第一章 三角形的证明 检测卷 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 检测卷 (满分：120分 时间：120分钟) 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.在等腰三角形ABC中 ，AB=AC,若∠A=70°, 则∠B 的度数是 ( ) A.40° B.55° C.65° D.60° 2.下列判定直角三角形全等的方法，错误的是 ( ) A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一直角边对应相等 D. 两锐角相等 3.用反证法证明命题“在△ABC 中，若AB=AC, 则∠B<90°”时，第一步应该假设( ) A. ∠B>90° B. ∠B≥90° C.AB≠AC D.AB≠AC 且∠B≥90° 4.如图，直线m//n,△ABC 是等边三角形，顶点B 在直线n 上，直线m 交 AB 于点E,交AC 于点F. 若∠1=140°,则∠2的度数是 ( ) A.110° B.105° C.100° D.95° 第4题图 第5题图 第6题图 5. 如图，在△ABC 中 ，AB=AC,AD 是△ABC的角平分线 .若 AB=13,AD=12, 则 BC 的长为 ( ) A.6 B.5 C.8 D.10 6.如图，在△ABC 中 ，CD 是 AB 边上的高，BE 平分∠ABC, 交 CD 于点E.若 BC=16,DE= 6,则△BCE的面积为 ( ) A.36 B.48 C.60 D.72 7.三条公路将A,B,C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修 建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的 位置是 ( ) A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 第7题图 第8题图 8. 如图，在△ABC 中 ，AB=AC,∠A=36°,D,E 两点分别在边 AC,BC 上 ，BD 平 分 ∠ABC,DE//AB. 图中的等腰三角形共有 ( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 9.如图，在△ABC 中，∠B=90°,分别以点A 和点 C 为圆心，以大于的长为半径作 弧，两弧相交于点M 和点N, 作直线MN, 分别交AB,AC于点E 和点F. 若 BC=3,AB= 9,则BE 的长为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 第9题图 第10题图 10.如图，已知在等边三角形ABC 中 ，AD⊥BC,AD=8 √3.若点P 在线段AD 上运动，则 的最小值为 ( ) A.4√3 B.8√3 C.10 D.12 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11.命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 命题(填“真”或“假”). 12.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°,∠A=30°,DE 垂直平分AB,垂足为 E,交 AC 于点D, 连接 BD.若AD=4, 则 DC的长为 第12题图 第13题图 13.如图，△ABC 是等边三角形，点D,E 分别是边BC,AB 上一点，且BD=AE, 连接AD 与 CE 相交于点F,则∠CFD 的大小是 度. 14.如图，∠AOB=60°, 点 C 是 BO 延长线上的一点，OC=6cm, 动点P 从点C出发沿射线 CB以 2cm/s 的速度移动，动点Q 从点0出发沿射线 OA 以1 cm/s 的速度移动.如果 点P,Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t= s 时，△POQ 是等边三 角形. 第14题图 第15题图 15. 如图，在∠AOB的边 OA,OB 上取点M,N, 连接MN,MP 平分∠AMN,NP 平分∠MNB. 若MN=3,△PMN 的面积是3,△OMN的面积是8,则 OM+ON 的值为 三、解答题(一):本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16.如图，在△ABC 中，∠C=90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB. 如果DE=5cm,∠CAD=32°, 求 CD的长及∠B 的度数. 17.如图，电信部门要在S 区修建一座发射塔P. 按照设计要求，发射塔P 到两个城镇A, B的距离必须相等，到两条高速公路m,n 的距离也必须相等，发射塔P 应建在什么位 置?在图上标出它的位置(尺规作图：只保留作图痕迹，不写作法). 18.如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口， 各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行20n mile,“海天”号每小时航行15n mile, 它们离开港口两个小时后相距50n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，请求出 “海天”号沿哪个方向航行. 四、解答题(二):本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 如图，在△ABC中 ，AB=AC=10,BC=12,M 为 BC 的中点，MN⊥AC 于 点N. 求 MN 的长. 20. 如图，已知AB⊥CF于点B,DE⊥CF 于点E,BH=EG,AH=DG,∠C=∠F. (1)求证：△ ABH≌△DEG; (2)求证：CE=FB. 21. 如图，在△ABC中 ，AE 是∠BAC的平分线，交BC于点E,DE//AB 交AC 于点D. (1)求证：AD=DE; (2)若AC=AB,DE=3, 求 AC的长. 五、解答题(三):本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22.如图，已知E 是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB,ED⊥OA,C,D 是垂足，连接CD,交 OE 于点F. (1)求证：0E 是 CD的垂直平分线. (2)若∠AOB=60°, 请你写出 OE,EF 之间的数量关系.并说明理由. 23.已知△ABC 是等边三角形，点D 是直线BC 上一点，以AD 为一边在AD的右侧作等边 三角形 ADE. (1)如图①,点D 在线段BC 上移动时，直接写出∠BAD 和∠CAE的大小关系； (2)如图②、图③,点D 在线段BC ( 或CB) 的延长线上移动时，猜想∠DCE 的大小是 否发生变化.若不变，请求出其大小；若变化，请说明理由. 图① 图② 图③ 第一章检测卷 1.B 2.D 3.B 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C 9.B 10.B【 解析】如图，过点P 作 PH⊥AC 于点H, 过 点B 作 BK⊥AC于点K. ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC, ∵BK⊥AC, ∴BK=AD=8√3. ∵PH⊥AC, ∴ ∵PB+PH≥BK=, 的最小值为. 11.真 1 2 . 2 13.6014.6 15.11【解析】如图，过点 P 作 PE⊥OB, 垂足为E, 过点P 作 PF⊥MN, 垂足为F, 过点P 作 PG⊥OA,垂足为 G, 连 接OP. ∵P 是△MON外角平分线 的交点， ∴PF=PG=PE. ∵MN=3,S△PMN=3, ∴PF=2. ∴PG=PE=2. ∵S△OMN=8,∴S△OMp+S△Np-S△PMN=8. ∴OM+ON=11. 16. 解：∵ AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC, ∴CD=DE=5cm,∠BAC=2∠CAD=2×32°=64° . ∴∠B=90°-∠BAC=90°-64°=26°. 17.解：如图，点P 即为所求. 18. 解：由题意，可得RP=2×15=30(n mile),PQ=2×20=40(n mile),QR=50n mile. ∵30²+40²=50², ∴RP²+PQ²=QR². ∴△RPQ 是直角三角形. ∴∠RPQ=90°. ∵“远航”号沿东北方向航行， ∴∠QPS=45°. ∴∠RPS=∠RPQ-∠QPS=45°. ∴“海天”号沿西北方向航行. 19.解：如图，连接AM ∵AB=AC=10,BC=12,M为 BC 中点， 在 Rt△AMC 中，由勾股定理， 得AM= = =8. 20. 证明：(1)∵AB⊥CF,DE⊥CF, ∴∠DEG=∠ABH=90° 在Rt△ABH 和 Rt△DEG中 ， ∴Rt△ABH≌Rt△DEG(HL). (2)∵Rt△ABH≌Rt△DEG(HL), ∴AB=DE. 在△ABC和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF(AAS). ∴BC=EF. ∴BC-BE=EF-BE. ∴CE=FB. 21.(1)证明：∵AE 是∠BAC的平分线， ∴∠DAE=∠BAE. .∵DE//AB, ∴∠DEA=∠BAE. ∴∠DAE=∠DEA. ∴AD=DE. (2)解：∵ AC=AB,AE是∠BAC的平分线， ∴AE⊥BC. ∴∠C+∠DAE=90°,∠CED+∠DEA=90°. ∴∠C=∠CED. ∴CD=DE. ∵DE=3, ∴AD=DE=CD=3. ∴AC=6. 22. (1)证明：∵ E 是∠AOB 的平分线上一 点，EC⊥OB, ED⊥OA, ∴DE=CE, 又∵ OE=OE, ∴Rt△ODE≌Rt△OCE(HL). ∴OD=OC.∴△DOC 是等腰三角形. ∵OE 是∠AOB的平分线， ∴OE⊥CD,DF=CF. ∴OE 是 CD的垂直平分线. (2)解：0E=4EF. 理由如下： ∵OE 是∠AOB的平分线上一点，∠AOB=60°, ∴∠AOE=∠BOE=30°. ∵ED⊥OA,OE⊥CD, ∴OE=2DE,∠ODF=60°. ∴∠EDF=90°-60°=30° . ∴DE=2EF. ∴OE=4EF. 23. 解：(1)∠BAD=∠CAE. (2)∠DCE 的大小不发生变化.理由如下： 当点D 在线段BC 的延长线上移动时， ∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠B=∠ACB=60°. ∴∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中 ∴△BAD≌△CAE(SAS). ∴∠B=∠ACE=60°. ∴∠DCE=180°-∠ACB-∠ACE=60°. 当点D 在线段CB的延长线上移动时， ∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴∠DAE=∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,AD=AE,AB=AC. ∴∠ABD=120°,∠BAD=∠CAE. 在△BAD 和△CAE中 ∴△BAD≌△CAE(SAS). ∴∠ABD=∠ACE=120°. ∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=120°-60°=60°. 综上所述，∠DCE=60°, 即∠DCE的大小不发生变化. 学科网（北京）股份有限公司 $$