上海市静安区2024-2025学年高一下学期期末教学质量调研数学试卷

静安区2024学年第二学期期末教学质量调研 高一数学试卷 2025.06 考生注意： 1． 本试卷共4页，18道试题，满分100分，考试时间90分钟． 2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题共有10题，满分35分，其中1～5题每题3分，6～10题每题4分） 【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】 1. 扇形的半径为8，圆心角等于1.5弧度，则该扇形的弧长等于___________. 2. 已知复数z满足iz=(其中i为虚数单位)，则=___________. 3. 设复数与(其中i为虚数单位)在复平面上所对应的向量分别为与（O为坐标原点），则与的数量积为___________. 4. 在第三十个世界读书日到来之际，为大力推广全民阅读，某书店开展图书促销活动，第一天卖出图书100本，此后每天比前一天多卖20本.若活动持续15天，则该书店在活动期间共卖出___________本图书． 5. 已知，，则___________. 6. 已知函数，则____________． 7. 若z是虚数，且,则___________. 8. 某企业计划对生产线进行技术升级，第一年投入研发资金50万元，之后每年投入资金是上一年的1.2倍，则该企业连续8年投入研发的总资金是___________万元.（结果保留整数） 9. 化简：=___________. 10. 已知函数，则下列四个结论正确的是___________（填写所有正确结论的序号） ① 是的一个周期； ② 的图像关于对称； ③ 在闭区间上恰有3个零点； ④ 若（其中常数）在上是严格增函数，则的最大值为. 二、选择题（本大题共有3题，满分12分，每题4分） 【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得相应分值，否则一律得零分．】 11. 当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是 （  ） A.2，0，2； B. 2，0，2； C. 1+，0，1+； D. 2，2，0，2，2. 12. 如图，在正方形中，为的中点，为的中点，则等于（  ） A.； B.； C.； D.． 13．生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则 （  ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分53分） 【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】 14．（本题满分8分，本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分） 已知向量，． （1）若，，，求证：、、三点共线． （2）已知，若，且，求的值； 15．（本题满分9分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分3分） 已知函数是定义域为R的奇函数． （1）求实数a的值，并判断函数的单调性； （2）写出函数的值域． 16．（本题满分12分，本题共有2个小题，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分） 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a,b,c，已知，D为AB中点，CD=2． （1）证明△ABC为等腰三角形； （2）若，求△ABC周长的最小值． 17．（本题满分12分，本题共有2个小题，第(1) 小题满分4分，第(2)小题满分8分） 2021年年初正式发布本市将加快推进“五个新城”建设，某公司积极响应，将总部迁入其中一个新城． 该公司2021年第一季度的营业收入为1.1亿元，利润为0.16亿元．预测显示：在以2021年为第一年的未来十年（每年春夏秋冬4个季度，共40个季度）内，该公司每一季度的营业收入比上一季度增加0.05亿元，瑞联万象存档库供学科网商用，其他均为盗用由于投入成本的连续不断降低，每一季度的利润比上一季度增长4%．据此预测，解答以下问题： （1）求今年（2025年）冬季，该公司第20个季度营业收入多少亿元？ （2）该公司在哪年哪个季度的利润将首次超过该季度的营业收入的18%？ 18．（本题满分12分，本题共有3个小题，第(1)小题满分3分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分5分） 已知函数 （1）求函数的周期； （2）求函数的最小值及取得最小值时的所有取值； （3）将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 静安区2024学年第二学期期末教学质量调研 高一数学 参考答案 一、填空题 1. 12 2. 3. 39 4. 3600 5. 6. 1 7. 1+i，1-i 8. 825（824.95424万元） 9. 10. ②④ 二、选择题 11. A 12. B 13. D 三、解答题 14．（本题满分8分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分） （1）因为，(2分) =2， 所以2，，（或）． 有公共点D，从而、、三点共线．(2分)(4分) （这是累计分值） （2），因为，所以2，(2分)(6分) 解得=1．(2分)(8分) 15．（本题满分9分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分3分） （1）函数是定义域为R的奇函数，所以即，(2分) 当时，,=0对任意实数x成立，所以(1分)(3分) （这是累计分值） 因为是增函数，所以是增函数，所以是减函数，是增函数，所以是增函数. (3分)(6分) （2）函数的值域为. (3分)(9分) 16．（本题满分12分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分） （1）在△ABC中，,(R为△ABC外接圆半径)，将 代入，化简得,(2分) 所以,(1分)（3分）（这是累计分值） 所以（）+（）=0， 即（）（1+）=0，（1分）（4分） 在△ABC中，角A，B为内角，皆在（0，）内，所以1+，， A=B即△ABC为等腰三角形．（1分）（5分） （2）设△ABC周长为l，则l=a+b+c=2 b+c. （1分）（6分） ,,（2分）（8分） 所以l= 2 b+c=.(2分)(10分) 因为，所以，又正切函数在（0，）内严格增，， 可得当时△ABC周长的最小值为. (2分)(12分) 17．（本题满分12分，第(1) 小题满分4分，第(2)小题满分8分） （1）这是求首项为1.1，公差为0.05的等差数列第20项的通项问题，瑞联万象存档库供学科网商用，禁止其他转载直接计算得： 1.1+190.05=2.05（亿元）．(2分) 答：该公司今年冬季，第20个季度营业收入2.05亿元．(2分) (4分) （2）设第n个季度的营业收入为an，第n个季度的利润为bn， 则，，(1分)(5分) （这是累计分值） ,，(1分)(6分) 设第n个季度的利润将首次超过该季度的营业收入的18%，根据题意得不等式： ，(3分)(9分) 由于每季度的利润和该季度的营业收入都是增加的，用计算器的列表功能，可得 第21季度营业收入的的18%为0.378亿元，利润为0.351元仍小于0.378. 第25季度营业收入的的18%为0.414亿元，利润为0.41013元仍小于0.414. (1分)(11分) 第26季度营业收入的的18%为0.423亿元，利润为0.42653元首次超过0.423. 答：该公司在第7年第1个季度（即2026年春季）的利润将首次超过该季度的营业收入的18%．(2分)(12分) 18．（本题满分12分，第(1)小题满分3分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分5分） （1）. 所以，(2分) 函数的周期为(1分)(3分) （2）函数的最小值为，(2分)(5分) 当，时取得最小值， 取得最小值时的所有取值为 （或）(2分)(7分) （3）由题设的图像变换过程知，，(2分)(9分) 因为，所以， 所以在上严格增， 所以，当时等式成立．(3分)(12分) 学科网（北京）股份有限公司 $$