精品解析：山东省聊城市莘县第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

2024--2025学年高二下学期第三次质量检测 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若函数满足则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的极限定义可解. 【详解】根据导数的定义知，，则. 故选：A. 2. 2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦、孙颖莎以3:1战胜日本队组合吉村真晴、大腾沙月，连续第三次夺得世乒赛混双冠军.假设2026年的一次乒乓球比赛中，中国队组合再次遇到日本队，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛中国队组合获胜的概率为，则中国队组合再次以3:1获胜的概率为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比分可知前三局输一场第四局胜，根据独立重复事件的概率公式求解. 【详解】由题意，前三局胜两场输一场，第四局胜， 所以 ， 故选：A 3. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 【答案】C 【解析】 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案. 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 4. 某单位计划从4名男职工和3名女职工中选2人在周末时间值班，则在周六值班的是男职工的条件下，周日值班是女职工的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设事件A为周六值班的是男职工，事件B为周日值班的是女职工，则题目所求的即为， 由题意易得，由古典概型可算得，再由条件概率的定义即可算得答案. 【详解】设事件A为周六值班的是男职工，事件B为周日值班的是女职工， 由题意可知，事件AB表示周六值班的是男职工，周日值班的是女职工，二者同时发生， 一共有种符合条件的情况，总情况数有，所以， 由条件概率的计算公式可知. 故选：B. 5. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】其中为常数，求出函数的导函数，代入求解，从而可以求解. 【详解】由于函数，则其导函数为：， 代入，可得：，解得：，所以， 所以. 故选：D 6. 已知离散型随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，且，，若的数学期望，则（ ） A. 19 B. 16 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先设，利用期望公式，计算，求实数，再根据分布列求,根据方差的性质，计算结果. 【详解】由题知，设，则，因此，解得，因此离散型随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 则，因此. 故选：A 7. 已知随机事件A，B，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件先求出，再根据乘法公式求出，从而可求. 【详解】因为，故，而，故， 故，同理， 故， 故选：B. 8. 定义：为函数的n阶导数，即对函数连续求n阶导数．例如，则，，，，…，若，则的展开式中的系数是（ ） A. 8 B. 28 C. 56 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】先写出的表达式，归纳分析可知，求，展开式有项，且每项的系数是组合数，由此可得出答案. 【详解】由，可得， 所以， 所以， 由此可归纳出求，求8阶导，展开式有9项，且每项的系数是组合数， 所以的展开式中的系数是. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，有多项符合题意，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选不得分） 9. 对具有相关关系的两个变量和进行回归分析时，经过随机抽样获得成对的样本数据，则下列说法正确的是（ ） A. 若两变量、具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点 B. 变量、的线性相关系数的绝对值越接近，则两个变量与的线性相关程度越强 C. 用残差平方和来比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D. 用来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零的直线上，则的值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用回归直线的相关知识可判断A选项；利用相关系数与线性相关程度的关系可判断B选项；利用残差平方和与模型的拟合效果的关系可判断C选项；利用相关指数与回归模型的拟合效果的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，若两变量、具有线性相关关系，则回归直线过样本中心点，但不一定过样本点，A错； 对于B选项，若变量、的线性相关系数的绝对值越接近，则两个变量与的线性相关程度越强，B对； 对于C选项，用残差平方和来比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，C对； 对于D选项，用来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零的直线上，则的值为，D对. 故选：BCD. 10. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分，14题第一个空2分，第二个空3分） 12. 的展开式中，各项系数中的最大值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出即可求解. 【详解】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 故答案为：5. 13. 已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知在存在公切线，由同一条切线的斜率相等，截距相等可将问题转化为方程在上有解，构造函数，利用导数求得的值域，结合题干条件可求得实数a的取值范围. 【详解】由题意可知在上分别存在两个点，使得在处的切线与在处的切线为同一条直线， 因为，由同一条切线的斜率相等可得， 由同一条切线的截距相等，可得， 即， 将斜率相等的表达式代入可得， 即方程在上有解， 令，则， 令，得，当时，；当时，， 且当时，；当时，， 所以存在极大值同时也是最大值，所以的值域为， 若方程在上有解，则， 又，所以. 故答案为：. 14. 定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件条件下的k阶矩定义为，其中为X的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率.某射击运动爱好者进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为，击中目标两次时停止射击.设表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目标时的射击次数，则________，________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】应用独立事件乘法公式求，根据有，应用独立事件乘法公式求出对应概率，并由全概率公式求得，结合已知定义求. 【详解】由题意，， 当，则，而，所以， 由题设，. 故答案为：， 四、解答题 15. 已知函数，为的导函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在处取得极值，求的单调区间和最值． 【答案】（1） （2） 函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，函数取得最小值，无最大值. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程； （2）根据题意可得，可得，进而求解函数的单调区间和最值. 【小问1详解】 当时，， 则，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由，，则， 所以， 则， 因为函数在处取得极值， 所以，解得， 此时， 则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，函数取得极小值，满足题意，即， 则函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，函数取得最小值，无最大值. 16. AI的快速发展在某些方面引发了人们对自己所在行业前景的焦虑，某心理辅导机构为了了解人们对于未来行业前景的焦虑是否与性别有关，对某社区居民进行了一次抽样调查，分别抽取男性和女性各50人作为样本，得到如下数据． 焦虑 不焦虑 合计 男性 10 女性 20 合计 （1）根据已知条件，填写上面列联表，并根据小概率值为的独立性检验，能否认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关？ （2）现从该样本焦虑的居民中，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取3人进行心理辅导，设抽取的3人中男性的人数为，求的分布列和数学期望． 附：为样本容量． 【答案】（1）列联表为： 焦虑 不焦虑 合计 男性 40 10 50 女性 20 30 50 合计 60 40 100 与性别有关 （2）的分布列如下： 1 2 3 期望为2【解析】 【分析】（1）根据表中数据即可完成表格，提出零假设并计算得出的取值，得出结论； （2）根据随机变量的所有可能取值，利用超几何分布求出对应概率可得分布列，计算可得期望值. 【小问1详解】 填写列联表为： 焦虑 不焦虑 合计 男性 40 10 50 女性 20 30 50 合计 60 40 100 零假设：焦虑与否与性别无关． 根据列联表中的数据得， 故依据的独立性检验，可以推断不成立， 即认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关． 【小问2详解】 由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人， 其中男性人数为（人）；女性人数为（人） 由题意可得，随机变量的所有可能取值为1，2，3． ， 随机变量的分布列如下： 1 2 3 则． 17. 近年来，为响应节能减排号召，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，以纯电动汽车为主力的新能源汽车逐渐成为中国汽车的新名片.据统计，2017年至2023年全国新能源汽车保有量（百万辆）如下： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 保有量 1.9 2.8 4.1 4.4 5.7 10.6 12.5 并计算得，，. （1）根据上表数据，求出关于的回归直线方程； （2）根据回归直线方程，预测2028年全国新能源汽车保有量； （3）根据往年的汽车销售数据可知今年汽车保有量的增量为百万辆，设新能源汽车保有量的年增量的估计值与今年汽车保有量的增量的比为，用作为今年购车的客户购买新能源汽车概率的估计值.记某汽车销售公司今年位客户中，恰有位购买新能源汽车的概率为，求为何值时，有最大值. 附：，. 【答案】（1） （2）百万辆 （3） 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法公式计算可求回归直线方程； （2）利用（1）可求2028年全国新能源汽车保有量的预测值； （3）求得，进而计算可求最大值. 【小问1详解】 法一：由题意知，，，， 可得， 所以， 因此所求回归直线方程为. 法二：由题意知，，，， 可得， 所以，因此所求回归直线方程为. 【小问2详解】 在回归直线方程中令，得， 因此预测2028年全国新能源汽车保有量为百万辆. 【小问3详解】 由题意知，， ，， 法一：由二项式系数的性质可得当时，最大，即有最大值. 法二： 当时，，可得，即， 当时，，可得，即， 可得当时，有最大值. 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且. 参考数据：. 【答案】（1） 当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2） （3） 当时，，， 令，则. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又因为，且， 所以存在唯一的，使得，即.① 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以是在上唯一的极小值点. 则，由①可知. 【解析】 【分析】（1）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可求得函数的增区间和减区间； （2）由已知不等式结合参变分离得出对任意的恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围； （3）当时，利用导数分析函数的单调性，利用极值点与导数的关系结合零点存在定理可证得在上存在唯一的极小值点，并可得出，再结合二次函数的基本性质可证得. 【小问1详解】 因为，其中，. ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得， 由可得；由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述：当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 当时，恒成立，即恒成立. 令，则，其中， 由可得；由可得. 所以，函数的减区间为，增区间为. 所以，即，故的取值范围是. 【小问3详解】 略 19. 某种微生物群体可以通过自身繁殖的方式不断生存下来，且每个个体繁殖后自身消亡．假设开始时有一个该微生物个体，称为第0代，经过一次繁殖后产生第1代，第1代经过一次繁殖后产生第2代，…，每个该微生物个体繁殖产生下一代个数为1和2的概率均为，假设每个个体繁殖过程相互独立，记随机变量为繁殖产生的第代的个体总数． （1）若，求的分布列和期望； （2）证明：； （3）定义：的条件下，随机变量的期望称为条件期望，记作，且．求．参考公式： 【答案】（1）的分布列为： 2 3 4 数学期望为3； （2）证明如下：由题意可知，事件表示在前代繁殖过程中只有一次繁殖为2个微生物个体， 且之前与之后都繁殖为1个微生物个体， 记事件表示＂第代繁殖为两个微生物＂（即第代开始为2个微生物）， 则两两互斥， 且， 而， 因此 ， 所以． （3） 【解析】 【分析】（1）分析得的所有可能取值为2，3，4，再写出其分布列，计算其期望即可； （2）记事件表示＂第代繁殖为两个微生物＂，再根据互斥事件的加法公式计算即可； （3）分析出的可能取值为，再利用条件期望公式计算即可. 【小问1详解】 由题意得，的所有可能取值为2，3，4， ， ， ， 所以的分布列为： 2 3 4 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在的条件下，的可能取值为， 则， ， 故由条件期望公式可得 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024--2025学年高二下学期第三次质量检测 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若函数满足则（ ） A. B. C. D. 2. 2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦、孙颖莎以3:1战胜日本队组合吉村真晴、大腾沙月，连续第三次夺得世乒赛混双冠军.假设2026年的一次乒乓球比赛中，中国队组合再次遇到日本队，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛中国队组合获胜的概率为，则中国队组合再次以3:1获胜的概率为（   ） A. B. C. D. 3. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 4. 某单位计划从4名男职工和3名女职工中选2人在周末时间值班，则在周六值班的是男职工的条件下，周日值班是女职工的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知离散型随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，且，，若的数学期望，则（ ） A. 19 B. 16 C. D. 7. 已知随机事件A，B，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义：为函数的n阶导数，即对函数连续求n阶导数．例如，则，，，，…，若，则的展开式中的系数是（ ） A. 8 B. 28 C. 56 D. 70 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，有多项符合题意，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选不得分） 9. 对具有相关关系的两个变量和进行回归分析时，经过随机抽样获得成对的样本数据，则下列说法正确的是（ ） A. 若两变量、具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点 B. 变量、的线性相关系数的绝对值越接近，则两个变量与的线性相关程度越强 C. 用残差平方和来比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D. 用来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零的直线上，则的值为 10. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，） A. B. C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分，14题第一个空2分，第二个空3分） 12. 的展开式中，各项系数中的最大值为______． 13. 已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是______ 14. 定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件条件下的k阶矩定义为，其中为X的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率.某射击运动爱好者进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为，击中目标两次时停止射击.设表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目标时的射击次数，则________，________. 四、解答题 15. 已知函数，为的导函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在处取得极值，求的单调区间和最值． 16. AI的快速发展在某些方面引发了人们对自己所在行业前景的焦虑，某心理辅导机构为了了解人们对于未来行业前景的焦虑是否与性别有关，对某社区居民进行了一次抽样调查，分别抽取男性和女性各50人作为样本，得到如下数据． 焦虑 不焦虑 合计 男性 10 女性 20 合计 （1）根据已知条件，填写上面列联表，并根据小概率值为的独立性检验，能否认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关？ （2）现从该样本焦虑的居民中，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取3人进行心理辅导，设抽取的3人中男性的人数为，求的分布列和数学期望． 附：为样本容量． 17. 近年来，为响应节能减排号召，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，以纯电动汽车为主力的新能源汽车逐渐成为中国汽车的新名片.据统计，2017年至2023年全国新能源汽车保有量（百万辆）如下： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 保有量 1.9 2.8 4.1 4.4 5.7 10.6 12.5 并计算得，，. （1）根据上表数据，求出关于的回归直线方程； （2）根据回归直线方程，预测2028年全国新能源汽车保有量； （3）根据往年的汽车销售数据可知今年汽车保有量的增量为百万辆，设新能源汽车保有量的年增量的估计值与今年汽车保有量的增量的比为，用作为今年购车的客户购买新能源汽车概率的估计值.记某汽车销售公司今年位客户中，恰有位购买新能源汽车的概率为，求为何值时，有最大值. 附：，. 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且. 参考数据：. 19. 某种微生物群体可以通过自身繁殖的方式不断生存下来，且每个个体繁殖后自身消亡．假设开始时有一个该微生物个体，称为第0代，经过一次繁殖后产生第1代，第1代经过一次繁殖后产生第2代，…，每个该微生物个体繁殖产生下一代个数为1和2的概率均为，假设每个个体繁殖过程相互独立，记随机变量为繁殖产生的第代的个体总数． （1）若，求的分布列和期望； （2）证明：； （3）定义：的条件下，随机变量的期望称为条件期望，记作，且．求．参考公式： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $