取一个值即可得到答案．熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数开口向下，且图象过， 写出一个二次函数可为， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（2025·河南周口·二模）已知抛物线的顶点为． (1)若抛物线经过原点，求的值及顶点的坐标． (2)在的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为． 图象的解析式为 （写出自变量的取值范围）； 若直线与图象有个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，顶点的坐标为（-1，-1） (2)①．② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式、求二次函数的解析式，解决本题的关键是要注意数形结合的思想和分类讨论的思想的运用． 根据抛物线经过原点，可得：，从而可知，抛物线的解析式为，把抛物线的解析式化为顶点式为，可得抛物线的顶点的坐标为； 将图象绕原点旋转，得到新图象的顶点坐标为，开口向下，所以可以得到图象的顶点式解析式为，整理成二次函数的一般式解析式即可； 直线与图象有个交点，则可能直线与图象有个交点、与图象有个交点，也可能直线与图象有个交点、与图象有个交点时，分情况利用一元二次方程根的判别式求出的值即可． 【详解】（1）解：抛物线经过原点， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 整理得：， 抛物线的顶点的坐标为； （2）解：将图象绕原点旋转，得到新图象的顶点坐标为，开口向下， 图象的解析式为， 整理可得：； 如下图所示， 当直线与图象有个交点、与图象有个交点时， 可得：， 整理可得：， 则有， 解得：； 当直线与图象有个交点、与图象有个交点时， 可得：， 整理可得：， 则有， 解得：； 综上所述，当时，直线与图象有个交点．    9．（2025·河南开封·二模）抛物线（）的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：；若，是图象上的两点，则；；若方程没有实数根，则；．其中结论正确的是 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线与轴有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，故错误；根据抛物线开口向下，顶点为，对称轴为，可知点到对称轴的距离越大，对应的值越小，因为，所以，故错误；根据二次函数的对称性可知抛物线与轴的另一个交点在点和之间，所以可得，故正确；因为方程没有实数根，所以抛物线与直线无交点，因为抛物线顶点为，所以可知，故正确；由可知，又因为，所以可得，故正确． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ， 即， 故错误； 抛物线顶点为，对称轴为， ，， ， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 又，抛物线开口向下， ， 故错误； 对称轴， 可得：， 当时，， 抛物线与轴的一个交点在点和之间，对称轴为， 与轴的另一个交点在点和之间， 当时，，即， 故正确； 方程没有实数根， 抛物线与直线无交点， 抛物线顶点为，， 抛物线开口向下， ， 故正确； 由可知，又， ，即， 故正确． 故答案为：． 10．（2025·河南信阳·二模）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）： 温度 … 0 2 4 … 植物每天高度增长量 … 41 49 49 41 25 … 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的二次函数，则下列说法： ①该植物在时，每天高度增长量最大； ②该植物在时，每天高度增长量仍能保持在以上； ③该植物与大多数植物不同，以上的环境下高度几乎不增长． 其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】设二次函数的解析式为，选择三个点的坐标代入求得解析式，根据解析式，抛物线的性质，判断解答即可． 【详解】解：设二次函数的解析式为，根据题意，得 ， 解得， 故抛物线的解析式为， 由，得时，y取得最大值50即该植物在时，每天高度增长量最大； 故①错误； 当时，， 故该植物在时，每天高度增长量仍能保持在以上； 故②正确； 当时，， 故该植物与大多数植物不同，以上的环境下高度几乎不增长． 故③正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的最值，求函数值，配方法的应用，熟练掌握待定系数法，抛物线的最值是解题的关键． 11．（2025·河南郑州·二模）已知二次函数，将该二次函数图象向上平移，若平移后的图象与x轴交于两点（），下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线的平移，根据抛物线平移的方向与抛物线的性质，利用数形结合的思想找到抛物线与轴的交点的变化规律求解即可． 【详解】解：当时，可得：， 解得：， ∴抛物线与轴的交点坐标分别为， 如下图所示，当抛物线向上平移时，根据抛物线的对称性可知：，整理可得：， 故选：B． 12．（2025·河南许昌·二模）新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”． (1)若抛物线是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式． (2)已知抛物线（，为常数，且）． ①求证：该抛物线为“定点抛物线”； ②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； （1）将代入，求解即可； （2）①将代入，得，可知点在抛物线上，进而求解； ②求得该二次函数的对称轴和顶点坐标为，结合题意画出图象，进而求解 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）①证明：将代入，得， 点在抛物线上， ∴该抛物线为“定点抛物线”. ②， 该抛物线的开口向下， 由题可知该抛物线经过点， 当抛物线的顶点在最低位置时，顶点坐标为. 此时抛物线的对称轴为直线， 点关于直线的对称点为. 画出抛物线的大致图象如图所示； 结合图象可知，当时，点在直线上方， 此时； ( 题型0 2 )二次函数的图象与系数的关系 13．（2025·河南南阳·二模）若二次函数 的图象如图所示，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象经过象限与系数的关系．利用二次函数的图象可以判定系数a、b、c的正负号，再判定直线不经过的象限． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点位于y轴的负半轴， ，，， ， ，， 直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选A． 14．（2025·河南·二模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤当时，随的增大而增大，其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质；根据抛物线的对称轴方程和开口方向以及与x，y轴的交点可对①②④进行判断；根据图象过，结合对称轴则可对③进行判断；根据抛物线的性质则可对⑤进行判断． 【详解】解：观察图象，可知该图象开口向上，与轴交于正半轴，与轴有两个交点， ，故②正确； 图象过点，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故①错误，④正确； 把代入中，得， 又， ，即， ，故③正确； 由图象，可得当1时，随的增大而减小，故⑤错误． 综上所述，可得①⑤错误，②③④正确．正确结论有3个， 故选B． 15．（2025·河南·二模）已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．”逐项判断即可． 【详解】A．图象中二次函数，一次函数，故A不符合题意． B．图象中二次函数，又对称轴在y轴右侧，则，得出，矛盾，故B不符合题意． C．图象中一次函数和二次函数，对称轴得到，故C符合题意． D．图象中二次函数，又对称轴在y轴右侧得到，矛盾，故D不符合题意． 故选：C． 16．（2025·河南·二模）写出一个开口向上的二次函数表达式 ： 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象，熟记二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系是解答本题的关键，“对于二次函数，当时，其图象开口向上，当时，其图象开口向下”，本题是一道开放性题，所以只要写一个二次项系数大于零的二次函数即可． 【详解】因为开口向上的二次函数的二次项系数是正数，所以满足题意的二次函数表达式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 17．（2025·河南·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据二次函数图象推出，再根据一次函数，反比例函数图象与系数的关系即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，且与y轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数和反比例函数图象的综合判断，熟知三个函数图象与其对应的系数关系是解题的关键． 18．（2025·河南·二模）若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的图像即可判断出、b、c与0的大小关系，然后根据一次函数和反比例函数的图像特点确定答案． 【详解】解：∵抛物线开口向上 ∴＞0 ∵抛物线对称轴＞0 ∴b＜0 ∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴上 ∴c＞0 ∴当＞0，b＜0时，一次函数的图像过第一、三、四象限； 当c＞0时，反比例函数的图像过第一、三象限． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数图像与系数的关系，解答本题的关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质． ( 题型0 3 )二次函数的最值 19．（2025·河南平顶山·二模）已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据对称轴公式进行求解即可； （3）分和，根据最值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， 解得：； （2）由题意，对称轴为直线； （3）当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， 解得：； 当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最大，即：， 解得：； 综上：或． 20．（2025·河南·二模）已知二次函数的图象经过点，，对称轴为直线． (1)直接写出　　　　，　　　　，　　　　； (2)当时，求二次函数的最值； (3)当时，二次函数的最小值为，求n的值． 【答案】(1)，， (2)时有最大值，时有最小值 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的图形和性质，待定系数法求出二次函数是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质，结合得到当时取最小值； （3）根据题意分三种情况进行分类讨论，分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， ， 解得， 二次函数为， 对称轴为直线， ， 故答案为：，，； （2）解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 在内，当时有最大值， 当时有最小值； （3）解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，时有最小值，即， 解得或（舍去）； 当时，时有最小值，即． 解得或（舍去）； 当时，时有最小值，即， 解得（舍去）； 综上所述，的值为或． 21．（2025·河南许昌·二模）已知抛物线的顶点为，点，是抛物线上的任意两点． (1)当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式； (2)当点位于轴下方时，求点到轴距离的最小值； (3)若对于，总有，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）将代入抛物线解析式求出，即可求解； （2）先将抛物线化为顶点式，可得其顶点为，根据题意可得，则点到轴的距离为，结合二次函数的性质即可求解； （3）由抛物线解析式可知，该抛物线开口向上，对称轴为直线，进而得到二次函数的增减性，结合对于，总有，可得，即可求解． 【详解】（1）解：将代入抛物线解析式可得：， 解得：， 当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式为； （2）抛物线， 其顶点为， 当点位于轴下方时，， 点到轴的距离为， ， 当时，取得最小值， 即点到轴距离的最小值为； （3）抛物线，开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 对于，总有， ， 解得：． 22．（2025·河南商丘·二模）科技馆举办青少年科技运动会，某中学代表队的一组同学参加了抛石机“攻城”比赛．项目规定学生用一次性筷子制作重力式抛石机（如图1），比赛以定点打击目标“士兵”的方式进行，采取积分制，击倒不同目标的“士兵”获得相应分数（各目标“士兵”对应分值如图2），积分高者获胜．下面是这组同学在练习时对“子弹”运动轨迹的分析． 如图3，在平面直角坐标系中，点在x轴上，城堡高为3分米，第一排目标“士兵”距离抛石机发射点的水平距离为26分米，城堡到发射点的水平距离为30分米，子弹的飞行高度y（分米）与水平距离x（分米）近似满足二次函数关系． (1)若，求子弹落在A处时抛物线解析式中b的值及子弹飞行的最大高度； (2)已知目标“士兵”的高度为1.8分米，若抛物线的值不变，可以通过增加配重改变抛物线的形状，想要击中3分区域目标的“士兵”，请确定的取值范围． 【答案】(1)，最大高度为 (2) 【分析】本题考查二次函数应用题，涉及二次函数图象与性质，读懂题意，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由题意，将、代入二次函数关系求解即可得到值，再由二次函数图象与性质即可求出子弹飞行的最大高度； （2）由值不变，得到二次函数关系为，再由击中3分区域目标的“士兵”，分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：子弹的飞行高度y（分米）与水平距离x（分米）近似满足二次函数关系，， 第一排目标“士兵”距离抛石机发射点的水平距离为26分米， ， 则，解得， 抛物线解析式为； ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值为； （2）解：当值不变时，则子弹的飞行高度y（分米）与水平距离x（分米）近似满足二次函数关系为， 当击中士兵的脚部，则抛物线过点， ，解得； 当击中士兵的头部，则抛物线过点， ，解得； 综上所述，想要击中3分区域目标的“士兵”，的取值范围是． ( 题型0 4 )待定系数法求二次函数解析式 23．（2025·河南商丘·二模）如图，抛物线过点，与轴交于点、，抛物线顶点坐标为，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求证：直线与该抛物线没有交点； (3)设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值； 【答案】(1) (2)见解析； (3)，的最大值是20 【分析】本题主要考查了二次函数综合，矩形的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式得到一个一元二次方程，利用判别式求解即可； （3）根据题意可得，可证明点E和点F关于抛物线对称轴对称，则可得到，进而求出，，根据据此周长计算公式可得，据此利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可设抛物线的函数解析式为， 将点代入解析式可得，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）证明：将直线与抛物线联立可得， 整理得； ∴， 直线与抛物线没有交点； （3）解：由题意得，则 ∵四边形是矩形， ∴， ∴点G和点D关于抛物线对称轴对称， ∴点E和点F关于抛物线对称轴对称， 由（1）可得抛物线对称轴为直线， ， ，． ，即与的函数关系式是 当时，的值最大，的最大值是20． 24．（2025·河南周口·二模）如图， 抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为，点是抛物线上一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当且 时： 求的取值范围； 若 ，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)；或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设该抛物线的解析式为，然后把代入求出的值即可； （）由（）得抛物线的解析式为，然后根据二次函数的性质即可求解； （）由抛物线的解析式，求出，通过 ，则，则有，然后分情况解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：∵顶点坐标为， ∴设该抛物线的解析式为， ∵与轴交于点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为， （2）解：由（）得抛物线的解析式为， ∴当时，的最大值为，当时，的最小值为， ∴的取值范围； 由抛物线的解析式， 当时，， ∴， ∴， ∵ ， ∴，即， ∵点是抛物线上一点， ∴， 当时， 解得或（舍去）， 当时， 解得或（舍去）， ∴的值为或． 25．（2025·河南·二模）在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，求的值； (2)已知，若，有最大值9，求的值； (3)①求点坐标； ②已知，若抛物线经过，和，且，求的取值范围． 【答案】(1)的值分别为 (2)或 (3)①点坐标为；② 【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法，将点代入表达式解方程组即可得到答案； （2）由得到抛物线为，化为顶点式得到抛物线顶点坐标为，根据开口方向，分类讨论求解即可得到答案； （3）①当时，，则点坐标为；②将，代入得到，再由抛物线经过，，得到求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴的值分别为； （2）解：∵， ， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，， ∴当时，为最大值， 即，解得； ②当时，抛物线开口向下， ∴当时，为最大值， 即，解得； 综上所述，或 （3）解：①∵抛物线， 当时，，则点坐标为； ②∵，均在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过，， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 26．（2025·河南周口·二模）如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式； （1）采用待定系数法进行求解即可； （2）令，求出点A的坐标为及，根据当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴ 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，， 解得，， ∴点A的坐标为，， 当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点， ∴． 27．（2025·河南·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)该抛物线经过一个定点：_______（写出坐标）． (2)若抛物线的对称轴为直线，求抛物线解析式． (3)在（2）的基础上，若点为抛物线上一点，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的重点是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称轴与二次函数系数之间的关系． （1）根据二次函数的性质，可以知道抛物线经过一个定点； （2）利用对称轴与抛物线系数之间的关系，可以计算出k的值，推导出抛物线的解析式； （3）根据抛物线的性质，可以知道m的取值范围． 【详解】（1）解：已知抛物线， ∵当时，， ∴抛物线经过一个定点， 故答案为：； （2）解：的对称轴为直线， ，解得， 将代入，得抛物线解析式为； （3）解：点为抛物线上一点， ， ， ， 移项，得，即， ①或②， 解①，得；解②，得， 当时，的取值范围为或． ( 题型0 5 )二次函数图象的平移 28．（2025·河南郑州·二模）将抛物线向上平移个单位后，与轴交于两点，若，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、抛物线的平移等知识，利用二次函数的平移规律：上加下减，左加右减，可求出平移后新抛物线的函数解析式，再由求出新抛物线与轴的交点的横坐标，依据，即可求解． 【详解】解：抛物线向上平移个单位后，得新抛物线的解析式为， 当时，， 解得，， ∵ ∴， 解得． 故选B． 29．（2025·河南驻马店·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，球网高度，球网与轴的水平距离 ，球场边界点与点的距离为，击球点 ，在轴上第一次发球后，网球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系 ． (1)第一次发球，网球能否过网？说明理由； (2)第二次发球时，网球路线的形状、最大高度均与第一次相同，若此次网球恰好落在边界点上，求出发球员应向正前方（轴正方向）移动的距离． 【答案】(1)第一次发球网球能过网，理由见解析； (2)发球员应向正前方移动的距离． 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由二次函数过点 ，然后通过待定系数法求解析式即可； （）设发球员应向正前方 移动的距离，则二次函数关系为，所以当时，，即，再解方程并检验即可． 【详解】（1）解：第一次发球网球能过网，理由： ∵二次函数过点 ， ∴，解得， ∴二次函数关系为， 当时，， ∴第一次发球网球能过网； （2）解：设发球员应向正前方移动的距离， ∴二次函数关系为， 由题意得， 当时，， ∴， 解得：，（舍去）， 故发球员应向正前方移动的距离． 30．（2025·河南·二模）消防演练中，水枪喷出的水流是如图的一条抛物线，水流的高度y（单位：m）与离高楼的水平距离x（单位：m）之间具有二次函数关系．从地面离高楼水平距离的点A处，水枪喷出的水流在与高楼的水平距离为处达到最高，高度为，水流落到高楼的点B处． (1)求水流抛物线的解析式； (2)已知高楼的点C处，离地面的高度是． ①若在地面点A处竖直升高水枪的高度，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，求水枪竖直升高的高度； ②若在地面点A处水平移动水枪的位置，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，直接写出水枪水平移动的方法． 【答案】(1)； (2)①水枪竖直升高的高度为；②或 【分析】本题考查二次函数的应用，能够求出二次函数解析式是解题关键； （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）①先设出平移后的解析式，然后代入点坐标进行计算即可；②同①方式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过点， ， 解得：， ∴水流抛物线的解析式为：； （2）解：①设水枪竖直升高的高度为， ∴向上平移后抛物线的解析式为：， ∵过点， ， 解得：， 答：水枪竖直升高的高度为； ②设水枪水平向左移动， ∴向左平移后抛物线的解析式为：， ∵过点， ， 解得：，， 答：水枪水平向左移动或． 31．（2025·河南·二模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，抛物线L的函数解析式为 已知抛物线L： 经过点，，求抛物线L的函数解析式． (1)请根据已有信息添加一个适当的条件： ； (2)将抛物线L向上平移m()个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点 O 的对称点在抛物线L上，求 m的值； (3)如图，点 N为抛物线L的顶点坐标，若平移抛物线L的图象，使其顶点在直线上运动，且平移后的抛物线与y轴负半轴相交，交点为M，则 面积的最大值为 ． 【答案】(1)抛物线经过点 (2)4 (3) 【分析】（1）根据抛物线，得到，解得，于是可以添加条件抛物线经过点； （2）根据，得到将抛物线L向上平移m()个单位得到抛物线的解析式为，确定其顶点坐标为，计算原点的对称坐标为，结合抛物线的顶点关于坐标原点 O 的对称点在抛物线L上，代入解析式计算即可； （3）根据，可以确定抛物线的顶点，结合抛物线顶点在直线上，设新抛物线的顶点为，则解析式为，当时，，确定点，表示出面积，构造二次函数求最值即可． 【详解】（1）根据抛物线， ∴， 解得， ∴可以添加条件抛物线经过点； 故答案为：抛物线经过点． （2）∵抛物线L：， ∴将抛物线L向上平移m()个单位得到抛物线的解析式为， ∴其顶点坐标为， ∴其关于原点的对称坐标为， ∵抛物线的顶点关于坐标原点 O 的对称点在抛物线L上， 代入解析式得： ， 解得． （3）∵， ∴抛物线的顶点， ∵新抛物线顶点在直线上， 设新抛物线的顶点为， ∴解析式为， 当时，， ∴点， ∴， ∴ , 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的平移，原点对称，构造二次函数求最值，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键． ( 题型0 6 )二次函数与一元二次方程 32．（2025·河南南阳·二模）二次函数（，，，为常数)的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用图象法确定一元二次方程根的情况，把方程的解的情况，看成抛物线和直线的交点问题，根据方程有实数根，得到两个图象有交点，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为， 当时，函数有最小值为：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴抛物线和直线有交点， ∴； 故答案为：． 33．（2025·河南·二模）已知抛物线与轴有且只有一个交点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，根的判别式，利用，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴有且只有一个交点， ∴方程有唯一解， ∴， 解得：， 故答案为：． ( 题型0 7 )二次函数与不等式 34．（2025·河南周口·二模）已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求该抛物线的函数表达式及对称轴． (2)①在如图所示的平面直角坐标系中，先描出该二次函数图象上的三个点，再画出该二次函数的图象； ②在同一坐标系中画出直线，并根据图象直接写出关于x的不等式的解集． (3)若关于x的一元二次方程在的范围内有实数根，请结合图象直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2)①详见解析；②或 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，画二次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，利用二次函数的性质即可得出对称轴； （2）①利用描点法画出函数图象即可；②画出直线的图象，结合图象即可得解； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得． ∴该抛物线的函数表达式为． ∴对称轴为直线； （2）解：①描点，画出二次函数的图象如解图所示． ②画出直线如解图所示． 由图象可得：出关于x的不等式的解集为或； （3）解：∵一元二次方程在的范围内有实数根， ∴在的范围内，抛物线与直线有交点． ∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴抛物线在时取得最小值． 当时，，当时，． ∴当时，． ∴t的取值范围为． 35．（2025·河南信阳·二模）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 任务二：观察分析 （1）根据，随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出，与满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑动距离； （3）当小球到达木板上点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 【答案】（1）；；（2）当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为；（3）． 【分析】（1）根据，随的变化规律，发现，可判定是的一次函数，设，解答即可；根据题意，是的二次函数，且常数项为0，不妨设，建立方程组解答即可． （2）当小球在水平木板上停下来时，，根据题意得，求得小球运动的时间，把时间代入抛物线解析式中，求得对应函数值即为小球的滑动距离； （3）设小球的运动时间为x秒，根据题意，得，解不等式即可． 【详解】解：（1）根据，随的变化规律，发现，可判定是的一次函数，设，设，将点，代入， 得 ， . 设，将点，代入， 得 解得 . （2）由（1）知. 当时，得. 解得. 将代入， 得. 当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为. （3）解：设小球的运动时间为x秒， 根据题意，得. . ，函数有最大值36， . 【点睛】本题考查了待定系数法，求函数值，二次函数的最值，解不等式，熟练掌握待定系数法，抛物线的最值，解不等式是解题的关键. 36．（2025·河南·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围： (3)过线段上的动点，作轴的垂线，垂足为点，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，解二元一次方程组，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）先把、代入得，再代入，解二元一次方程组得，，即可得一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据函数的图象即可求解； （3）设，得，，根据题意列方程，求出，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点， ，解得：， ，解得：， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）解：， ， 由（1）得， 观察图象，得：时，的取值范围为或， 时，的取值范围为或． （3）解：设， 轴， ，， ，解得：， ． ( 题型0 8 )实际问题与二次函数 37．（2025·河南南阳·二模）从某一高度自由下落的小球离地面的高度与下落时间满足关系式，它的图象如图所示，点为其图象上一点．小球下落过程中的速度与小球离的距离满足关系式，已知该小球到达地面的速度超过时会对地面造成伤害，则下列说法错误的是（   ） A．小球开始下落时离地面的高度为 B．小球落地 C．小球不会对地面造成伤害 D．第时小球的速度为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确地列出函数关系式是解题的关键．根据题意和二次函数的性质逐个选项进行判断，即可求解． 【详解】解：A、把代入得：， 解得：， 小球开始下落时离地面的高度为， 故A选项说法正确； B、由上可知，， 把代入得：， 小球落地， 故B选项说法正确； C、由题意得，小球落地时离的距离， 代入得：， ， 小球会对地面造成伤害， 故C选项说法错误； D、把代入得：， 第时小球离地面的高度为， 第时小球离的距离， 代入中得：， ， 第时小球的速度为， 故D选项说法正确； 综上所述，故选：C． 38．（2025·河南周口·二模）大部分低速新能源电车都采用鼓刹制动，工作原理是通过机械外力将刹车片与刹车盘紧密接触，通过摩擦力使车辆减速或停止．已知某新能源电车在一次刹车后，行驶距离与行驶时间的函数图象是下面抛物线的一部分，且点为该图象的顶点，抛物线经过原点． (1)解释点坐标的意义，并求出抛物线解析式； (2)已知该新能源电车在此次刹车后的运动速度（单位：）与（单位：）之间满足关系式，试驾者驾驶该新能源电车，突然导航提示前面35米处有隔离带，于是立即刹车．为确保安全通过隔离带，需要将车速降低到5米/秒以下．通过计算说明试驾者是否有安全风险． 【答案】(1)意义：该新能源电车采取制动4秒后车辆停止，制动后行驶的最大距离为40米； (2)试驾者有安全风险，计算说明见解析 【分析】此题考查了二次函数的应用， （1）根据题意得到点P的意义，然后设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）首先将代入求出，然后代入求解比较即可． 【详解】（1）解：意义：该新能源电车采取制动4秒后车辆停止，制动后行驶的最大距离为40米； ∵点是抛物线的顶点， ∴设抛物线的解析式为． 将原点坐标代入可得， ∴； （2）解：当时，， 解得：， 把代入得：， ∵， 答：试驾者有安全风险． 39．（2025·河南濮阳·二模）小明在距离球门10米的点处射门，球沿抛物线轨迹运动．球在飞行6米时达到最高点，高度为3米．以球门底部点为原点，建立平面直角坐标系，球门高度为米，防守球员能拦截的最大高度为米．球的运动轨迹可用抛物线来描述． (1)求抛物线的表达式； (2)在无人防守的情况下，球能否射进球门，请说明理由； (3)当球飞过最高点后，防守球员才开始拦截．问防守球员站在离球门最大多远的距离，可有效拦截射来的足球，请直接写出你的答案． 【答案】(1) (2)球能射进球门，理由见解析 (3)1米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可求出顶点坐标为，再把解析式设为顶点式，再把代入解析式中计算求解即可； （2）求出当自变量为0时的函数值即可得到答案； （3）求出函数值为时的自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点坐标为，即， 设抛物线的表达式为， 把代入到中得：， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：球能射进球门，理由如下： 在中，当时，， ∵， ∴球能射进球门； （3）解：在中，当时， 解得或， ， 答：防守球员站在离球门最大1米的距离，可有效拦截射来的足球． 40．（2025·河南周口·二模）科研人员计划利用现有墙体（墙体足够长），在试验基地中用总长为240m的围栏围出家畜养殖区和家禽养殖区（边界靠墙部分不需要围栏），要求家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，两个养殖区均为矩形，且两区用围栏隔开，科研人员实地考察后，设计了两种方案： 方案1：示意图如图①，家畜养殖区的边靠着现有墙体； 方案2：示意图如图②，家畜养殖区的边靠着现有墙体，家禽养殖区的部分边TM靠着现有墙体，墙体，且． 两种方案养殖区的总面积分别为，，回答下列问题： (1)对于方案1，设． ①求的长度（用含x的代数式表示）； ②求的最大值； (2)科研人员希望养殖区总面积尽可能大，则应该选择哪个方案，并说明理由． 【答案】(1)①，②3600 (2)选择两种方案均可，理由见解析 【分析】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确表示出养殖区的总面积． （1）①根据矩形的性质表示即可； ②根据代入表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）根据题意表示出，然后利用二次函数的性质求出最大值，然后比较求解即可． 【详解】（1）解：①由题可得，四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∵家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得； ②由题意得，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3600； （2）解：两种方案任选其一即可，理由如下： 设方案2中的， ∵， ∴， ∵家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍， ∴， ∴， ∴，即 ， ∵， ∴当时，y₂有最大值，最大值为3600． ∵， ∴两种方案养殖区总面积最大值相等， ∴选择两种方案均可． 41．（2025·河南周口·二模）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计安阳麦秆画的销售方案 素材1 麦秆画是中国独有的特色工艺品之一，是河南安阳市民间剪贴画的一种，被称为“中华一绝”“中国手工艺术精品”，具有极高的收藏价值．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅． 素材2 据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元（），平均每天就可以多售出幅． 素材3 这种麦秆画在实体店的销售价为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上销售的影响，平均每天的销售量为幅． 问题解决 任务1 确定模型 求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式；［毛利润日销量（销售单价成本单价）］ 任务2 拟定最优方案 当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）？最大总毛利润是多少？ 【答案】任务1：；任务2：当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元． 【分析】本题主要考查实际问题与二次函数； 任务1：明确日销量和销售单价随降价的变化关系，根据毛利润日销量（销售单价成本单价）列出函数表达式即可； 任务2：根据网上和实体店的毛利润，构建总毛利润函数，将两个独立的利润表达式合并，再转化为二次函数求最大值即可． 【详解】解：任务1：． 任务2：设总毛利润为元． ， ， 当时，最大，最大值为4440，此时网上销售价为（元）． 当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元． 42．（2025·河南南阳·二模）在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度与飞出的水平距离满足． (1)这次传球的出手高度是______m，篮球飞行的最大高度是______m； (2)队员乙在篮球飞行方向上距甲处，他的最大摸高是，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ (3)球场界线在甲的传球方向前方处，如未能成功传球，篮球是否会出界？ 【答案】(1)，4 (2)他应该后退或前进才能接到球 (3)篮球会出界 【分析】本题考查二次函数的实际应用．熟练掌握二次函数的图形和性质是解题的关键． （1）令，求出的值，即为出手高度，根据解析式得到顶点坐标，即可得出结果； （2）令，求出值，进行判断，再令，求出的值，进行作答即可； （3）求出时，的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵，当时，， ∴这次传球的出手高度是； ∵的顶点坐标为：， ∴当篮球飞行的水平距离为时，达到最大高度，最大高度是； 故答案为：，4； （2）解：当时，， ∴他在原地不能接到球； 当时，， 解得：，， ∵，， ∴他应该后退或前进才能接到球； （3）解：当时，， 解得：，（舍去）； ∵， ∴篮球会出界． 43．（2025·河南漯河·二模）通过对物理知识的学习，我们知道发射器从地面竖直向上发射的小球的高度（单位：m）满足关系式，其中（单位：s）是小球运动的时间，（单位：）是小球被发射时的速度． (1)若，则小球从发射到落回地面需要____________s． (2)在（1）的条件下，小球被竖直向上射出后，若先后两次经过离发射点竖直高度为5.8米处，求这两次间隔的时间差． (3)小丽说：“当时，小球的最大高度是．”你认为她的说法正确吗？请通过计算说明你的理由． 【答案】(1)6 (2)5.6秒 (3)不正确，见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象性质，因式分解法求一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，把代入，得，即可作答． （3）把代入，得最大高度是，不可能是，即可作答． 【详解】（1）解：∵， 当时，则， 解得， 故小球从发射到落回地面需要． 故答案为：6 （2）解：∵， 当时，， ∴， ∴， 解得， 则两次间隔的时间差为． （3）解：不正确． 理由如下： ∵， 当时，， ∵， ∴开口方向向下，在时，则，且为最大高度， 即当时，小球的最大高度是，不可能是． 44．（2025·河南商丘·二模）某生物兴趣小组研究温度对酶活性的影响，实验发现：温度为时，酶活性为（酶活性用0到1之间的数值表示，1为最高活性）；当温度在及以下或者及以上时，酶丧失活性（即酶活性为0）．已知酶活性与所处温度在活性范围内呈二次函数关系，设温度为，酶活性为． (1)求酶活性关于温度的函数解析式； (2)根据函数性质回答： ①酶活性最高时的温度是多少？最高活性是多少？ ②若要求酶活性不低于时，温度应控制在什么范围内?（结果保留根号） 【答案】(1) (2)①酶活性最高时的温度是，最高活性是；② 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意知，，，在该二次函数图象上，因此可设该二次函数的解析式为，将代入解得值即可得到答案； （2）①将（1）中解析式化成顶点式，可知该函数图象开口向下，顶点坐标为，即可得到答案； ②解出当时，的值，根据该函数图象开口向下，可推出当时，的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，，，在该二次函数图象上， 设该二次函数的解析式为， 将代入， 得， 解得， 该二次函数的解析式为． （2）解：①， ， 该函数图象开口向下，顶点坐标为， 酶活性最高时的温度是，最高活性是， ②酶活性不低于， ， 当时，， 解得，， 该函数图象开口向下， 当时，， 温度的范围为． 45．（2025·河南开封·二模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明． 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）只要判断出乒乓球在运行中，高于，并落在之间即可； 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为，即 （2）解：能，理由如下： 当时，， 当时，， 解得（舍去），， ∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处， ∴小明抛出的乒乓球能投入箱子； 46．（2025·河南平顶山·二模）如图是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点 处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决： (1)如图，点 与地面的距离为米，水滑道最低点 与地面的距离为 米，点 到点的水平距离为米，求水滑道所在抛物线的解析式； (2)在（）的条件下，某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称． ①直接写出腾空飞出后的最大高度为 ，抛物线所对应的二次函数函数表达式为 ； ②腾空点与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点与水池边缘的安全距离应不少于米．那么人飞出后落地点是否在安全距离内?请说明理由． 【答案】(1) (2)①，；②在安全距离内，理由见解析 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）①由中心对称的性质求出抛物线的顶点坐标，即得腾空飞出后的最大高度，再利用待定系数法求出抛物线所对应的二次函数函数表达式即可；②求出的坐标，可得的长，再求出的长，进而即可判断； 本题考查了二次函数的实际应用，中心对称的性质，正确求出二次函数解析是解题的关键． 【详解】（1）由题意得，，， ∵点是水滑道所在抛物线的解析式顶点， 设水滑道所在抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴水滑道所在抛物线的解析式为； （2）解：①∵某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称， ∴抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点成中心对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴腾空飞出后的最大高度为， 设抛物线的函数表达式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 故答案为：，； ②在安全距离内，理由如下： 把代入，得， 解得或（不合，舍去）， ∴， ∴米， ∵米， ∴， ∴人飞出后落地点在安全距离内． 47．（2025·河南商丘·二模）隧道的开通，大大缩短了行车距离，节约了土地资源．截至2025年初，我国的隧道超45000座，这些隧道首尾相连的总长度足以绕地球一圈，展示了我国在隧道建设方面无与伦比的技术实力和恢弘的规模，其中郑万高铁上的香树湾隧道入口处初步设计为抛物线的形状，洞口底部宽，洞顶最高处高度为．如图所示，以洞口底部为轴，过洞口顶部的竖直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)在实地勘探后，因现场施工有难度，有人提议将隧道洞口在原计划位置处向左平移，再向下平移，仍保持原抛物线形状不变，洞底仍在轴上． ①请先画出平移后抛物线的对称轴与顶点，再描出两个格点，画出轴上方抛物线的图象，并求平移后的抛物线解析式； ②我国铁轨标准宽度为，双向铁轨之间的安全距离不得少于，郑万高铁设计为双向轨道，通车后车型为型动车组，车高约为，则平移后的隧道是否符合安全标准？ 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)①平移后的抛物线的解析式为；②平移后的隧道符合安全标准； 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用； （1）由题意可得抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，把代入即可； （2）①先画出平移后抛物线的对称轴与顶点，再描出两个格点和，再进一步求解解析式即可；②把代入中，可得，，进一步求解，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：∵洞顶最高处高度为， ∴抛物线的顶点为． 设抛物线解析式为， ∵洞口底部宽， ∴经过点， 即，解得． ∴抛物线的解析式为． （2）解：①如图所示： 对称轴为直线，顶点坐标为，描出两个格点和， 画出平移后的抛物线解析式． ∵抛物线的顶点为，且抛物线形状不变， 因此平移后的抛物线的解析式为； ②把代入中，得， 解得：，， 则， ∵米， ∴平移后的隧道符合安全标准． 48．（2025·河南周口·二模）任意球是足球比赛的重要得分手段．在某小学组织的一次5人制足球比赛中，小明站在点处主罚任意球，足球的运行高度（米）与水平距离（米）满足函数关系式，防守队员在小明前方4米处组成人墙，防守队员的平均身高为1.5米．对方球门与李明的水平距离为12米，足球球门的高为2米． (1)当时，求与的函数关系式； (2)在第（1）问的条件下，足球能否越过人墙？能否直接射进球门？请说明理由；（足球击中门框不算进球） (3)若李明罚出的任意球一定能直接射进球门得分，求的取值范围． 【答案】(1) (2)球能越过人墙．见解析 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）分别把当时和当时代入（1）中函数解析式进行求解即可； （3）由题意易得，则有，然后把当时和当时代入函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，函数关系式为， 足球从处踢出，此时， 带入得：，解得：． ． （2）解：球能越过人墙． 人墙位于小明前方4米处，当时，， ，足球能飞越过人墙． 球不能直接射进球门． 球门与李明的水平距离为12米，当时，， ， 球不能直接射进球门． （3）解：足球从处踢出， ， 解得：， ， 当时，， 由，解得：； 又当时，， 由，解得：； 综上． 49．（2025·河南新乡·二模）如图是某地的拱形彩灯门，其横截面如图所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中，，，为的中点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作两条长度相等且垂直于地面的撑杆 和，连接支撑点，再做一条撑杆，求所需撑杆长度和的最大值． (3)如图，为迎佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后成轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼之间的水平距离相等且至少间隔，假设灯笼的高度忽略不计，请直接写出最多可以悬挂灯笼的数量．（参考数据： 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用、二次函数的图象一性质、一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是根据一元二次方程根与系数的关系求出悬挂灯笼的两个端点的距离大约是，因为两端各需要悬挂一个灯笼，所以最多可以悬挂个灯笼． 根据拱形彩灯门的横截面各部分的长度，得到抛物线顶点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 设点的坐标是，则有撑杆的长度和是，整理成顶点坐标式为，根据二次函数的性质可知所需撑杆长度和的最大值为； 因为灯笼到地面的垂直距离不低于，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，因为两端各需要悬挂一个灯笼，所以最多可以悬挂个灯笼． 【详解】（1）解：，， 抛物线顶点的坐标是， 为的中点，， 点的坐标是， 设抛物线的解析式为， 则有， 解得：， 抛物线的函数表达式是； （2）解：设点的坐标是， 则，， 则撑杆的长度和是， 整理得：， 当时，所需撑杆长度和的最大值为； （3）解：当时，可得：， 整理得：， ，， 最多可以悬挂灯笼的数量是个． ( 题型0 9 )二次函数综合 50．（2025·河南平顶山·二模）如图1，在等边三角形中，D是边的中点，动点E从点B出发沿边匀速运动到点C，同时动点F从点C出发，以相同的速度沿边运动到某一点，再从该点沿直线匀速运动到终点D．设点E的运动路程为的面积为与x的函数图象如图2所示，那么当时，的面积为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由图象可知，当点E在边上运动，点F在边上运动时，的底和高都在变化，判定y是x的二次函数；当点F沿直线匀速运动到点D时，的边在变化，上的高是不变的，y与x是一次函数关系，后结合图象解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，二次函数，一次函数的综合，熟练掌握等边三角形的性质，函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，当点E在边上运动，点F在边上运动时，的底和高都在变化， ∴y是x的二次函数； 当点F沿直线匀速运动到点D时，的边在变化，上的高是不变的，y与x是一次函数关系，此时点F沿平行于的直线匀速运动到点D，即点F从边的中点运动到点D． 由题图2得，． 当时，，此时． 如图，设的中点为M， ∴点F在上， 点F到边的高为 故选：C． 51．（2025·河南安阳·二模）如图1，在等边三角形中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，连接．当到达点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为的面积为． (1)请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系（图2）中，画出函数的图象； (3)若（2）中函数的图象与直线有两个交点，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查二次函数的应用、函数的图象和性质等知识，准确求出函数解析式是关键． （1）分和两种情况求出函数解析式即可； （2）根据列表描点连线画出函数图象即可； （3）求出时的自变量的值，根据图象写出答案即可． 【详解】（1）解：当时，如图，过点P作于点H， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 当时，如图，过点P作于点H， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）根据（1）中的解析式列表如下： x 0 1 2 3 4 y 0 0 描点连线如下， （3）把代入得到，， 解得或（不合题意，舍去） 把代入得到，， 解得或（不合题意，舍去） ∴ 由图象可知，当时，的取值范围． 52．（2025·河南·二模）如图1是某校劳动基地示意图，其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，经测量，，，．如图2，李老师以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，取的中点，连接，过点作的垂线交抛物线于点，将基地划分为三个区域用于种植不同的蔬菜，测得．       (1)求抛物线的函数表达式． (2)为了保证种植前期幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点，安装一个遮阳网，当遮阳网面积最大时，求点的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)的面积最大值是，此时点的横坐标为 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，二次函数与几何图形面积的计算是关键． （1）根据题意，，，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，如图所示，当点在点右边时，设，过点作轴于点，则，，根据图示列式得到，结合二次函数最值的计算求解即可；如图所示，当点在点左边时，设，过点作轴于点，交于点，则，点在点右边与条件矛盾；由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∵点是中点， ∴，且， ∴， 设二次函数解析式为，把点代入得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在抛物线上选取一点， 如图所示，当点在点右边时，设，过点作轴于点，则， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值是为； 如图所示，当点在点左边时，设，过点作轴于点，交于点，则， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵，即点在点右边与条件矛盾； 综上所述，的面积最大值是，此时点的横坐标为． 53．（2025·河南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点． (1)若抛物线经过点，求此抛物线的对称轴． (2)点为轴上一点，，过点且垂直于轴的直线与抛物线交于、两点，若，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数关系等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）由题意可得，由题意得到，求出或，进一步即可得到m的取值范围． 【详解】（1）解：把代入得到， 解得 ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． （2）当时，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴或 当时，， 即此时抛物线的最高点为，则， 当时，， 即此时抛物线的最高点为，则， ∴m的取值范围是 54．（2025·河南·二模）已知抛物线的顶点为D． (1)若抛物线经过原点，求a的值及顶点D的坐标； (2)在（1）的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为． ①图象的解析式 （写出自变量的取值范围）； ②若直线与图象M有3个交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）将原点代入抛物线方程即可求出值，再利用抛物线性质即可求出顶点坐标； （2）①根据自变量的取值范围，结合图象性质及中心对称性质判断出图象上的特殊点即可求出解析式； ②再利用数形结合，分类讨论直线与曲线交点问题即可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过原点， 当时，，代入抛物线得：， ， ∴抛物线的方程为：． ∴抛物线的对称轴方程为：， 把代入，得， ∴点坐标为． （2）解：在（1）中抛物线的方程为：， ①当时函数的图象记为， ∴对应的函数解析式为：，且图象经过和原点， 将图象绕原点旋转，得到新图象，新图象与原图象成中心对称， ∴新图象对应函数的自变量的范围为：，且新图象经过点和原点， ∴图象的解析式为：． ②直线与图象有3个交点，分两种情况， 当直线与有2个交点且与有1个交点时，， ， 令，得， 结合图象可得：， 同理，当直线与有1个交点且与有2个交点时，， ， 令，得， 结合图象可得：． ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，图形的旋转，直线与曲线相交等问题，解题过程还涉及数形结合，分类讨论等数学思想，难度较大． 55．（2025·河南·二模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点，点是线段上一动点，过点作轴于点，连接． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，的最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设的坐标为，，则，再由，可得当时，． 【详解】（1）一次函数与反比例函数的图象交于，两点， ， 反比例函数为， 把代入得，， 解得， ， 把、的坐标代入得， 解得， 一次函数为； （2）存在， 依题意，设的坐标为，， 则的面积， ， 当时，． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次函数 题型概览 题型01 二次函数的图象与性质 题型02 二次函数的图象与系数的关系 题型03 二次函数的最值 题型04 待定系数法求求二次函数解析式 题型05 二次函数图象的平移 题型06 二次函数与一元二次方程 题型07 二次函数与不等式 题型08 实际问题与二次函数 题型09 二次函数综合 ( 题型0 1 )二次函数的图象与性质 1．（2025·河南驻马店·二模）点 是抛物线 上的点，且 ，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（2025·河南开封·二模）如图，在中，，，，点 P 从点A 出发，沿向点C 以的速度运动，同时点 Q从点C 出发，沿向点B 以的速度运动（当点 Q 运动到点 B 时，点 P，Q 同时停止运动）．在运动过程中，四边形的面积最小为（   ）      A． B． C． D． 3．（2025·河南·二模）点，是抛物线上的点，且，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 4．（2025·河南·二模）已知二次函数 ． (1)当时． ①求该函数图象的顶点坐标； ②当时，直接写出x的取值范围． (2)若点是该函数图象上不同的两点，求m的值． (3)当时，将该函数图象沿y轴向上或向下平移t个单位，若图象的最低点到x轴的距离为1，求t的值． 5．（2025·河南漯河·二模）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·河南郑州·二模）写出一个开口向上，且与y 轴的正半轴相交的抛物线的表达式： 7．（2025·河南商丘·二模）写出一个二次函数，其图象过点且开口向下： ． 8．（2025·河南周口·二模）已知抛物线的顶点为． (1)若抛物线经过原点，求的值及顶点的坐标． (2)在的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为． 图象的解析式为 （写出自变量的取值范围）； 若直线与图象有个交点，请直接写出的取值范围． 9．（2025·河南开封·二模）抛物线（）的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：；若，是图象上的两点，则；；若方程没有实数根，则；．其中结论正确的是 10．（2025·河南信阳·二模）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）： 温度 … 0 2 4 … 植物每天高度增长量 … 41 49 49 41 25 … 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的二次函数，则下列说法： ①该植物在时，每天高度增长量最大； ②该植物在时，每天高度增长量仍能保持在以上； ③该植物与大多数植物不同，以上的环境下高度几乎不增长． 其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．（2025·河南郑州·二模）已知二次函数，将该二次函数图象向上平移，若平移后的图象与x轴交于两点（），下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·河南许昌·二模）新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”． (1)若抛物线是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式． (2)已知抛物线（，为常数，且）． ①求证：该抛物线为“定点抛物线”； ②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围． ( 题型0 2 )二次函数的图象与系数的关系 13．（2025·河南南阳·二模）若二次函数 的图象如图所示，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．（2025·河南·二模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤当时，随的增大而增大，其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．（2025·河南·二模）已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 16．（2025·河南·二模）写出一个开口向上的二次函数表达式 ： 17．（2025·河南·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   18．（2025·河南·二模）若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　　) A． B． C． D． ( 题型0 3 )二次函数的最值 19．（2025·河南平顶山·二模）已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 20．（2025·河南·二模）已知二次函数的图象经过点，，对称轴为直线． (1)直接写出　　　　，　　　　，　　　　； (2)当时，求二次函数的最值； (3)当时，二次函数的最小值为，求n的值． 21．（2025·河南许昌·二模）已知抛物线的顶点为，点，是抛物线上的任意两点． (1)当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式； (2)当点位于轴下方时，求点到轴距离的最小值； (3)若对于，总有，请直接写出的取值范围． 22．（2025·河南商丘·二模）科技馆举办青少年科技运动会，某中学代表队的一组同学参加了抛石机“攻城”比赛．项目规定学生用一次性筷子制作重力式抛石机（如图1），比赛以定点打击目标“士兵”的方式进行，采取积分制，击倒不同目标的“士兵”获得相应分数（各目标“士兵”对应分值如图2），积分高者获胜．下面是这组同学在练习时对“子弹”运动轨迹的分析． 如图3，在平面直角坐标系中，点在x轴上，城堡高为3分米，第一排目标“士兵”距离抛石机发射点的水平距离为26分米，城堡到发射点的水平距离为30分米，子弹的飞行高度y（分米）与水平距离x（分米）近似满足二次函数关系． (1)若，求子弹落在A处时抛物线解析式中b的值及子弹飞行的最大高度； (2)已知目标“士兵”的高度为1.8分米，若抛物线的值不变，可以通过增加配重改变抛物线的形状，想要击中3分区域目标的“士兵”，请确定的取值范围． ( 题型0 4 )待定系数法求二次函数解析式 23．（2025·河南商丘·二模）如图，抛物线过点，与轴交于点、，抛物线顶点坐标为，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求证：直线与该抛物线没有交点； (3)设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值； 24．（2025·河南周口·二模）如图， 抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为，点是抛物线上一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当且 时： 求的取值范围； 若 ，直接写出的值． 25．（2025·河南·二模）在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，求的值； (2)已知，若，有最大值9，求的值； (3)①求点坐标； ②已知，若抛物线经过，和，且，求的取值范围． 26．（2025·河南周口·二模）如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 27．（2025·河南·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)该抛物线经过一个定点：_______（写出坐标）． (2)若抛物线的对称轴为直线，求抛物线解析式． (3)在（2）的基础上，若点为抛物线上一点，且，求的取值范围． ( 题型0 5 )二次函数图象的平移 28．（2025·河南郑州·二模）将抛物线向上平移个单位后，与轴交于两点，若，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 29．（2025·河南驻马店·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，球网高度，球网与轴的水平距离 ，球场边界点与点的距离为，击球点 ，在轴上第一次发球后，网球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系 ． (1)第一次发球，网球能否过网？说明理由； (2)第二次发球时，网球路线的形状、最大高度均与第一次相同，若此次网球恰好落在边界点上，求出发球员应向正前方（轴正方向）移动的距离． 30．（2025·河南·二模）消防演练中，水枪喷出的水流是如图的一条抛物线，水流的高度y（单位：m）与离高楼的水平距离x（单位：m）之间具有二次函数关系．从地面离高楼水平距离的点A处，水枪喷出的水流在与高楼的水平距离为处达到最高，高度为，水流落到高楼的点B处． (1)求水流抛物线的解析式； (2)已知高楼的点C处，离地面的高度是． ①若在地面点A处竖直升高水枪的高度，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，求水枪竖直升高的高度； ②若在地面点A处水平移动水枪的位置，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，直接写出水枪水平移动的方法． 31．（2025·河南·二模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，抛物线L的函数解析式为 已知抛物线L： 经过点，，求抛物线L的函数解析式． (1)请根据已有信息添加一个适当的条件： ； (2)将抛物线L向上平移m()个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点 O 的对称点在抛物线L上，求 m的值； (3)如图，点 N为抛物线L的顶点坐标，若平移抛物线L的图象，使其顶点在直线上运动，且平移后的抛物线与y轴负半轴相交，交点为M，则 面积的最大值为 ． ( 题型0 6 )二次函数与一元二次方程 32．（2025·河南南阳·二模）二次函数（，，，为常数)的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 33．（2025·河南·二模）已知抛物线与轴有且只有一个交点，则的值为 ． ( 题型0 7 )二次函数与不等式 34．（2025·河南周口·二模）已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求该抛物线的函数表达式及对称轴． (2)①在如图所示的平面直角坐标系中，先描出该二次函数图象上的三个点，再画出该二次函数的图象； ②在同一坐标系中画出直线，并根据图象直接写出关于x的不等式的解集． (3)若关于x的一元二次方程在的范围内有实数根，请结合图象直接写出t的取值范围． 35．（2025·河南信阳·二模）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 任务二：观察分析 （1）根据，随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出，与满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑动距离； （3）当小球到达木板上点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 36．（2025·河南·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围： (3)过线段上的动点，作轴的垂线，垂足为点，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． ( 题型0 8 )实际问题与二次函数 37．（2025·河南南阳·二模）从某一高度自由下落的小球离地面的高度与下落时间满足关系式，它的图象如图所示，点为其图象上一点．小球下落过程中的速度与小球离的距离满足关系式，已知该小球到达地面的速度超过时会对地面造成伤害，则下列说法错误的是（   ） A．小球开始下落时离地面的高度为 B．小球落地 C．小球不会对地面造成伤害 D．第时小球的速度为 38．（2025·河南周口·二模）大部分低速新能源电车都采用鼓刹制动，工作原理是通过机械外力将刹车片与刹车盘紧密接触，通过摩擦力使车辆减速或停止．已知某新能源电车在一次刹车后，行驶距离与行驶时间的函数图象是下面抛物线的一部分，且点为该图象的顶点，抛物线经过原点． (1)解释点坐标的意义，并求出抛物线解析式； (2)已知该新能源电车在此次刹车后的运动速度（单位：）与（单位：）之间满足关系式，试驾者驾驶该新能源电车，突然导航提示前面35米处有隔离带，于是立即刹车．为确保安全通过隔离带，需要将车速降低到5米/秒以下．通过计算说明试驾者是否有安全风险． 39．（2025·河南濮阳·二模）小明在距离球门10米的点处射门，球沿抛物线轨迹运动．球在飞行6米时达到最高点，高度为3米．以球门底部点为原点，建立平面直角坐标系，球门高度为米，防守球员能拦截的最大高度为米．球的运动轨迹可用抛物线来描述． (1)求抛物线的表达式； (2)在无人防守的情况下，球能否射进球门，请说明理由； (3)当球飞过最高点后，防守球员才开始拦截．问防守球员站在离球门最大多远的距离，可有效拦截射来的足球，请直接写出你的答案． 40．（2025·河南周口·二模）科研人员计划利用现有墙体（墙体足够长），在试验基地中用总长为240m的围栏围出家畜养殖区和家禽养殖区（边界靠墙部分不需要围栏），要求家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，两个养殖区均为矩形，且两区用围栏隔开，科研人员实地考察后，设计了两种方案： 方案1：示意图如图①，家畜养殖区的边靠着现有墙体； 方案2：示意图如图②，家畜养殖区的边靠着现有墙体，家禽养殖区的部分边TM靠着现有墙体，墙体，且． 两种方案养殖区的总面积分别为，，回答下列问题： (1)对于方案1，设． ①求的长度（用含x的代数式表示）； ②求的最大值； (2)科研人员希望养殖区总面积尽可能大，则应该选择哪个方案，并说明理由． 41．（2025·河南周口·二模）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计安阳麦秆画的销售方案 素材1 麦秆画是中国独有的特色工艺品之一，是河南安阳市民间剪贴画的一种，被称为“中华一绝”“中国手工艺术精品”，具有极高的收藏价值．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅． 素材2 据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元（），平均每天就可以多售出幅． 素材3 这种麦秆画在实体店的销售价为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上销售的影响，平均每天的销售量为幅． 问题解决 任务1 确定模型 求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式；［毛利润日销量（销售单价成本单价）］ 任务2 拟定最优方案 当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）？最大总毛利润是多少？ 42．（2025·河南南阳·二模）在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度与飞出的水平距离满足． (1)这次传球的出手高度是______m，篮球飞行的最大高度是______m； (2)队员乙在篮球飞行方向上距甲处，他的最大摸高是，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ (3)球场界线在甲的传球方向前方处，如未能成功传球，篮球是否会出界？ 43．（2025·河南漯河·二模）通过对物理知识的学习，我们知道发射器从地面竖直向上发射的小球的高度（单位：m）满足关系式，其中（单位：s）是小球运动的时间，（单位：）是小球被发射时的速度． (1)若，则小球从发射到落回地面需要____________s． (2)在（1）的条件下，小球被竖直向上射出后，若先后两次经过离发射点竖直高度为5.8米处，求这两次间隔的时间差． (3)小丽说：“当时，小球的最大高度是．”你认为她的说法正确吗？请通过计算说明你的理由． 44．（2025·河南商丘·二模）某生物兴趣小组研究温度对酶活性的影响，实验发现：温度为时，酶活性为（酶活性用0到1之间的数值表示，1为最高活性）；当温度在及以下或者及以上时，酶丧失活性（即酶活性为0）．已知酶活性与所处温度在活性范围内呈二次函数关系，设温度为，酶活性为． (1)求酶活性关于温度的函数解析式； (2)根据函数性质回答： ①酶活性最高时的温度是多少？最高活性是多少？ ②若要求酶活性不低于时，温度应控制在什么范围内?（结果保留根号） 45．（2025·河南开封·二模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明． 46．（2025·河南平顶山·二模）如图是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点 处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决： (1)如图，点 与地面的距离为米，水滑道最低点 与地面的距离为 米，点 到点的水平距离为米，求水滑道所在抛物线的解析式； (2)在（）的条件下，某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称． ①直接写出腾空飞出后的最大高度为 ，抛物线所对应的二次函数函数表达式为 ； ②腾空点与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点与水池边缘的安全距离应不少于米．那么人飞出后落地点是否在安全距离内?请说明理由． 47．（2025·河南商丘·二模）隧道的开通，大大缩短了行车距离，节约了土地资源．截至2025年初，我国的隧道超45000座，这些隧道首尾相连的总长度足以绕地球一圈，展示了我国在隧道建设方面无与伦比的技术实力和恢弘的规模，其中郑万高铁上的香树湾隧道入口处初步设计为抛物线的形状，洞口底部宽，洞顶最高处高度为．如图所示，以洞口底部为轴，过洞口顶部的竖直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)在实地勘探后，因现场施工有难度，有人提议将隧道洞口在原计划位置处向左平移，再向下平移，仍保持原抛物线形状不变，洞底仍在轴上． ①请先画出平移后抛物线的对称轴与顶点，再描出两个格点，画出轴上方抛物线的图象，并求平移后的抛物线解析式； ②我国铁轨标准宽度为，双向铁轨之间的安全距离不得少于，郑万高铁设计为双向轨道，通车后车型为型动车组，车高约为，则平移后的隧道是否符合安全标准？ 48．（2025·河南周口·二模）任意球是足球比赛的重要得分手段．在某小学组织的一次5人制足球比赛中，小明站在点处主罚任意球，足球的运行高度（米）与水平距离（米）满足函数关系式，防守队员在小明前方4米处组成人墙，防守队员的平均身高为1.5米．对方球门与李明的水平距离为12米，足球球门的高为2米． (1)当时，求与的函数关系式； (2)在第（1）问的条件下，足球能否越过人墙？能否直接射进球门？请说明理由；（足球击中门框不算进球） (3)若李明罚出的任意球一定能直接射进球门得分，求的取值范围． 49．（2025·河南新乡·二模）如图是某地的拱形彩灯门，其横截面如图所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中，，，为的中点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作两条长度相等且垂直于地面的撑杆 和，连接支撑点，再做一条撑杆，求所需撑杆长度和的最大值． (3)如图，为迎佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后成轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼之间的水平距离相等且至少间隔，假设灯笼的高度忽略不计，请直接写出最多可以悬挂灯笼的数量．（参考数据： ( 题型0 9 )二次函数综合 50．（2025·河南平顶山·二模）如图1，在等边三角形中，D是边的中点，动点E从点B出发沿边匀速运动到点C，同时动点F从点C出发，以相同的速度沿边运动到某一点，再从该点沿直线匀速运动到终点D．设点E的运动路程为的面积为与x的函数图象如图2所示，那么当时，的面积为（   ） A．4 B．2 C． D． 51．（2025·河南安阳·二模）如图1，在等边三角形中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，连接．当到达点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为的面积为． (1)请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系（图2）中，画出函数的图象； (3)若（2）中函数的图象与直线有两个交点，当时，求的取值范围． 52．（2025·河南·二模）如图1是某校劳动基地示意图，其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，经测量，，，．如图2，李老师以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，取的中点，连接，过点作的垂线交抛物线于点，将基地划分为三个区域用于种植不同的蔬菜，测得．       (1)求抛物线的函数表达式． (2)为了保证种植前期幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点，安装一个遮阳网，当遮阳网面积最大时，求点的横坐标． 53．（2025·河南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点． (1)若抛物线经过点，求此抛物线的对称轴． (2)点为轴上一点，，过点且垂直于轴的直线与抛物线交于、两点，若，求点的纵坐标的取值范围． 54．（2025·河南·二模）已知抛物线的顶点为D． (1)若抛物线经过原点，求a的值及顶点D的坐标； (2)在（1）的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为． ①图象的解析式 （写出自变量的取值范围）； ②若直线与图象M有3个交点，请直接写出m的取值范围． 55．（2025·河南·二模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点，点是线段上一动点，过点作轴于点，连接． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$