第06讲：倾斜角与斜率、两条直线平行和垂直的判定【七大题型】-2025-2026学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

第06讲：倾斜角与斜率、两条直线平行和垂直的判定 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 知识点二　直线的斜率 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 3．过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 知识点三　两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 知识点四　两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【例题详解】 题型一、直线倾斜角宇斜率 1．（24-25高二上·北京·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京·期末）若直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·辽宁朝阳·阶段练习）根据下列条件，求直线的倾斜角； (1)斜率为； (2)经过两点； (3)一个方向向量为． 题型二、直线的斜率求参数问题 4．（24-25高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 5．（23-24高二上·山东·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么实数 . 6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行? (2)直线的方向向量的坐标为． (3)直线的倾斜角为? 题型三、斜率与倾斜角的变化关系 7．（2025高二上·全国·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四、直线与线段的相交关系求斜率范围 10．（24-25高二上·陕西·阶段练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 题型五、两条直线平行的判定问题 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 15．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 16．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知，若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 题型六、两条直线垂直的判定问题 17．（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 18．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）直线：，直线：，则直线是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型七、垂直与平行的综合应用 19．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 20．（2024高三·全国·专题练习）给出两条直线：，：，其中． (1)当m为何值时，与重合？ (2)设，求m； (3)设与相交，求m的取值范围； (4)求m的值，使得． 21．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求m的值； (2)若直线与直线垂直，求m的值. 22．（24-25高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线：，：，当时，实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高二上·湖北·期末）已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·福建三明·期末）“”是“直线与直线垂直”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高二上·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 10．（24-25高二上·河南开封·期末）已知经过，两点的直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角可能为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·四川雅安·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．三点共线 C．直线（其中）必过定点 D．经过点，倾斜角为的直线方程为 12．（24-25高二上·甘肃·期末）已知直线和直线，则直线平行的充分不必要条件可以是（   ） A． B．或 C． D． 13．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知直线，直线，若，则a的可能值为（   ） A．1 B． C．0 D． 14．（23-24高二上·四川广安·期中）如图，直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若、，直线过且与线段相交，则的斜率 三、填空题 16．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）若直线：与直线：垂直，则实数的值等于 . 17．（24-25高二上·上海·期末）已知直线与直线相互平行，则实数的值为 ． 18．（24-25高二上·吉林·期末）已知，直线，且，则的最小值为 . 19．（24-25高二上·云南文山·期中）已知直线和，下列命题： ①的充要条件是； ②的充分条件是； ③的必要条件是；④的充要条件是； ⑤的充分条件是；⑥的必要条件是； 正确的是 . 四、解答题 20．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 21．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线过点，. (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 22．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲：倾斜角与斜率、两条直线平行和垂直的判定 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 知识点二　直线的斜率 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 3．过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 知识点三　两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 知识点四　两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【例题详解】 题型一、直线倾斜角宇斜率 1．（24-25高二上·北京·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到直线的斜率，即可得到倾斜角. 【详解】直线的斜率为，则倾斜角为. 故选：D. 2．（24-25高二上·北京·期末）若直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线l的倾斜角为，先求出直线的斜率，再由，即可得出答案. 【详解】设直线l的倾斜角为，， 直线l经过点，，则直线l的斜率为：， 所以，所以. 故选：D. 3．（23-24高二上·辽宁朝阳·阶段练习）根据下列条件，求直线的倾斜角； (1)斜率为； (2)经过两点； (3)一个方向向量为． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由斜率和倾斜角的关系求倾斜角； （2）由直线的斜率公式求得斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求倾斜角； （3）由方向向量的定义求得斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求倾斜角. 【详解】（1）设直线的倾斜角为， ∵直线的斜率为，∴， 又∵，∴； （2）由已知得直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， ∵，∴； （3）由直线的一个方向向量为，可得斜率， ∵，∴. 题型二、直线的斜率求参数问题 4．（24-25高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式列式求解即可. 【详解】根据题意可得，解得或， 当时，点A，B重合，不符合题意，舍去； 当时，经验证，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 5．（23-24高二上·山东·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么实数 . 【答案】 【分析】由倾斜角得斜率，由斜率公式可得参数值． 【详解】过两点的直线的倾斜角为， 则，又. 故答案为：1. 6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行? (2)直线的方向向量的坐标为． (3)直线的倾斜角为? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用斜率公式及直线的方向向量的概念求解． 【详解】（1）若直线与轴平行，则直线的斜率，所以． （2）直线的方向向量的坐标为，故，即，解得． （3）由题意可知，直线的斜率，即，解得． 题型三、斜率与倾斜角的变化关系 7．（2025高二上·全国·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角大小即可判断三条直线斜率大小关系. 【详解】解：设直线，，的倾斜角分别为，，， 则由图知， 所以，， 即，． 故选：A. 8．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，已知可求出直线斜率取值范围，再根据直线的方程求出a的取值范围. 【详解】因为， 所以，即直线的斜率． 又由直线方程可得，所以， 解得， 即实数的取值范围是． 故选：C． 9．（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，为倾斜角，分别求出倾斜角在和时斜率的值，再根据正切函数在给定区间的单调性确定斜率的取值范围. 【详解】当时，. 当时，. 因为在上单调递增，在上也单调递增. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是. 故选：C. 题型四、直线与线段的相交关系求斜率范围 10．（24-25高二上·陕西·阶段练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的倾斜角为，根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的取值范围计算可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，又， 所以或， 即直线的倾斜角的取值范围为. 故选：B. 11．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 12．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 13．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 题型五、两条直线平行的判定问题 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 15．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】B 【分析】先根据两直线平行的条件列出方程，求出可能的值，再分别代入检验两直线是否重合，从而确定两直线平行的充要条件. 【详解】因为直线， 当时，，解得或， 当时，，此时两直线重合，舍去， 又时，，此时， 所以 “”的充要条件是“”. 故选：B. 16．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知，若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【分析】根据两直线平行的公式求解即可. 【详解】若，则，即，解得或. 当时，满足； 当时，重合； 故. 故选：C 题型六、两条直线垂直的判定问题 17．（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】由两直线的斜率关系即可判断. 【详解】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以． 故选：A． 18．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）直线：，直线：，则直线是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】假设成立，去推导是否成立，假设去推导是否成立即可得. 【详解】若，由，可得，若，即， 则需，即，即可得时，，故不是的充分条件； 若，则，，此时，故， 综上，直线是的必要不充分条件. 故选：B. 题型七、垂直与平行的综合应用 19．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据两直线方程垂直，分类求解的值. 【详解】若则直线与垂直，满足题意， 若则,则. 综上所述，则或. 故选：C 20．（2024高三·全国·专题练习）给出两条直线：，：，其中． (1)当m为何值时，与重合？ (2)设，求m； (3)设与相交，求m的取值范围； (4)求m的值，使得． 【答案】(1)； (2) (3)且 (4) 【分析】直线，的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）与重合； （2）与平行； （3）与相交； （4）与垂直. 【详解】（1）由，解得，所以当时，与重合. （2）由，解得，所以时，与平行. （3）当，即且时，与相交. （4）当时，即时，与相垂直. 21．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求m的值； (2)若直线与直线垂直，求m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可求出结果； （2）根据可求出结果. 【详解】（1）因为直线AC与直线BD平行，所以， 所以，经检验两直线不重合， 所以 （2）因为直线AC与直线BC垂直，两直线斜率均存在， 所以， 所以， 22．（24-25高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）由直线垂直的特征及直线过的点可得关于、的方程组，即可得解； （2）由直线平行和垂直满足的系数关系，列方程即可求解，． 【详解】（1）因为，，且，所以， 又直线过点， 所以， 所以， 所以， 所以或； （2）若且，则或， 解得，或， 由于不能同时为，故这组解舍去， 故 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角的概念即可得到答案. 【详解】直线的倾斜角为. 故选：B. 2．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的斜率，即得直线的倾斜角. 【详解】由，可得直线的斜率为， 故直线的倾斜角为. 故选：B. 3．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线：，：，当时，实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】利用两条直线相互垂直列式计算得解. 【详解】由直线：与：垂直，得， 所以. 故选：C 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由两直线平行建立方程，根据充分、必要条件的定义，可得答案. 【详解】由，可得，则，解得或， 当时，，则. 综上所述，“”可推出两直线平行，但由两直线平行推不出“", 所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（24-25高二上·湖北·期末）已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点的斜率公式及直线的斜率定义即可求解. 【详解】由题，直线的斜率为，又， . 故选：B. 6．（24-25高二上·福建三明·期末）“”是“直线与直线垂直”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由命题“直线与直线垂直”求出的范围，再根据充要关系判断即可 【详解】解：因为直线与直线垂直, 所以，所以或. 又因为“”可推得“或”,而“或”不能推得“”， 所以“”是“或”的充分不必要条件； 即“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A 7．（24-25高二上·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线表示出斜率，求出其范围，再根据正切函数性质求出倾斜角的范围. 【详解】因为，所以， 设其倾斜角为，当时，直线为，， 当，直线的斜率，则， 由正切函数性质可知. 故直线的倾斜角的范围是 故选：C. 8．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求直线恒过的定点，再应用两点式求斜率，根据斜率范围求参即可. 【详解】直线恒过定点，又， 直线的斜率为，要使直线与线段有公共点，，解得. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 【答案】ABD 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义，依次判断选项即可. 【详解】直线的倾斜角必定存在，且满足； 直线的斜率，但不是所有直线都存在斜率. 所以ABD正确，C错误. 故选：ABD 10．（24-25高二上·河南开封·期末）已知经过，两点的直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】应用两点式求斜率，结合方向向量与斜率关系列方程求斜率，进而确定倾斜角的大小. 【详解】由题意，，解得，则， 设倾斜角为，则，解得或. 故选：BC 11．（24-25高二上·四川雅安·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．三点共线 C．直线（其中）必过定点 D．经过点，倾斜角为的直线方程为 【答案】ABC 【分析】对A，根据直线垂直轴判断；对B，由可判断B；对C，由题意可得出，即，解方程可判断C；对D，时，直线的斜率不存在可判断D. 【详解】对于A，直线即，垂直轴，所以直线的一个方向向量为，故A正确； 对于B，，，所以，故B正确； 对于C，由可得：， 则，解得：， 所以直线必过定点，故C正确； 对于D，当时，直线的斜率不存在，故D错误. 故选：ABC. 12．（24-25高二上·甘肃·期末）已知直线和直线，则直线平行的充分不必要条件可以是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】AC 【分析】求出直线平行的充要条件，再由充分不必要条件的定义即可得答案. 【详解】解：当直线平行时， 则有，解得或，经检验此时两直线平行， 所以直线平行的充要条件为或， 由充分不必要条件的定义可知A，C满足题意. 故选：AC． 13．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知直线，直线，若，则a的可能值为（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】ACD 【分析】根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据直线平行列方程来求得的可能取值. 【详解】考虑直线斜率存在的情况 当且时，直线：，其斜率； 直线：，其斜率. 因为，所以，即：， ，， ，，， 解得或或（舍去）. 当时，直线：，直线：，两直线平行. 当时，直线：，直线：，两直线平行. 考虑特殊情况 当时，直线：，即； 直线：，即，两直线平行. 当时，直线：，直线：，两直线不平行. 综上，或或. 所以ACD选项正确，B选项错误. 故选：ACD 14．（23-24高二上·四川广安·期中）如图，直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合图象利用斜率的定义判断即可. 【详解】设直线，，的倾斜角分别为， 由图象可知，， 易知，当时， 又在时，且上单调递增， 所以，，即. 故选：ABD 15．（24-25高二上·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若、，直线过且与线段相交，则的斜率 【答案】BCD 【分析】利用两直线垂直求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用两直线平行求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；求出直线斜率的取值范围，利用倾斜角与斜率的关系可判断C选项；数形结合求出直线斜率的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若直线与直线互相垂直， 则，解得或， 所以，“”是“直线与直线互相垂直”充分不必要条件，A错； 对于B选项，若直线与直线互相平行， 则，解得， 所以，“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，B对； 对于C选项，直线的斜率为， 当时，；当时，. 因此，直线的倾斜角的取值范围是，C对； 对于D选项，如下图所示： 设线段交轴于点，直线交线段于点， ，， 当点在从点往点（不包括点）运动时，此时，直线的倾斜角为锐角， 在运动的过程中，直线的倾斜角逐项增大，此时，直线的斜率为； 当点从点（不包括点）往点运动时，此时，直线的倾斜角为钝角， 在运动的过程中，直线的倾斜角逐渐增大，此时，直线的斜率为. 综上所述，直线的斜率的取值范围是，D对. 故选：BCD. 三、填空题 16．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）若直线：与直线：垂直，则实数的值等于 . 【答案】 【分析】写出两直线斜率，由直线垂直得到斜率乘积为，建立方程后解出参数的值. 【详解】由题意知两直线斜率存在， ，， ， 解得. 故答案为： 17．（24-25高二上·上海·期末）已知直线与直线相互平行，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】利用两条直线平行的条件即可求得，再代入验证. 【详解】直线与直线相互平行， 得，即得; 当时，与平行. 故答案为： 18．（24-25高二上·吉林·期末）已知，直线，且，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】由题意，根据直线垂直，先得到，再由，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8 19．（24-25高二上·云南文山·期中）已知直线和，下列命题： ①的充要条件是； ②的充分条件是； ③的必要条件是；④的充要条件是； ⑤的充分条件是；⑥的必要条件是； 正确的是 . 【答案】⑤ 【分析】根据直线平行、垂直，以及充分和必要条件等知识确定正确答案. 【详解】若，则可能、的斜率都不存在，故不能得到； 若，则可能、重合，故不能得到， 所以①②③错误. 若，则可能的斜率不存在，的斜率为，故不能得到； 若，，则， 所以⑤正确，④⑥错误. 故答案为：⑤ 四、解答题 20．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)或斜率不存在 (2) 【分析】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【详解】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 21．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线过点，. (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率公式和斜率为倾斜角的正切值可得. （2）倾斜角为钝角时，斜率小于，再利用斜率公式可得. 【详解】（1）由题意得，得. （2）由题意得，得， 故实数的取值范围为 22．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1） 设，根据求解即可； （2） 因为表示直线的斜率，求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率，由此即可得答案． 【详解】（1）如图，当点在第一象限时，，    设，则，解得， 故点的坐标为. （2）由题意得为直线的斜率，如图，    当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，． 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$