第五章三角恒等变换练习题-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

三角函数概念、诱导公式、同角三角函数式 一、单选题 1．若，且，则角是第(　　)象限角． A．二 B．三 C．一或三 D．二或四 2．我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为(　　) A． B． C． D． 3．已知，且，则(　　) A． B． C． D． 4．已知，则下列结论正确的是(　　) A． B． C． D． 二、多选题 5．下列结论正确的是(　　) A．是第一象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C．若角的终边上有一点，则 D．若角为锐角，则角为钝角 6．已知，则下列计算正确的是(　　) A． B． C． D． 7．设角的终边上一点P的坐标是，则的值不可能为(　　) A． B． C． D． 三、填空题 8．已知的终边上有一点，则的值为 . 9．若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___． 10．已知角的终边与单位圆的交点位于第一象限，其横坐标为，则 ，若为单位圆圆心，顺时针旋转得，顺时针旋转得，……，顺时针旋转得，则点的纵坐标为 . 四、解答题 11．已知 （1）化简； （2）若，求的值． 12．在平面直角坐标系中，锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径为1）交于点.过点作圆的切线，分别交轴、轴于点与. （1）若，求的值； （2）若，求三角形的面积的最大值. 三角恒等变换参考答案 1、 单选题 1．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 2．已知sin（α﹣β），cosαsinβ，则cos（2α+2β）＝（　　） A． B． C． D． 【解析】因为sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣sinβcosα，cosαsinβ， 所以sinαcosβ， 所以sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα， 则cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2． 故选：B． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 4．若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α）sinβ，则（　　） A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1 C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1 【解析】解法一：因为sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α）sinβ， 所以sin（）＝2cos（α）sinβ， 即sin（）＝2cos（α）sinβ， 所以sin（）cosβ+sinβcos（）＝2cos（α）sinβ， 所以sin（）cosβ﹣sinβcos（）＝0， 所以sin（）＝0， 所以kπ，k∈Z， 所以α﹣β＝k， 所以tan（α﹣β）＝﹣1． 解法二：由题意可得，sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2（cosα﹣sinα）sinβ， 即sinαcosβ﹣cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ＝0， 所以sin（α﹣β）+cos（α﹣β）＝0， 故tan（α﹣β）＝﹣1． 故选：C． 2、 多选题 5．已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】三角展开求出和，然后代入验证CD即可. 【详解】由， 由， 由上两式解得，所以A,B正确； 对于C：，C错误； 对于D：， 所以或者， 又因为，所以，所以，D正确， 故选：ABD 6．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用三角恒等变换与三角诱导公式即可得解. 【详解】对于A，，故A错误. 对于B，，故B错误， 对于C， ，故C正确. 对于D，，故D正确. 故选：CD. 7．已知，，其中α，β为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】可以先通过已知角的三角函数值缩小角的范围，再将未知角转化为已知角来求值即可. 【详解】因为α，β为锐角，即，， ，， 因为，所以， 所以 因为，所以， 则， ，A选项正确； ，所以B选项正确； ①， ②， ①＋②并化简得，所以C选项错误； ①－②并化简得， 所以，所以D选项错误， 故选：AB. 3、 填空题 8．已知，则 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式以及二倍角的余弦公式得出结果. 【详解】∵，∴ 所以， ∴ 所以. 故答案为：. 9．若，，且，，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有，根据三角函数值确定的值. 【详解】，符号相同， 又，，， 由可得， 又，，， 所以，， ， 由，，得， 10.已知是函数的最大值，若存在实数，使得对任意实数，总有成立，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为 ， 所以，的最小正周期. 因为存在实数，对任意实数，总有成立， 所以，，则的最小值为. 4、 解答题 11.在正方形中，分别为上的动点，其中，，. （1）若为的中点，，求； （2）求证：. 解析：（1）由题得，故，由题可得均为锐角，则，又，则. （2）因为，所以，故， 即，则，故. 12．从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设，五个正方形的面积和为． （1）求面积关于的函数表达式，并求的范围； （2）求面积最小值． 【答案】（1），.（2） 【解析】 【分析】 (1)由题意可知小正方形的边长为，大正方形的边长为，所以五个正方形的面积和为，又，所以； (2)其中，，所以，此时，所以，则，因为，解得，即可求出面积最小值为； 【详解】 解：（1）过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，， 因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合， 所以点，分别为小正方形和大正方形边的中点， 所以小正方形的边长为， 大正方形的边长为， 所以五个正方形的面积和为， ， 因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长， 所以，所以. （2）， ， ， ，其中，， 所以，此时， 因为，所以， 所以， 所以， 则，化简得：， 由此解得：， 因为，所以， 答：面积最小值为， 学科网（北京）股份有限公司 $$