精品解析：吉林省延吉市延边第二中学2024-2025学年高二下学期第二次阶段检测数学试题

延边第二中学2024—2025学年度第二学期第二次阶段检测 高二年级数学试卷 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确） 1. ，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知， ，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，，，则， 若，则，解得； 若且，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 2. 如图是函数的导函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象在处切线的斜率小于零 B. 函数在区间上单调递增 C. 在时，函数取得极大值 D. 在时，函数取得极值 【答案】B 【解析】 【分析】对于选项A，根据导数的意义和正负判断斜率的正负；对于选项B，根据导数的符号与函数的单调性的性质进行判断；对于选项C，根据函数的极大值的定义进行判断；对于选项D，根据函数能取到极值的条件进行判断. 【详解】对于选项A： 题干中的图是导函数的图象，当导数小于0时，斜率小于0， 由图可知，在处的值是大于0的，所以图象在该点的切线的斜率是大于0，所以A错误. 对于选项B： 由图可知，导数在内都是大于等于0的， 所以说明函数在该区间内是单调递增的，所以B正确. 对于选项C： 由图可知，导数在左侧是小于0，在右侧是大于0， 这说明函数在的左侧单调递减，在右侧单调递增，因而函数在此处取极小值，C错误. 对于选项D： 由图可知，导数在的左侧是大于0，在右侧也是大于0，符号无变化， 这说明不是极值点，函数在此处没有极值，所以D错误. 故选：B. 3. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数的定义和奇偶性确定的值，求得，利用二次函数的单调性即可确定参数a的取值范围. 【详解】因幂函数是上偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，符合题意． 故，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则，解得． 故选:C. 4. 已知是函数的零点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】结合零点的定义及指数与对数的相互转化求解即可. 【详解】由题意可得，，则， 则，所以. 故选：D. 5. 已知为各项均为正数的等比数列，为其前项积，，，当取得最大值时，为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中条件求出的通项公式，然后解不等式，即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为，则，由题意可得， 所以， 由，可得，因为，故， 因此，当取得最大值时，. 故选：C. 6. 已知是最小正周期为2的函数，当时，，则函数图像与图像的交点的个数是（ ） A. 8 B. C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数的对称性，结合图像得出交点的个数. 【详解】由题意得与都是偶函数，所以其交点关于轴对称，我们研究其在轴右侧的图像， 当时，其图像如图，由图像在轴右侧，有五个交点，由对称性得，在轴左侧，也有五个交点．所以一共有交点10个. 故选：C． 7. 定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到的奇偶性和单调性，从而变形得到，得到不等式，求出答案. 【详解】，定义域为R， 且，故为奇函数， 又， 其中在R上单调递增， 由复合函数可知，在R上单调递增， ， 故，解得或， 所以m的取值范围为. 故选：C 8. 已知函数，则下列错误的个数是（ ） ①只有1个极小值点 ②曲线在点处的切线斜率为9 ③当有3个零点时，m的取值范围为 ④当只有1个零点时，m的取值范围为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论去绝对值，得到的分段解析式，分段求导，可判断命题①②；把的零点问题转化成与的交点问题，令，画出图象可判断命题③④. 【详解】由得： 当 （即  或 )，； 当 （即 )，. 求导分析极值点： 当 ，设 ，则 ， 由，可得；由，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当 时，， 则 ， 由，可得，由，可得； 所以在单调递减，在上单调递增； 所以在上有一个极小值； 因此极小值点有  和  .命题①错误； 当时，，，代入 得， 命题②正确. 令=0得，令， 画出的图象，如下图， 零点问题等价于与的交点问题， 由图可知：有三个零点时，，命题③正确 只有1个零点时，命题④正确 故选：A 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 的最小值为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知条件知方程的两根，，结合根与系数关系可得，，依次判断各个选项. 【详解】对于A，根据题意，方程的两根，且，故A正确； 对于B，由，，，即，，则，故B错误； 对于C，因为，， 所以不等式为，又， 所以不等式变为，解得，即不等式的解集为，故C正确； 对于D，，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 前项和为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可判断A选项；由求出数列的通项公式，可判断B选项；利用分组求和法可判断C选项；利用裂项相消法可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，因为数列的前项和， 所以当时，， 因为不满足，所以，B错； 对于C选项，前项和为，C对； 对于D选项，当时，， 所以 ，D对. 故选：ACD. 11. 佛山第一蜂位于高明区皂幕山，其海拔最高达到米．要登上皂幕山的最高峰，一共需要走级阶梯．小明和小吉同时从第级阶梯出发登峰，假设他们在前分钟中，每分钟走级阶递，由于体力有限，小明每隔分钟，其每分钟走的阶梯数减少级，而小吉每隔分钟，其速度降低，直到登上最高峰，则（ ）（参考数据：，，，） A. 小吉到达最高峰的时间比小明早 B. 小明到达最高峰的时间比小吉早 C. 小吉登上最高峰所需时间多于分钟 D. 两人到达最高峰的时间差距超过分钟 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意可知小明和小吉每分钟走的级数分别形成一列等差数列和一列等比数列，根据题中数据分别求出两列数列的通项公式及其前n项和公式即可计算估计小明和小吉登上最高峰所需的时间，进而得解. 【详解】记第个分钟小明和小吉走的级数分别为、， 则由题意可知，，且，， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 且是以为首项，为公比的等比数列， 所以且， 所以数列和前项和分别为： ， ， 所以，， 而，故第个分钟小明每分钟走的级数为， 所以小明登上最高峰所需时间为分； 因为， ， 而，故第个分钟小吉每分钟走的级数为， 所以小吉登上最高峰所需时间为分， 且分，， 所以小吉到达最高峰的时间比小明早，但差距不超过分钟，小吉登上最高峰所需时间多于分钟. 故选：AC. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，请将答案写在答题纸上） 12. 已知函数 在 时有极值 ，则 ____． 【答案】 【解析】 【分析】对函数进行求导，根据函数在时有极值0，可以得到，代入求解，并进行检验，即可求出结果. 【详解】，有极值前提 ． 或 ． 当时，函数，函数在R上单调递增，函数无极值，舍去. 同理，当时，经验证，满足条件. 则. 故答案为：11. 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】令，由复合函数可知，内层函数在上为减函数，且对任意的，恒成立，即可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】令，因为外层函数为减函数，且原函数在上单调递增， 所以内层函数在上为减函数， 且对任意的，恒成立， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 下列不等式错误的序号是______． ① ② ③ ④ 【答案】③ 【解析】 【分析】先证明，将替换为，则，令可判断①；取结合，可判断②；先证明，再通过（），得到，即，利用累加法推出即可判断③；利用放缩法可判断④. 【详解】令，， 当可得，当可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以（当且仅当时等号成立）， 对于①，将替换为，则，所以， 令得， 即，所以①正确； 对于②，将替换为，则，所以， 可得，故，又由题设得， 故，即，故②正确； 对于③，先证，. 令，，则，故在单调递增， 所以，，， 则得， 又因为， 令，则，故，因此， 则， 则，，故③错误. 对于④，由可得， 则， 即证：，令， ，令， ，所以在上单调递减， 所以，所以， 所以在上单调递减， 所以，所以， 所以，故④正确. 故答案为：③. 四、解答题（共5小题，共77分，请写出必要的解答过程） 15. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程即可； （2）问题化为在上恒成立，利用导数求右侧的最大值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题设的定义域是， 则，所以，即， 即在处的切线方程为. 【小问2详解】 因为，得恒成立. 即，在上恒成立， 设，则， 令，得（舍去）， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 当时，取得极大值，也是最大值，且， 若在上恒成立，则， 故实数的取值范围是. 16. 已知是定义在R上的奇函数，当时，． （1）求时，函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围． （3）解不等式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，即可得对应解析式； （2）作出函数的图像，利用数形结合思想，列出关于的不等式组求解； （3）由（1）知分段函数的解析式，分类讨论解不等式再取并集即可. 【详解】（1）设，则，所以 又为奇函数，所以， 所以当时，， （2）作出函数的图像，如图所示： 要使在上单调递增，结合的图象知，所以， 所以的取值范围是. （3）由（1）知，解不等式， 等价于或，解得：或 综上可知，不等式的解集为 【点睛】易错点睛：本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限，属于基础题. 17. 设数列的前项和为，已知，． （1）求通项公式； （2）若，求数列的前项和． （3）记，求数列的前项和，若，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，两式相减可得，可得是以为首项，为公比的等比数列，即可求出通项公式； （2）先求出，再由裂项相消求出数列的前项和； （3）先求出和，再由裂项相消求出，由可得，利用数列的增减性即可求出的最小值. 【小问1详解】 当时，， 当时，，两式相减可得：， 所以，又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 小问2详解】 因为， 所以 . 【小问3详解】 因为，，令， ， 若，则，所以， 因为在上单调递减，所以， 所以，所以的最小值. 18. 对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（1，2，4，5，7，8与9互质） （1）求，，的值； （2）已知数列满足，求的前项和； （3）若数列前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据欧拉函数的定义直接计算即可； （2）利用错位相减法求和，即可得出结果； （3）由（2）可知，求出 ，将不等式 化简，分离参数，研究数列的单调性，求出其最大项的值，即可得出结果. 【小问1详解】 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以， 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以， 所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个， 所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个， 即， 【小问2详解】 由（1）可知， 两式相减得 【小问3详解】 由（2）可知 ， 得 恒成立， 令 ， 则 ， 可得 ， 当 时，，当时，， 所以的最大值为， 故 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）判断是否存在，使得的最小值为．若存在，确定符合条件的的个数；若不存在，说明理由． 【答案】（1）答案见解析 （2）存在唯一的 【解析】 【分析】（1）的定义域为，，设，分和两种情况讨论都得到，所以的正负与的正负有关，分和两种情况讨论的单调性； （2）由（1）得到函数的最小值为，由整理得到，因为函数在上单调递增，所以，设，由零点存在性定理得到存在唯一的. 【小问1详解】 的定义域为， 因为，所以． 设，当时，，， 当时，在上单调递增，所以， 所以时， 时，，，在上单调递增； 时，时，单调递减；时，单调递增． 综上可得，时在上单调递增；时在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由（1）知时，在上单调递减，在上单调递增，所以， 由题意得， 所以， 因为，所以， 由（1）知在上单调递增，所以，． 设，则， 当时，单调递增；当时，，单调递减， 又，，， 所以存在唯一的，使得的最小值为． 【点睛】方法点睛：同构法解决存在性问题问题 将等式两边整理为结构相同的形式，由此构造新函数，本题中将整理为，从而构造函数，函数在上单调递增，从而得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 延边第二中学2024—2025学年度第二学期第二次阶段检测 高二年级数学试卷 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确） 1. ，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是函数的导函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象在处切线的斜率小于零 B. 函数在区间上单调递增 C. 在时，函数取得极大值 D. 在时，函数取得极值 3. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是函数零点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知为各项均为正数的等比数列，为其前项积，，，当取得最大值时，为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是最小正周期为2的函数，当时，，则函数图像与图像的交点的个数是（ ） A. 8 B. C. 10 D. 12 7. 定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列错误的个数是（ ） ①只有1个极小值点 ②曲线在点处的切线斜率为9 ③当有3个零点时，m的取值范围为 ④当只有1个零点时，m的取值范围为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 的最小值为6 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 前项和为 D. 11. 佛山第一蜂位于高明区皂幕山，其海拔最高达到米．要登上皂幕山的最高峰，一共需要走级阶梯．小明和小吉同时从第级阶梯出发登峰，假设他们在前分钟中，每分钟走级阶递，由于体力有限，小明每隔分钟，其每分钟走的阶梯数减少级，而小吉每隔分钟，其速度降低，直到登上最高峰，则（ ）（参考数据：，，，） A. 小吉到达最高峰的时间比小明早 B. 小明到达最高峰的时间比小吉早 C. 小吉登上最高峰所需时间多于分钟 D. 两人到达最高峰的时间差距超过分钟 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，请将答案写在答题纸上） 12. 已知函数 在 时有极值 ，则 ____． 13. 已知函数在上单调递增，则实数取值范围是_________． 14. 下列不等式错误的序号是______． ① ② ③ ④ 四、解答题（共5小题，共77分，请写出必要的解答过程） 15 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 16. 已知是定义在R上的奇函数，当时，． （1）求时，函数解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围． （3）解不等式． 17. 设数列的前项和为，已知，． （1）求通项公式； （2）若，求数列的前项和． （3）记，求数列的前项和，若，求的最小值． 18. 对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（1，2，4，5，7，8与9互质） （1）求，，的值； （2）已知数列满足，求的前项和； （3）若数列前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）判断是否存在，使得的最小值为．若存在，确定符合条件的的个数；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$