1.1.2空间向量的数量积运算（导学案）数学人教A版2019选择性必修第一册

1.1.2空间向量的数量积运算 导学案 （1）掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养． （2）掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养． （3）了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养． （4）能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养. 重点：掌握空间向量的夹角的概念、掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 难点：能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题. 第一环节 回顾引入 回顾平面向量夹角和数量积的定义： 思考：类比平面向量的知识，空间向量的夹角和数量积又将如何定义呢？ 第二环节 合作探究 探究1：类比平面向量，如何得出空间向量夹角的概念？ 平面向量的概念 空间向量的概念 对非零向量,作,则叫做与的夹角,记作,. 已知两个非零向量，，在 任取一点，作，，则叫做向量，的 ，记作 ， ． 当时,则. 当时,则 牛刀小试： 练1：（多选）下列命题是真命题的是（     ） A．任何两个空间向量之间都有夹角 B．当两个非零向量同向时，它们的夹角为0，反向时，它们的夹角为π C．若，则向量与一定垂直 D．两个非零向量，，与可能不相等 练2：如图所示，在正方体中，下列各组向量的夹角为的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 探究2：类比平面向量，如何得出空间向量数量积的定义？ 平面向量的表示法 空间向量的表示法 两个非零向量,则叫.做的数量积,记作,即 . 特别地，零向量与任意向量的数量积为0． 已知两个非零向量，，则 叫做，的 ，记作 ． 即 ． 特别地，零向量与任意向量的数量积为 ． 牛刀小试： 练3：已知，分别求下列条件下与的数量积. (1)与的夹角为； (2)与的夹角为； (3)； (4) . 练4：已知，分别求下列条件下与的数量积. 探究3：在平面向量中我们学习过投影向量的概念，回顾什么是投影向量，你能把它推广到空间向量中吗？ 平面向量的投影 探究4：在空间，向量向向量投影有什么几何意义？ 探究5：在空间，向量向平面β投影有什么几何意义？ 牛刀小试： 练5：已知向量，，，，，则在方向上的投影向量为 ，在方向上的投影向量为 ． 探究6：类比平面向量数量积运算的运算律，空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？ 平面向量数量积运算律 空间向量数量积运算律 ， (交换律) (分配律) ， (交换律) (分配律) 要求：请同学们课后给出运算律的证明 思考：对三个不为0的数,有,也就是说，数的运算满足结合律.对于向量的数量积运算，有“结合律吗？ 思考：对于三个均不为0的数，若，则．对于向量，，，由，你能得到吗？如果不能，请举出反例． 思考：对于三个均不为0的数，若，则(或)．对于向量，，若，能不能写成（或）的形式？ 牛刀小试： 练6：下列说法错误的是（     ） A．设是两个空间向量，则一定共面 B．设是两个空间向量，则 C．设是三个空间向量，则一定不共面 D．设是三个空间向量，则 例2： 如图1.1-12，在平行六面体中，，， ，，．求： （1） ；（2）的长（精确到0.1）． 方法总结：求数量积的两种情况及方法 (1)已知向量的模和夹角：利用并结合运算律进行计算． (2)在几何体中求空间向量的数量积：先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．再利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积． 变式练习： 在四面体O-ABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,点G为△ABC的重心,则·()=　　　　　.  例3：如图1.1-13，，是平面内的两条相交直线，如果，. 求证：． 题型一:空间向量数量积的运算 1．如图，正方体的棱长为1，设，，， 求：（1）； （2）； （3）． 2．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．求： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 方法总结：空间向量数量积运算的求解方法 · 利用定义,直接利用a·b=|a||b|cos<a,b>并结合运算律进行计算. · 利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算. · 利用向量分解,在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算. · 步骤:(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式; · 利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积; · 代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解. 题型二：利用数量积求解距离，角度等几何元素 3．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（） A．60° B．90° C．105° D．75° 4.如图，在平行六面体中，，，，，．求： （1）； （2）的长； （3）的长． 方法总结：1．求空间向量的模有两种方法 一是平方法，即利用|a|2＝a·a，其实质是转化为数量积求解； 二是坐标法，即利用公式|a|＝. 2．向量夹角与异面直线所成角 (1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解． (2)利用数量积求夹角的余弦值： 5. 如图，空间四边形中，. 求证：. 方法总结：利用空间向量解决垂直问题的方法 (1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直． (2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积判断是否垂直． 1.（23-24高二上·北京房山·期中） 在棱长为2的正方体中，（     ） A． B． C．2 D．4 2.（21-22高二上·甘肃陇南·期末） 已知，（，，为两两互相垂直的单位向量），若，则（     ） A． B． C． D． 3.（23-24高二上·四川成都·阶段练习） 已知空间向量的夹角为，则 ． 4.（2024高二·全国·专题练习） 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 5.（23-24高二下·甘肃·期末） 在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（     ） A． B． C． D．6 1．空间向量的数量积 （1）空间向量的夹角及其表示： 给定两个非零向量，任意在空间中选定一点O，作，，则大小在 内的 称为与的夹角，记作 . 特别地，若，则称与 ，记作. （2）向量的数量积：两个非零向量，的数量积定义为 ． （3）数量积的性质： ① ⇔ ；         ②·= =； ③|·| ||||；                   ④(λ)·= ； ⑤·= (交换律)；    ⑥(+)·= (分配律). 2．投影向量 （1）在空间，向量向向量投影： 如图①，先将它们平移到同一平面内，利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量， ，称向量为向量在向量上的投影向量． （2）向量在直线l上的投影如图②． （3）向量向平面投影： 如图③，分别由向量的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量 称为向量在平面上的投影向量． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.2空间向量的数量积运算 导学案 （1）掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养． （2）掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养． （3）了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养． （4）能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养. 重点：掌握空间向量的夹角的概念、掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 难点：能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题. 第一环节 回顾引入 回顾平面向量夹角和数量积的定义： 思考：类比平面向量的知识，空间向量的夹角和数量积又将如何定义呢？ 第二环节 合作探究 探究1：类比平面向量，如何得出空间向量夹角的概念？ 平面向量的概念 空间向量的概念 对非零向量,作,则叫做与的夹角,记作,. 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，． 当时,则. 当时,则. 牛刀小试： 练1：（多选）下列命题是真命题的是（     ） A．任何两个空间向量之间都有夹角 B．当两个非零向量同向时，它们的夹角为0，反向时，它们的夹角为π C．若，则向量与一定垂直 D．两个非零向量，，与可能不相等 解析：对于A，只有两个非零向量才有夹角，零向量与任何向量不定义夹角，故A错误； 对于B，当两个非零向量同向时，它们的夹角为0，反向时，它们的夹角为π，故B正确； 对于C，当，故C正确； 对于D，两个非零向量的夹角是唯一确定的，所以，故D错误； 故答案为：BC 练2：如图所示，在正方体中，下列各组向量的夹角为的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 解析：对于A，因为 ，且，所以，故A正确； 对于B，因为，且，所以，故B错误； 对于C，因为，且，所以，故C错误； 对于D，因为，且，所以，故D错误； 故答案为：A 探究2：类比平面向量，如何得出空间向量数量积的定义？ 平面向量的表示法 空间向量的表示法 两个非零向量,则叫.做的数量积,记作,即 . 特别地，零向量与任意向量的数量积为0． 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作．即． 特别地，零向量与任意向量的数量积为0． 牛刀小试： 练3：已知，分别求下列条件下与的数量积. (1)与的夹角为； (2)与的夹角为； (3)； (4) . 解析：（1）； （2）； （3）当时，； （4）当时，或，则 练4：已知，分别求下列条件下与的数量积. 解析：由，得．因为，所以． 探究3：在平面向量中我们学习过投影向量的概念，回顾什么是投影向量，你能把它推广到空间向量中吗？ 平面向量的投影 探究4：在空间，向量向向量投影有什么几何意义？ 预设：如图1.1-11(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 探究5：在空间，向量向平面β投影有什么几何意义？ 预设：如图1.1-11(3)，向量向平面β投影，就是分别由向量的起点和终点作平面β的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面β上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面β所成的角． 牛刀小试： 练5：已知向量，，，，，则在方向上的投影向量为 ，在方向上的投影向量为 ． 解析：由题意，与向量，同方向的单位向量分别为，． 根据投影向量的定义，得在方向上的投影向量为：； 在方向上的投影向量为. 探究6：类比平面向量数量积运算的运算律，空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？ 平面向量数量积运算律 空间向量数量积运算律 ， (交换律) (分配律) ， (交换律) (分配律) 要求：请同学们课后给出运算律的证明 思考：对三个不为0的数,有,也就是说，数的运算满足结合律.对于向量的数量积运算，有“结合律吗？ 师生： 教师提出问题, 引导学生通过小组合作、讨论等, 举出反例. 例如, 任意取三个不共面的向量，是一个数与向量作数乘, 是一个数与向量作数乘, 而不在同一个方向上, 所以与不可能相等. 教师进而指出，空间向量的数量积运算满足的运算律和实数的运算律有很多相似之处，但也有区别，如向量数量积运算不满足“结合律”，也就是说，向量不可以“连乘”. 思考：对于三个均不为0的数，若，则．对于向量，，，由，你能得到吗？如果不能，请举出反例． 师生： 教师可以引导学生结合长方体中的反例说明上述结论不成立, 并进一步指出, 若 向量都垂直于向量, 则成立, 但向量的方向可能不同, 所以不一定成立. 思考：对于三个均不为0的数，若，则(或)．对于向量，，若，能不能写成（或）的形式？ 师生：师生共同完成追问3后，教师小结：向量没有除法运算，不可以在等式两边同时除以一个非零向量，这与实数运算不一样. 牛刀小试： 练6：下列说法错误的是（     ） A．设是两个空间向量，则一定共面 B．设是两个空间向量，则 C．设是三个空间向量，则一定不共面 D．设是三个空间向量，则 解析：对于A，因为空间向量可平移，故任意两个向量均为共面向量，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，设是三个空间向量，则可能共面，故C错误； 对于D，空间向量数量积满足分配律，故，即D正确. 例2： 如图1.1-12，在平行六面体中，，， ，，．求： （1） ；（2）的长（精确到0.1）． 解析：（1）； （2） ，所以． 方法总结：求数量积的两种情况及方法 (1)已知向量的模和夹角：利用并结合运算律进行计算． (2)在几何体中求空间向量的数量积：先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．再利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积． 变式练习： 在四面体O-ABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,点G为△ABC的重心,则·()=　　　　　.  解析：如图，连接AG并延长，与BC交于点D，连接OG， ∵点G是底面△ABC的重心，∴)=[()+()] =. ∴·() =()·() = =×22+×32+×12=. 例3：如图1.1-13，，是平面内的两条相交直线，如果，. 求证：． 分析：要证明，就是要证明垂直于内的任意一条直线（直线与 平面垂直的定义）．如果我们能在和，之间建立某种联系，并由， ，得到，那么就能解决此问题． 证明：在平面内作任意一条直线，分别在直线，，，上取非零向量，，，． 因为直线与相交，所以向量，不平行． 由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使． 将上式两边分别与向量作数量积运算，得． 因为，（为什么?），所以． 所以．这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，所以． 题型一:空间向量数量积的运算 1．如图，正方体的棱长为1，设，，， 求：（1）； （2）； （3）． 解析：（1）； （2）； （3）． 2．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．求： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 解析：四面体ABCD的所有棱长都等于a，任意两条棱所在直线的夹角为， E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，， （1）； （2）； （3）； （4），则直线BD与直线BC所成角就是直线EF与直线BC所成角，又，； （5），则直线AC与直线AB所成角就是直线FG与直线BA所成角， ； （6）取BD中点M，连接AM，CM，则，，平面ACM， 又平面ACM，，，，又，，， 可知， . 方法总结：空间向量数量积运算的求解方法 · 利用定义,直接利用a·b=|a||b|cos<a,b>并结合运算律进行计算. · 利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算. · 利用向量分解,在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算. · 步骤:(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式; · 利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积; · 代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解. 题型二：利用数量积求解距离，角度等几何元素 3．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（） A．60° B．90° C．105° D．75° 解析：在正三棱柱中，向量不共面，，， 令，则，而，， 于是得 ，因此，， 所以与所成角的大小为. 故选：B 4.如图，在平行六面体中，，，，，．求： （1）； （2）的长； （3）的长． 解析：（1）； （2）， ， ，即的长为； （3）， ， ，即的长为. 方法总结：1．求空间向量的模有两种方法 一是平方法，即利用|a|2＝a·a，其实质是转化为数量积求解； 二是坐标法，即利用公式|a|＝. 2．向量夹角与异面直线所成角 (1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解． (2)利用数量积求夹角的余弦值： 5. 如图，空间四边形中，. 求证：. 解析：∵，∴. ∵，∴. ∴（1） 同理:由得（2） 由（1）－（2）得 ∴， ∴，∴，∴. 方法总结：利用空间向量解决垂直问题的方法 (1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直． (2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积判断是否垂直． ． 1.（23-24高二上·北京房山·期中） 在棱长为2的正方体中，（     ） A． B． C．2 D．4 解析：在棱长为2的正方体中, 易知，，因为，与的夹角为， 所以与的夹角为， . 2.（21-22高二上·甘肃陇南·期末） 已知，（，，为两两互相垂直的单位向量），若，则（     ） A． B． C． D． 解析： ， ∵，，为两两互相垂直的单位向量，∴，，，，，， ∴，∵，∴，∴，解得，故选：C. 3.（23-24高二上·四川成都·阶段练习） 已知空间向量的夹角为，则 ． 解析：空间向量的夹角为， 则. 故答案为：13 4.（2024高二·全国·专题练习） 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 解析：空间向量在向量方向上的投影为， 所以投影的模为． 故答案为：． 5.（23-24高二下·甘肃·期末） 在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（     ） A． B． C． D．6 解析：空间因为，所以 ，从而，即的长为． 故选：C. 1．空间向量的数量积 （1）空间向量的夹角及其表示： 给定两个非零向量，任意在空间中选定一点O，作，，则大小在 内的 称为与的夹角，记作 . 特别地，若，则称与 ，记作. （2）向量的数量积：两个非零向量，的数量积定义为 ． （3）数量积的性质： ① ⇔ ；         ②·= =； ③|·| ||||；                   ④(λ)·= ； ⑤·= (交换律)；    ⑥(+)·= (分配律). 答案： 垂直 ·=0 ≤ λ(·) · ·+· 2．投影向量 （1）在空间，向量向向量投影： 如图①，先将它们平移到同一平面内，利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量， ，称向量为向量在向量上的投影向量． （2）向量在直线l上的投影如图②． （3）向量向平面投影： 如图③，分别由向量的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量 称为向量在平面上的投影向量． 答案： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$