预习第09讲 直线的倾斜角与斜率 2025年升高二暑假数学讲义（人教A版2019）

第09讲 直线的倾斜角与斜率 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 直线倾斜角 【题型二】 斜率与倾斜角的关系 【题型三】 已知两点求斜率 【题型四】 已知斜率求参数 【题型五】 斜率几何意义的应用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握直线的倾斜角的概念； 2.掌握直线的斜率的概念，并会求直线斜率； 3.掌握有关斜率的最值问题. 【题型一】 直线倾斜角 相关知识点讲解 定义 当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 特别地，当直线与轴平行或重合时，规定. 解析 ① 每条直线都有一个确定的倾斜角，且方向相同的直线，其倾斜程度相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等； ② 倾斜角表示直线的倾斜程度. 范围 直线倾斜角 与轴垂直时，. 【典题1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D．不存在 变式练习 1（24-25高二上·云南西双版纳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）直线 的倾斜角为(    ) A． B． C． D． 【题型二】 斜率与倾斜角的关系 相关知识点讲解 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作. 当直线与轴平行或重合时，， 当直线与轴垂直时，不存在. 【典题1】（23-24高二上·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·北京·阶段练习）若直线的斜率为，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二下·山西·期中）若直线的倾斜角的大小为，则实数（    ） A． B． C． D． 4（2025高三·全国·专题练习）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 5（24-25高二上·上海·阶段练习）已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型三】 已知两点求斜率 相关知识点讲解 斜率公式 经过两点的直线的斜率公式是 使用斜率公式的时候要注意的前提条件. 【典题1】（24-25高二下·河南·阶段练习）经过，两点的直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【典题2】（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 变式练习 1（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线经过和两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 3（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高二上·山东临沂·期中）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【题型四】 已知斜率求参数 【典题1】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）经过点两点的直线的倾斜角是，则的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 变式练习 1（24-25高二上·广东茂名·期中）经过点和的直线的倾斜角为，则（    ） A．3.5 B．8 C．-2 D．2 2（24-25高二上·全国·课后作业）已知三点共线，则（    ） A． B．6 C． D．2 3（24-25高二上·全国·阶段练习）设直线的方程是倾斜角为.若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型五】 斜率几何意义的应用 相关知识点讲解 斜率的几何意义 形如的代数式可以理解为过点与点直线的斜率. 【典题1】 （24-25高一上·四川达州·期末）点在函数的图象上，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（2021高二上·全国·专题练习）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2（2024·全国·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ． 【A组---基础题】 1（24-25高二上·浙江绍兴·期末）直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D．不存在 2（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二下·河北张家口·开学考试）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 4（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）过两点，的直线的倾斜角是，则等于（    ） A． B． C． D． 5（24-25高二上·山东·阶段练习）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7(多选) （2023·黑龙江哈尔滨·二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（    ） A．-1 B． C． D．0 8（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 9（24-25高二上·全国·课后作业）已知．若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 10（2024高二·全国·专题练习）已知正三角形的三个顶点均在抛物线上，其中一条边所在直线的斜率为，求的三个顶点的横坐标之和. 【B组---提高题】 1（2024高二·全国·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2（2023高三·全国·专题练习）设，比较的大小． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 直线的倾斜角与斜率 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 直线倾斜角 【题型二】 斜率与倾斜角的关系 【题型三】 已知两点求斜率 【题型四】 已知斜率求参数 【题型五】 斜率几何意义的应用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握直线的倾斜角的概念； 2.掌握直线的斜率的概念，并会求直线斜率； 3.掌握有关斜率的最值问题. 【题型一】 直线倾斜角 相关知识点讲解 定义 当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 特别地，当直线与轴平行或重合时，规定. 解析 ① 每条直线都有一个确定的倾斜角，且方向相同的直线，其倾斜程度相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等； ② 倾斜角表示直线的倾斜程度. 范围 直线倾斜角 与轴垂直时，. 【典题1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据直线方程得直线与x轴垂直可得解. 【详解】直线即，是一条与x轴垂直的直线， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 变式练习 1（24-25高二上·云南西双版纳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角的概念即可得到答案. 【详解】直线的倾斜角为. 故选：B. 2（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点坐标得到直线为，即可得倾斜角. 【详解】由过点和点的直线为，即其倾斜角为. 故选：B 3（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）直线 的倾斜角为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的倾斜角为，求出，再由，可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，则，又， ∴．∴其倾斜角为. 故选：D. 【题型二】 斜率与倾斜角的关系 相关知识点讲解 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作. 当直线与轴平行或重合时，， 当直线与轴垂直时，不存在. 【典题1】（23-24高二上·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解. 【详解】设的倾斜角为，则，且， 如图，由正切函数的性质知. 故选：C. 变式练习 1（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线,的倾斜角为，由图可知，所以，即，，所以． 故选：D 2（24-25高三上·北京·阶段练习）若直线的斜率为，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由倾斜角与斜率关系可得答案. 【详解】设的倾斜角为，则， 由，故. 故选：C. 3（24-25高二下·山西·期中）若直线的倾斜角的大小为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由倾斜角和斜率的关系即可得出结果. 【详解】直线的斜率，解得. 故选：D. 4（2025高三·全国·专题练习）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的倾斜角，从而得到直线的倾斜角及斜率，得到. 【详解】因为直线的斜率，对应的倾斜角为， 由题意可得，直线的倾斜角为，故其斜率，解得， 故选：C． 5（24-25高二上·上海·阶段练习）已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，为倾斜角，分别求出倾斜角在和时斜率的值，再根据正切函数在给定区间的单调性确定斜率的取值范围. 【详解】当时，. 当时，. 因为在上单调递增，在上也单调递增. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是. 故选：C. 【题型三】 已知两点求斜率 相关知识点讲解 斜率公式 经过两点的直线的斜率公式是 使用斜率公式的时候要注意的前提条件. 【典题1】（24-25高二下·河南·阶段练习）经过，两点的直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先应用两点求斜率，再根据斜率和倾斜角的关系计算求解. 【详解】设倾斜角为，因为， 所以，又，故. 故选:D. 【典题2】（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线与线段相交，即可求解． 【详解】∵，，， 则，， 直线与线段相交， 则直线的斜率的取值范围是． 故选：A． 变式练习 1（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线经过和两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，解得. 故选：D 2（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点求概率即可求参； 【详解】点，在斜率为的直线l上，则. 故选：D. 3（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点求解斜率，即可根据二倍角公式求解. 【详解】由得，设的倾斜角为， 所以， 故， 故直线的斜率为， 故选：A 4（24-25高二上·山东临沂·期中）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率． 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是． 故选：A. 5（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 【题型四】 已知斜率求参数 【典题1】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）经过点两点的直线的倾斜角是，则的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】由倾斜角与斜率的关系求解． 【详解】由已知，解得， 故选：A． 变式练习 1（24-25高二上·广东茂名·期中）经过点和的直线的倾斜角为，则（    ） A．3.5 B．8 C．-2 D．2 【答案】D 【分析】由两点坐标写出直线斜率，根据直线斜率的定义建立方程，求解即得. 【详解】依题意，直线的斜率为，解得. 故选：D. 2（24-25高二上·全国·课后作业）已知三点共线，则（    ） A． B．6 C． D．2 【答案】B 【分析】根据三点共线列方程，从而求得的值. 【详解】由题可得，即，解得． 故选：B 3（24-25高二上·全国·阶段练习）设直线的方程是倾斜角为.若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合倾斜角与斜率的关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】直线的方程是倾斜角为， 当时，直线的斜率不存在，则； 当时，. 若，则，求得； 若，则，求得. 综上可得，的取值范围为. 故选：B. 【题型五】 斜率几何意义的应用 相关知识点讲解 斜率的几何意义 形如的代数式可以理解为过点与点直线的斜率. 【典题1】 （24-25高一上·四川达州·期末）点在函数的图象上，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点在函数的图象上可求出当时的两端点坐标，将看作函数的图象上的点与点（-1，-2）连线的斜率，即可求得答案. 【详解】因为点在函数的图象上， 所以时， ；当时，； 故设 而可看作函数的图象上的点与点 （-1，-2）连线的斜率， 故时，, 而 ,所以 故选：B. 变式练习 1（2021高二上·全国·专题练习）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定C的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案. 【详解】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，， 可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率， 当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为 故选：B. 2（2024·全国·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出在内的图象，数形结合，将问题转化为斜率问题求解即可. 【详解】由得，作出在内的图象如图所示， 设， 直线恒过定点， 直线的斜率，直线的斜率， 所以数形结合可知，即的取值范围为． 故答案为：.      【A组---基础题】 1（24-25高二上·浙江绍兴·期末）直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据直线方程得直线与x轴垂直可得解. 【详解】直线即，是一条与x轴垂直的直线， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 2（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 3（24-25高二下·河北张家口·开学考试）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由直线方程求出斜率，再由斜率求出直线的倾斜角 【详解】设直线的倾斜角为， 由直线可知其斜率为， 所以， 因为， 所以. 故选：C. 4（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）过两点，的直线的倾斜角是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由过两点的斜率公式求解即可. 【详解】解：因为直线过两点､，且倾斜角是， 所以直线的斜率， 又因为， 所以， 解得. 故选：A. 5（24-25高二上·山东·阶段练习）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，已知可求出直线斜率取值范围，再根据直线的方程求出a的取值范围. 【详解】因为， 所以，即直线的斜率． 又由直线方程可得，所以， 解得， 即实数的取值范围是． 故选：C． 6（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【详解】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B 7(多选) （2023·黑龙江哈尔滨·二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（    ） A．-1 B． C． D．0 【答案】BC 【分析】根据目标式的几何意义为在部分图象上的动点与点所成直线的斜率，即可求范围. 【详解】由表示与点所成直线的斜率， 又是在部分图象上的动点，图象如下： 如上图，，则，只有B、C满足. 故选：BC 8（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将的范围转化为线段上的点与构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可. 【详解】 方程，令，则，令，则， 设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率， ，， 所以的取值范围为. 故答案为：. 9（24-25高二上·全国·课后作业）已知．若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】． 【分析】根据角度关系得，再根据两点斜率公式即可求出的坐标，则得到直线倾斜角. 【详解】设．．． 又， ，即． 又，垂直于轴． 直线的倾斜角为． 10（2024高二·全国·专题练习）已知正三角形的三个顶点均在抛物线上，其中一条边所在直线的斜率为，求的三个顶点的横坐标之和. 【答案】 【分析】根据直线倾斜角和等边三角形内角之间关系，结合直线斜率公式、两角和差的正切公式进行求解即可. 【详解】设点，互不相等， 则，，， 不妨设，且直线的倾斜角为 因为是等边三角形，所以 所以 【B组---提高题】 1（2024高二·全国·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把，，分别看作函数图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图象即可得答案． 【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是. 故选：A 2（2023高三·全国·专题练习）设，比较的大小． 【答案】 【分析】构造函数，将问题转化为函数上的点到点的斜率的大小比较，从而结合图象即可得解. 【详解】令， 而可统一成格式， 表示函数上的点到点的斜率，    结合图象与条件，则构造的斜率都是正数， 所以图象的倾斜角越大，斜率越大，即原式的值越大，可得. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$