第07讲 直线的方程（8个知识点10大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第07讲 直线的方程 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： 1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2、当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3、当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4、表示直线去掉一个点；表示一条直线． 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： 1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 知识点三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： 1、这个方程由直线上两点确定； 2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3、直线方程的表示与选择的顺序无关． 4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四：直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 知识点诠释： 1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 知识点六：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点 一般式 、、为系数 任何位置的直线 直线方程的五种形式的比较如下表： 知识点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 知识点八：直线方程的综合应用 1、已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2、据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑 已知直线，， ； 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． （2）从一般式考虑： 且或，记忆式（） 与重合，，， 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． 题型一：点斜式直线方程 【例1】（2025·高二·江苏·期中）过点，斜率为所在直线的点斜式方程为 ． 【变式1-1】过点斜率为3的直线的点斜式方程是 . 【变式1-2】将直线绕其上一点沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是 ． 【变式1-3】经过点，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是 ． 题型二：斜截式直线方程 【例2】（2025·高二·新疆·期中）已知直线垂直于直线，且过点，则直线的斜截式方程为 ；在轴上的截距为 ． 【变式2-1】（2025·高二·陕西宝鸡·期中）经过点，且以为一个方向向量的直线的斜截式方程为 ； 【变式2-2】（2025·高二·天津·期中）过点且与直线l：垂直的直线方程为 ．（用斜截式方程表示）． 【变式2-3】在x轴上的截距为5，倾斜角为的直线的斜截式方程为 ． 题型三：两点式直线方程 【例3】经过两点、的直线方程都可以表示为    A． B． C． D． 【变式3-1】已知直线l的两点式方程，则l的斜率为    A． B． C． D． 【变式3-2】写出一个过和的直线的两点式方程          ． 【变式3-3】已知点，，则直线AB的方程为          ． 题型四：截距式直线方程 【例4】直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，直线l的截距式方程是，则( ) A．      B．      C．      D． 【变式4-2】（2025·高二·湖北十堰·期末）若直线与垂直，则的方程的截距式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 题型五：中点坐标公式 【例5】直线分别交轴和于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】在中，已知点，，且边的中点M在轴上，边的中点N在轴上，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】已知过点的直线与轴、轴分别交于两点.若为线段的中点，则这条直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型六：直线的一般式方程 【例6】直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】若，，则直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式6-2】（2025·高二·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·高二·甘肃庆阳·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 题型七：直线方程的综合应用 【例7】（2025·高二·海南三亚·期中）已知的顶点为，，，求： (1)边AC上的中线所在直线的方程； (2)边AC上的高所在直线的方程； 【变式7-1】已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为边上的中线所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)求的值. 【变式7-2】（2025·高二·重庆·期中）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求边上的中线所在的直线方程； (3)求角平分线所在的直线方程. 【变式7-3】（2025·高二·江苏无锡·期中）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值. 题型八：判断动直线所过定点 【例8】（2025·高二·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 【变式8-1】（2025·高二·上海·期末）直线恒过定点 ． 【变式8-2】无论为何值，直线过定点 . 【变式8-3】已知直线：，则直线恒过定点 . 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 【例9】（2025·高二·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中，点，，直线． (1)当点A到直线l的距离最大时，求k的值： (2)在（1）的条件下，若过点的直线与直线和轴正半轴分别交于点M，N，其中M在第一象限，当的面积最小时，求直线的方程． 【变式9-1】已知直线l过点 (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． (2)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 【变式9-2】（2025·高二·北京·期中）已知两点，直线为线段AB的垂直平分线，求： (1)直线的方程； (2)直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 【变式9-3】已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B. （1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）； （2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程. 题型十：直线方程的实际应用 【例10】某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米．若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为 ．    【变式10-1】有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，则y与x的函数关系式为    【变式10-2】某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）与行李重量的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为（    ） A．20 kg B．25 kg C．30 kg D．80 kg 【变式10-3】（2025·高一·贵州·学业考试）把五个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，经过坐标原点的一条直线将这五个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的表达式为 A． B． C． D． 1．若直线被两坐标轴截得的线段长为，则实数的值为（   ） A． B． C．6 D．5 2．若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川成都·模拟预测）“”是“直线与直线互相平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·高二·河南濮阳·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广西桂林·一模）已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．设、为不同的两点，直线，，以下命题中不正确的为（ ） A．存在实数，使得点在直线上； B．若，则过的直线与直线平行； C．若，则直线经过的中点； D．若，则点在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交； 9．（2025·高二·安徽马鞍山·期中），过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2025·高二·四川内江·开学考试）设直线，则（ ） A．直线在轴上的截距为 B．直线与直线：一定垂直 C．直线过定点 D．当点在直线的右下方时， 11．（多选题）（2025·高二·江苏扬州·期末）已知直线，，下列选项正确的有（   ） A．若，则斜率不存在 B．若不经过第三象限，则 C．若，则或 D．若，则 12．（多选题）（2025·高二·陕西渭南·期末）下列说法正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C．不经过原点的直线都可以用方程表示 D．已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 13．已知直线过点，且分别与轴，轴的正半轴交于两点，当最小时，则直线的方程为 ． 14．（2025·高三·吉林·期末）直线，的倾斜角的取值范围为 . 15．已知的顶点，高所在直线方程为，角的平分线所在直线方程为．求：点的坐标 ；边所在直线方程 ． 16．（2025·高二·上海·期中）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线的方程为.分别求，边所在直线的方程. 17．（2025·高二·四川遂宁·期末）已知函数与直线均过定点，且直线在轴上的截距依次为和. （1）若直线在轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形面积最小时直线的方程. 18．（2025·高一·湖南衡阳·期末）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中；点在上，且，，经测量，，，.问应如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积（精确到）.    19．已知的三个顶点是 (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求角A的内角平分线所在的直线方程 20．（2025·高二·宁夏吴忠·期中）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 21．（2025·高二·湖南株洲·开学考试）分别求符合下列条件的直线的方程 (1)过点且倾斜角为 (2)过点且与直线平行 (3)过点且在两坐标轴上的截距相等 22．（2025·高二·重庆·期中）已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 23．（2025·高二·四川绵阳·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 直线的方程 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： 1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2、当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3、当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4、表示直线去掉一个点；表示一条直线． 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： 1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 知识点三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： 1、这个方程由直线上两点确定； 2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3、直线方程的表示与选择的顺序无关． 4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四：直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 知识点诠释： 1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 知识点六：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点 一般式 、、为系数 任何位置的直线 直线方程的五种形式的比较如下表： 知识点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 知识点八：直线方程的综合应用 1、已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2、据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑 已知直线，， ； 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． （2）从一般式考虑： 且或，记忆式（） 与重合，，， 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． 题型一：点斜式直线方程 【例1】（2025·高二·江苏·期中）过点，斜率为所在直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【解析】根据点斜式方程的定义，所求的方程为. 故答案为：. 【变式1-1】过点斜率为3的直线的点斜式方程是 . 【答案】 【解析】因为直线斜率为3，点为， 所以直线点斜式方程为： 故答案为：. 【变式1-2】将直线绕其上一点沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是 ． 【答案】 【解析】由得直线的斜率为1，倾斜角为45°． ∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°， ∴所求直线的斜率为． 又∵直线过点， ∴直线的点斜式方程为． 故答案为：． 【变式1-3】经过点，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是 ． 【答案】 【解析】由题知，直线斜率为， 则直线点斜式方程为： 故答案为： 题型二：斜截式直线方程 【例2】（2025·高二·新疆·期中）已知直线垂直于直线，且过点，则直线的斜截式方程为 ；在轴上的截距为 ． 【答案】 【解析】因为直线的斜率为，所以直线的斜率为2． 因为直线过点，所以直线的方程为，即， 故直线的斜截式方程为， 令，解得，所以在轴上的截距为． 故答案为：； 【变式2-1】（2025·高二·陕西宝鸡·期中）经过点，且以为一个方向向量的直线的斜截式方程为 ； 【答案】 【解析】依题意，直线的斜率， 所以直线的斜截式方程为. 故答案为： 【变式2-2】（2025·高二·天津·期中）过点且与直线l：垂直的直线方程为 ．（用斜截式方程表示）． 【答案】 【解析】因为直线l：的斜率为，直线与垂直得出斜率为， 所以与直线l：垂直的直线方程为,即. 故答案为：. 【变式2-3】在x轴上的截距为5，倾斜角为的直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【解析】x轴上的截距为5，即，倾斜角为，则斜率为， 由点斜式得，则斜截式为. 故答案为： 题型三：两点式直线方程 【例3】经过两点、的直线方程都可以表示为    A． B． C． D． 【答案】C  【解析】解：当经过、的直线不与轴平行时， 所有直线均可以用表示， 由于直线可能与轴平行， 所以A、B、D中方程不能表示所有经过两点、的直线， 只有选项C满足包括与轴平行的直线． 故选 【变式3-1】已知直线l的两点式方程，则l的斜率为    A． B． C． D． 【答案】A  【解析】解：由直线的两点式方程为可得出： 所以直线的斜率为 ． 故选 【变式3-2】写出一个过和的直线的两点式方程          ． 【答案】  【解析】解：经过点和点直线两点式方程是： 故答案为 【变式3-3】已知点，，则直线AB的方程为          ． 【答案】  【解析】解：由两点式可得直线AB的方程：，化为 故答案为： 题型四：截距式直线方程 【例4】直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的截距式方程为. 故选：D. 【变式4-1】如图，直线l的截距式方程是，则( ) A．      B．      C．      D． 【答案】D 【解析】根据直线的截距式以及图象可知：a>0,b<0 故选：D 【变式4-2】（2025·高二·湖北十堰·期末）若直线与垂直，则的方程的截距式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先由两直线垂直，求出，再将的方程化为截距式即可.因为与垂直，所以， 解得， 则的方程为，即. 故选：C. 【变式4-3】已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 题型五：中点坐标公式 【例5】直线分别交轴和于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，设因为是线段的中点，则， 解得，所以则直线l的方程为，即 故选：C. 【变式5-1】已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得，解得， 即，． 将点坐标代入两点式方程可得， 即． 故选：D. 【变式5-2】在中，已知点，，且边的中点M在轴上，边的中点N在轴上，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，， 因为，， 所以且， 解得，，，， 即，，， 所以MN所在直线方程为， 即． 故选：A． 【变式5-3】已知过点的直线与轴、轴分别交于两点.若为线段的中点，则这条直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设所求直线的方程为．令，得， 所以点坐标为， 又因为为线段的中点，点纵坐标为0， 所以根据中点坐标公式得，解得， 所求直线的方程为． 故选：C 题型六：直线的一般式方程 【例6】直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线，则斜率为，即为倾斜角的正切值， 结合倾斜角的范围，知倾斜角的大小为. 故选：C 【变式6-1】若，，则直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由题意可知 ，故直线的方程可化为 ， 由 ， 可得 ， 由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第三象限． 故选：C． 【变式6-2】（2025·高二·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知，由，得到， 由已知一般式方程为，所以有， 则，解得， 又，， 所以，则， 故选：A. 【变式6-3】（2025·高二·甘肃庆阳·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线方程，即， 设倾斜角为， 则，则. 故选：D. 题型七：直线方程的综合应用 【例7】（2025·高二·海南三亚·期中）已知的顶点为，，，求： (1)边AC上的中线所在直线的方程； (2)边AC上的高所在直线的方程； 【解析】（1）设中点为，所以，即， 所以，直线：，即， 所以边上的中线所在的直线方程为. （2）由题意得，所以边上高的斜率为， 所以边上高所在直线的方程为：，即. 【变式7-1】已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为边上的中线所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)求的值. 【解析】（1）由边上的高所在的直线方程为，其斜率为， 则，即，又， 则，即； （2）设，由在上，即，即， 则中点坐标为，故有，即. 【变式7-2】（2025·高二·重庆·期中）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求边上的中线所在的直线方程； (3)求角平分线所在的直线方程. 【解析】（1）直线的斜率， 则边上的高所在的直线斜率为， 直线又过， 所以边上的高所在的直线方程为， 即. （2）依题意，边的中点， 因此边上的中线所在直线的斜率， 直线又过， 所以边上的中线所在直线的方程为， 即. （3）由题意知：, 故与同方向的单位向量为：， 与同方向的单位向量为：， 故角平分线所在的直线的方向向量为：， 设角平分线所在的直线的斜率为， 又直线的方向向量可以表示为， ， 直线又过， 故角平分线所在的直线方程为：， 即. 【变式7-3】（2025·高二·江苏无锡·期中）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值. 【解析】（1）依题意，由边上的高所在的直线的斜率为，得直线的斜率为， 又，所以直线的方程为，即. （2）由点在轴上，设，则线段的中点， 由点在直线上，得，得，即， 又点在直线上，因此，解得， 所以的值为. 题型八：判断动直线所过定点 【例8】（2025·高二·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 【答案】 【解析】将直线方程变形为， 由直线方程的点斜式可知直线恒过的定点是. 故答案为： 【变式8-1】（2025·高二·上海·期末）直线恒过定点 ． 【答案】 【解析】由可得， 所以直线过直线的交点， 故，解得， 故定点为. 故答案为： 【变式8-2】无论为何值，直线过定点 . 【答案】 【解析】直线方程可化为， 由得， 所以直线过定点， 故答案为：． 【变式8-3】已知直线：，则直线恒过定点 . 【答案】 【解析】由题意可得，令，解得， 所以直线恒过定点， 故答案为： 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 【例9】（2025·高二·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中，点，，直线． (1)当点A到直线l的距离最大时，求k的值： (2)在（1）的条件下，若过点的直线与直线和轴正半轴分别交于点M，N，其中M在第一象限，当的面积最小时，求直线的方程． 【解析】（1）当直线时，点到直线的距离最大， 因为直线OA的斜率为，所以． （2）当直线轴时，易得，，此时的面积为． 当直线的斜率存在时，设，，，则， 联立解得，． 所以的面积； 当时，等号成立． 综上，的面积的最小值为24，此时直线． 【变式9-1】已知直线l过点 (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． (2)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 【解析】（1）①当直线l过原点时，符合题意，斜率， 直线方程为，即； ②当直线l不过原点时， ∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍， ∴可设直线l的方程为：． ∵直线l过点， ∴，解得． ∴直线l的方程为，即． 综上所述，所求直线l方程为或． （2）设直线l的方程为）， 由直线l过点得：． ∴，化为， 当且仅当，时取等号． ∴的面积，其最小值为24． 此时直线的方程为． 【变式9-2】（2025·高二·北京·期中）已知两点，直线为线段AB的垂直平分线，求： (1)直线的方程； (2)直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 【解析】（1）点，则线段的中点为 ，直线的斜率， 于是直线的斜率为，其方程为，即. （2）由（1）知，直线交轴于点，交轴于点， 所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 【变式9-3】已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B. （1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）； （2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程. 【解析】（1）设l的方程为，由直线过点知，即，由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立， 又知，所以时等号成立， 此时l直线的方程为， 即面积最小时直线l的方程为. （2）易知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为，所以得，，所以，得，等号成立时有k，得， 此时直线的方程为，即. 故的最小值是24，取最小值时直线l的方程是. 题型十：直线方程的实际应用 【例10】某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米．若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为 ．    【答案】 【解析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，娱乐健身区域为矩形． 由题可知，直线的方程为，直线的方程为． 设，其中，则，， 则，， 四边形的面积． 当时，取得最大值． 故答案为： 【变式10-1】有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，则y与x的函数关系式为    【答案】 【解析】当时,直线段过点, ,∴此时方程为. 当时,直线段过点,, ∴此时方程为.即. 故答案为： 【变式10-2】某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）与行李重量的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为（    ） A．20 kg B．25 kg C．30 kg D．80 kg 【答案】C 【解析】由图知点，， 所以由直线方程的两点式，得直线的方程是，即． 依题意，令，得，即旅客最多可免费携带30 kg行李． 故选：C. 【变式10-3】（2025·高一·贵州·学业考试）把五个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，经过坐标原点的一条直线将这五个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的表达式为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据已知在直线下方是面积为的直角三角形，求出直线与的交点，即可求出方程直线将这五个正方形分成面积相等的两部分， 在直线下方是面积为的直角三角形，所以直线过， 所以直线方程为. 故选:C. 1．若直线被两坐标轴截得的线段长为，则实数的值为（   ） A． B． C．6 D．5 【答案】B 【解析】令，得；令，得. 依题意得，所以. 故选：B 2．若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解析  因为直线与直线垂直，所以的斜率为-2，所以的方程为，即． 故选：A. 3．过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】设直线为，代入得， 即，， 设直线与x轴交点，与y轴交点， 则所围成封闭图形面积为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以所围成封闭图形面积的最小值为4. 故选：C. 4．直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为，即， 故选：A． 5．（2025·四川成都·模拟预测）“”是“直线与直线互相平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若直线与互相平行， 则，解得或， 当时，符合题意；当时，两直线重合，不符合题意； 故选：C. 6．（2025·高二·河南濮阳·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知的斜率为， 所以与其垂直的直线斜率为， 由点斜式可知该直线方程为， 故选：D 7．（2025·广西桂林·一模）已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为 又过点，所以直线方程为，整理可得. 故选：D. 8．设、为不同的两点，直线，，以下命题中不正确的为（ ） A．存在实数，使得点在直线上； B．若，则过的直线与直线平行； C．若，则直线经过的中点； D．若，则点在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交； 【答案】A 【解析】对于A选项，若点在直线上则， 不存在实数，使点在直线上，故A不正确； 对于B选项，当时，若，则，整理得， 此时直线垂直于轴，直线也垂直于轴，由于不在直线上， 故过、两点的直线与直线平行； 当时，若，则，整理得， 此时若成立，则，与、为不同的两点矛盾， 故，所以， 即， 所以过、两点的直线与直线平行，综合可知，B正确； 对于C选项，若，则 即，， 直线经过线段的中点，即C正确； 对于D选项，若，则， 或， 所以，且， 所以点在直线的同一侧且到直线的距离不相等， 所以直线与线段不平行．故D正确． 故选：A． 9．（2025·高二·安徽马鞍山·期中），过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 注意到动直线和动直线始终垂直， 又是两条直线的交点， 则有， ． 故当且仅当时取等 故选：C. 10．（多选题）（2025·高二·四川内江·开学考试）设直线，则（ ） A．直线在轴上的截距为 B．直线与直线：一定垂直 C．直线过定点 D．当点在直线的右下方时， 【答案】CD 【解析】A.令得，， 当时，直线在轴上无截距，当时，，直线在轴上的截距为，A错误. B.，当时，直线与直线不垂直，B错误. C.直线可化为， 由得，，故直线过定点，C正确. D.由点在直线的右下方得，. 由得， ∴，解得，D正确. 故选：CD. 11．（多选题）（2025·高二·江苏扬州·期末）已知直线，，下列选项正确的有（   ） A．若，则斜率不存在 B．若不经过第三象限，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】BC 【解析】对于A，当时，则，则，所以的斜率为0，故A错误； 对于B，由，可得， 若不经过第三象限，则，故B正确； 对于C，若，则，解得或，故C正确； 对于D，若，则直线，，两直线与重合，故D错误． 故选：BC. 12．（多选题）（2025·高二·陕西渭南·期末）下列说法正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C．不经过原点的直线都可以用方程表示 D．已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】BD 【解析】A：由方向向量与斜率的关系知，该直线的斜率为，错； B：直线与直线互相垂直， 有或，故已知条件间关系为充分不必要条件，对； C：对于不过原点且垂直于坐标轴的直线，不能用表示，错； D：由，， 由图知斜率的取值范围是，对. 故选：BD. 13．已知直线过点，且分别与轴，轴的正半轴交于两点，当最小时，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】设，则，则直线的方程为，所以． ， 当且仅当时等号成立，此时直线的方程为． 故答案为：. 14．（2025·高三·吉林·期末）直线，的倾斜角的取值范围为 . 【答案】 【解析】设直线倾斜角为，斜率为， 由题意得，， ∴. 故答案为：. 15．已知的顶点，高所在直线方程为，角的平分线所在直线方程为．求：点的坐标 ；边所在直线方程 ． 【答案】 ； . 【解析】∵的顶点，高所在直线方程为， 角的平分线所在直线方程为， ∴直线的斜率， ∴直线的方程为：，即， 联立，得， ∴B点坐标为； ∵，，角的平分线所在直线方程为， ∴， ∴，解得或（舍）， ∴直线的方程为：，即． 故答案为：；. 16．（2025·高二·上海·期中）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线的方程为.分别求，边所在直线的方程. 【解析】因为边上的高所在直线的方程为，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以，又直线AC过点， 所以边所在直线方程为，即； 因为是中线所在直线方程， 所以设中点，则， 所以， 因为点B在直线上， 所以，解得， 所以， 因为所在的直线的斜率为， 所以边所在直线方程为，即. 17．（2025·高二·四川遂宁·期末）已知函数与直线均过定点，且直线在轴上的截距依次为和. （1）若直线在轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形面积最小时直线的方程. 【解析】（1），定点， 直线在轴上的截距相等， 若时，则直线过原点，设为，代入得，故直线方程为，即， 若时，设直线为，代入解得，故直线方程为，即， 综上，直线的方程为或； （2）由题可得直线斜率存在，设为，可得， 则直线l的方程为， 令，得，令，可得， 则三角形面积， ，， ，当且仅当，即时等号成立， 三角形面积的最小值为， 此时直线l的方程为，即 18．（2025·高一·湖南衡阳·期末）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中；点在上，且，，经测量，，，.问应如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积（精确到）.    【解析】如图，以边所在直线为轴，以边所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，. 所以直线的方程为：，即，设， 则矩形的面积为， 化简，得， 配方，， 易得当，时，最大，其最大值为. 19．已知的三个顶点是 (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求角A的内角平分线所在的直线方程 【解析】（1）设边上的中点为D，则D，则中线斜率为， 则由点斜式可得边上的中线的直线方程为：； （2）由题可得斜率为：， 则边上的高斜率为，又边上的高的直线方程过点A， 则边上的高的直线方程为：； （3），设， 则，所以为AD的方向向量，则， 所以AD：，整理得 20．（2025·高二·宁夏吴忠·期中）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【解析】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为. （2）因为点，，中点为，， 则垂直平分线的斜率，则， 直线方程为，所以直线的一般方程为. （3）设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过 当截距时，直线过，，则，即； 当截距时，直线斜率，则，即. 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和. 21．（2025·高二·湖南株洲·开学考试）分别求符合下列条件的直线的方程 (1)过点且倾斜角为 (2)过点且与直线平行 (3)过点且在两坐标轴上的截距相等 【解析】（1）由直线的倾斜角为，得其斜率， 所以直线的方程为，即. （2）设与直线平行的直线的方程为，而直线过点， 则，解得， 所以直线的方程为. （3）当直线过原点时，直线的方程为，即， 当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 22．（2025·高二·重庆·期中）已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【解析】（1）当截距为时，设直线方程为， 因为直线过点，则， 解得， 所以直线方程为； 当截距相等且不为时，设直线方程为， 因为直线过点，则代入直线方程得，， 则直线方程为. 所以直线方程为或. （2）由题意可知，直线的截距不为，且斜率存在且， 设直线方程为， 令，；令， 则， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为，此时的直线方程为. 23．（2025·高二·四川绵阳·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【解析】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$