第一章 三角形的证明 　单元练习　2024-2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学八年级数学下册期末复习：三角形 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•翔安区期中）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝2β B．λα＝β C．a+β＝90° D．α+2β＝180° 2．（2025春•平陆县期中）在△ABC中，AB＝BC，∠B＝50°，则∠A的度数为（　　） A．40° B．50° C．65° D．80° 3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝4，点P为BC上一动点（不与点B，C重合），则AP的取值范围为（　　） A．4＜AP＜8 B．4≤AP＜8 C．4＜AP≤8 D．4≤AP≤8 4．（2024•普陀区二模）已知△ABC中，AH为边BC上的高，在添加下列条件中的一个后，仍不能判断△ABC是等腰三角形的是（　　） A．BH＝HC B．∠BAH＝∠CAH C．∠B＝∠HAC D．S△ABH＝S△AHC 5．（2024秋•白云区月考）如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，若CB＝CD，且∠1＝30°，则∠CAD的度数是（　　） A．90° B．60° C．30° D．1 6．若等腰三角形的底角为30°，底边长为2，则腰上的高为（　　） A． B．1 C． D．2 7．（2024秋•亭湖区校级期中）甲、乙、丙三家分别位于△ABC的三个顶点处，现要建造一个核酸检测点，使得三家到核酸检测点的距离相等，则核酸检测点应建造在（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条中线的交点 8．（2024春•交城县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，连接AD，点E，F分别是BC，AD的中点，若EF＝3，则AD的长为（　　） A．3 B．3 C．6 D．3 9．（2024春•莱芜区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝46°，则∠CAD＝（　　） A．28° B．36° C．42° D．46° 10．（2023秋•和平区期末）如图，已知∠BAC＝∠DAC，添加一个条件仍不能判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．AB＝AD B．BC＝CD C．∠BCE＝∠DCE D．∠B＝∠D 二．填空题（共8小题） 11．（2024春•瑞安市期中）如图1为一种可折叠阅读书架，支架OC可以绕点O旋转，置书面EF可以绕点C转动调节．首先调节EF，使EF⊥MN，如图2所示，此时∠OCE＝141°；再将OC绕O点顺时针旋转至OC′，使∠COC′∠AOC，且E′F′⊥MN，此时∠OC′E′比∠OAM大32°，则∠OAM＝　 　 度． 12．（2024秋•白云区期中）如图，△ABC中，∠A＝90°，∠C＝35°，点Q在△ABC的三边上运动，当△ABQ成为等腰三角形时，顶角度数为 　 　 ． 13．（2023秋•龙岩期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，线段AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E，若BD平分∠ABC，CD＝3，则AC的长为 　 　 ． 14．（2023秋•台江区校级月考）如图，直线a，b分别经过等边三角形ABC的顶点A和C，且a∥b，∠1＝46°，则∠2＝　 　 ． 15．（2023秋•滨海县月考）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝8cm，BC＝7cm，AC＝5cm，将△CDB沿过点B的直线折叠，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 　 　 cm． 16．线段AB的垂直平分线是MN，若P在MN上，且PA＝15厘米，那么PB＝　 　 ． 17．（2025春•抚州期中）如图，电流表中，把指针旋转中心计为O点，针尖为A点，指针顺时针旋转某一度数，针尖为点B，连接AB．若tan∠OAB，AB＝6，则指针OA的长度是 　 　 ． 18．以下各命题中，正确的命题有 　 　 ． （1）等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为9cm，则它的周长为17cm或22cm； （2）三角形的一个外角，等于两个内角的和； （3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等； （4）等边三角形是轴对称图形； （5）三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 三．解答题（共6小题） 19．（2024秋•东方期末）如图，点A，F，C，D在同一直线上，AF＝DC，∠B＝∠E，BC∥EF，求证：△ABC≌△DEF． 20．（2023春•铜川期末）已知线段m和n，请用尺规作图法求作Rt△ABC，使∠ACB＝90°，AB＝n，AC＝m．（保留作图痕迹，不写作法） 21．（2024秋•台山市校级期中）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 22．（2023秋•永城市期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝20°，∠ACB＝65°，DE，FG分别为AB，AC 的垂直平分线，分别交BC于点D、F，垂足分别为点E和点G． （1）求∠BAC的度数． （2）求∠DAF的度数． （3）若BC的长为50，求△DAF的周长． 23．（2024春•新城区月考）【问题提出】 如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E在BC右侧的延长线上，延长CA到点F，使得AF＝AB，连接AE，EF，延长DA交EF于点G，∠DAE＝90°，∠BAC＝48°，且满足AB+AC＝EC． （1）试说明∠CFE＝∠CEF； 【问题探究】 （2）△BAE和△FAE全等吗？请说明理由； 【问题解决】 （3）求∠ACB的度数． 24．如图，在△ABC中．AB＝AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于点O，交AB于点E． （1）求证：点O在AC的垂直平分线上； （2）若AB＝5，AO＝3，则△AOC的周长是多少？ 北师大版数学八年级数学下册期末复习：三角形 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A C C B A C C B 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•翔安区期中）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝2β B．λα＝β C．a+β＝90° D．α+2β＝180° 【解答】解：∵△AOB≌△ADC， ∴AB＝AC，∠CAD＝∠BAO， ∴∠ACB＝∠ABC， ∵∠O＝90°，∠ABO＝β， ∴∠BAO＝90°﹣β， ∴∠CAD＝90°﹣β， ∵BC∥OA， ∴∠ABC＝∠BAO＝90°﹣β，∠ACB+∠CAD+∠DAO＝180°， ∴∠ACB＝90°﹣β， ∴90°﹣β+90°﹣β+α＝180°， ∴α＝2β． 故选：A． 2．（2025春•平陆县期中）在△ABC中，AB＝BC，∠B＝50°，则∠A的度数为（　　） A．40° B．50° C．65° D．80° 【解答】解：∵AB＝BC，∠B＝50°， ∴∠A＝∠C65°， 故选：C． 3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝4，点P为BC上一动点（不与点B，C重合），则AP的取值范围为（　　） A．4＜AP＜8 B．4≤AP＜8 C．4＜AP≤8 D．4≤AP≤8 【解答】解：∵∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝4， ∴AC＝2AB＝8． 又∵点P在线段BC上（不与点B，C重合）， ∴AP的取值范围是：4＜AP＜8． 故选：A． 4．（2024•普陀区二模）已知△ABC中，AH为边BC上的高，在添加下列条件中的一个后，仍不能判断△ABC是等腰三角形的是（　　） A．BH＝HC B．∠BAH＝∠CAH C．∠B＝∠HAC D．S△ABH＝S△AHC 【解答】解：如图， ∵AH⊥BC，BH＝HC， ∴AH是BC的垂直平分线， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， 故A不符合题意； ∵∠BAH＝∠CAH，AH＝AH，∠AHB＝∠AHC＝90°， ∴△ABH≌△ACH（ASA） ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， 故B不符合题意； ∵∠B＝∠HAC，且∠HAC+∠C＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∴∠B与∠C互余，不一定相等， ∴△ABC不一定是等腰三角形， 故C符合题意； ∵S△ABH＝S△AHC，AH⊥BC， ∴BH•AHCH•AH， ∴BH＝CH， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 5．（2024秋•白云区月考）如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，若CB＝CD，且∠1＝30°，则∠CAD的度数是（　　） A．90° B．60° C．30° D．1 【解答】解：∵AB⊥BC，AD⊥DC，CB＝CD， ∴AC是∠BAD的角平分线， ∵∠1＝30°， ∴∠CAD＝∠1＝30°， 故选：C． 6．若等腰三角形的底角为30°，底边长为2，则腰上的高为（　　） A． B．1 C． D．2 【解答】解：如图所示： ∵∠B＝30°，CD⊥AB，BC＝2， ∴CDBC＝1， 故选：B． 7．（2024秋•亭湖区校级期中）甲、乙、丙三家分别位于△ABC的三个顶点处，现要建造一个核酸检测点，使得三家到核酸检测点的距离相等，则核酸检测点应建造在（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条中线的交点 【解答】解：∵线段的垂直平分线的点到线段的两个端点的距离相等， ∴这三家到核酸检测点距离相等，核酸检测点的建造位置是在△ABC三边的垂直平分线上， 故选：A． 8．（2024春•交城县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，连接AD，点E，F分别是BC，AD的中点，若EF＝3，则AD的长为（　　） A．3 B．3 C．6 D．3 【解答】解：连接AE， ∵AB＝AC，E为BC的中点， ∴AE⊥BC， ∴∠AED＝90°， ∵F为AD的中点， ∴EFAD， ∵EF＝3， ∴AD＝6． 故选：C． 9．（2024春•莱芜区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝46°，则∠CAD＝（　　） A．28° B．36° C．42° D．46° 【解答】解：由作法得MN垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B＝46°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝46°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣46°﹣46°＝88°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝88°﹣46°＝42°． 故选：C． 10．（2023秋•和平区期末）如图，已知∠BAC＝∠DAC，添加一个条件仍不能判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．AB＝AD B．BC＝CD C．∠BCE＝∠DCE D．∠B＝∠D 【解答】解：A．若添加AB＝AD，根据全等三角形SAS判定定理能判定△ABC≌△ADC，故不符合题意； B．若添加BC＝CD，不能根据全等三角形判定定理能判定△ABC≌△ADC，故符合题意； C．若添加∠BCE＝∠DCE，根据平角定义可以证明∠ACB＝∠ACD，然后根据全等三角形ASA判定定理能判定△ABC≌△ADC，故不符合题意； D．若添加∠B＝∠D，根据全等三角形AAS判定定理能判定△ABC≌△ADC，故不符合题意； 故选：B． 二．填空题（共8小题） 11．（2024春•瑞安市期中）如图1为一种可折叠阅读书架，支架OC可以绕点O旋转，置书面EF可以绕点C转动调节．首先调节EF，使EF⊥MN，如图2所示，此时∠OCE＝141°；再将OC绕O点顺时针旋转至OC′，使∠COC′∠AOC，且E′F′⊥MN，此时∠OC′E′比∠OAM大32°，则∠OAM＝　69　 度． 【解答】解：延长EF交OC′于K，延长E′F′交OA延长线于L， 设∠COC′＝x°，∠AOM＝y°， ∵∠COC′∠AOC， ∴∠AOC′＝2x°， ∵∠OC′E′比∠OAM大32°， ∴∠OC′E′＝y°+32°， ∵EF⊥MN，E′F′⊥MN， ∴EF∥E′F′， ∴∠OKE＝∠OC′E′＝y°+32°， ∵∠OCE＝∠COC′+∠OKE， ∴x+y+32＝141①， ∵∠NAL＝∠AOM＝y°， ∴∠L＝90°﹣y°， ∵∠OC′E′＝∠L+∠AOC′， ∴y+32＝2x+90﹣y②， 由①②解得：y＝69， ∴∠OAM＝69°． 故答案为：69． 12．（2024秋•白云区期中）如图，△ABC中，∠A＝90°，∠C＝35°，点Q在△ABC的三边上运动，当△ABQ成为等腰三角形时，顶角度数为 　90°或55°或70°　 ． 【解答】解：△ABC中，∠A＝90°，∠C＝35°， ∴∠B＝180°﹣90°﹣35°＝55°， 如图，点Q在AC上时，AQ＝AB，顶角∠A＝90°， 如图，点Q在BC上时，若BA＝BQ，顶角∠B＝55°， 如图，点Q在BC上时，若AB＝AQ， ∴∠B＝∠AQB＝55°， ∴顶角∠BAQ＝180°﹣55°﹣55°＝70°， 如图，点Q在BC上时，若BQ＝AQ， ∴∠B＝∠BAQ＝55°， ∴顶角∠BQA＝180°﹣55°﹣55°＝70°， 综上所述，顶角为100°或55°或70°． 故答案为：90°或55°或70°． 13．（2023秋•龙岩期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，线段AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E，若BD平分∠ABC，CD＝3，则AC的长为 　9　 ． 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠A＝∠ABD＝∠CBD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝30°， ∵CD＝3， ∴AD＝BD＝2CD＝6， ∴AC＝AD+CD＝6+3＝9， 故答案为：9． 14．（2023秋•台江区校级月考）如图，直线a，b分别经过等边三角形ABC的顶点A和C，且a∥b，∠1＝46°，则∠2＝　106°　 ． 【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵∠1＝46°，a∥b， ∴∠2＝∠1+∠BAC＝46°+60°＝106°． 故答案为：106°． 15．（2023秋•滨海县月考）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝8cm，BC＝7cm，AC＝5cm，将△CDB沿过点B的直线折叠，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 　6　 cm． 【解答】解：由折叠得，BE＝BC＝7cm，CD＝DE， ∴AE＝AB﹣BE＝8﹣7＝1（cm）， ∴△AED的周长＝AD+DE+AE＝AC+AE＝5+1＝6 （cm）， 故答案为：6． 16．线段AB的垂直平分线是MN，若P在MN上，且PA＝15厘米，那么PB＝　15厘米　 ． 【解答】解：∵线段AB的垂直平分线是MN，若P在MN上， ∴PA＝PB＝15厘米， 故答案为：15厘米． 17．（2025春•抚州期中）如图，电流表中，把指针旋转中心计为O点，针尖为A点，指针顺时针旋转某一度数，针尖为点B，连接AB．若tan∠OAB，AB＝6，则指针OA的长度是 　5　 ． 【解答】解：根据题意可得，OA＝OB，过点O作AC⊥AB于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 18．以下各命题中，正确的命题有 　（4）（5）　 ． （1）等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为9cm，则它的周长为17cm或22cm； （2）三角形的一个外角，等于两个内角的和； （3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等； （4）等边三角形是轴对称图形； （5）三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 【解答】解：（1）等腰三角形的一边长4cm，一边长9cm，则三边长为：9cm，9cm，4cm，或4cm，4cm，9cm，因为：4+4＜9，则它的周长只能是为22cm，故此命题错误； （2）三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角的和，故此命题错误； （3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等错误，必须是夹角； （4）等边三角形是轴对称图形，此命题正确； （5）三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形，正确； 如图： ∵AD∥CB， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C， ∵AD是角平分线， ∴∠1＝∠2， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， 即△ABC是等腰三角形． 故答案为：（4）（5）． 三．解答题（共6小题） 19．（2024秋•东方期末）如图，点A，F，C，D在同一直线上，AF＝DC，∠B＝∠E，BC∥EF，求证：△ABC≌△DEF． 【解答】证明：∵AF＝DC， ∴AF+CF＝DC+CF， 即AC＝DF， ∵BC∥EF， ∴∠BCA＝∠EFD， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）． 20．（2023春•铜川期末）已知线段m和n，请用尺规作图法求作Rt△ABC，使∠ACB＝90°，AB＝n，AC＝m．（保留作图痕迹，不写作法） 【解答】解：如图，△ABC即为所求． 21．（2024秋•台山市校级期中）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）△ACP与△BPQ全等．理由如下： ∵AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm， ∴∠A＝∠B＝90°，当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3， 在△ACP和△BPQ中，， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）． （2）①若△ACP≌△BPQ，则， 即，解得； ②若△ACP≌△BQP，则， 即，解得； 综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等． 22．（2023秋•永城市期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝20°，∠ACB＝65°，DE，FG分别为AB，AC 的垂直平分线，分别交BC于点D、F，垂足分别为点E和点G． （1）求∠BAC的度数． （2）求∠DAF的度数． （3）若BC的长为50，求△DAF的周长． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝20°，∠ACB＝65°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝95°； （2）∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线， ∴DA＝DB，FA＝FC， ∴∠DAB＝∠ABC＝20°，∠FAC＝∠ACB＝65°， ∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝10°； （3）△DAF 的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝50． 23．（2024春•新城区月考）【问题提出】 如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E在BC右侧的延长线上，延长CA到点F，使得AF＝AB，连接AE，EF，延长DA交EF于点G，∠DAE＝90°，∠BAC＝48°，且满足AB+AC＝EC． （1）试说明∠CFE＝∠CEF； 【问题探究】 （2）△BAE和△FAE全等吗？请说明理由； 【问题解决】 （3）求∠ACB的度数． 【解答】解：（1）∵AF＝AB，AC+AF＝CF， ∴CF＝AB+AC， ∵AB+AC＝EC， ∴CF＝CE， ∴∠CFE＝∠CEF． （2）△BAE≌△FAE，理由如下： ∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD． ∵∠CAD＝∠GAF， ∴∠BAD＝∠GAF． 又∵∠DAE＝∠GAE＝90°， ∴∠BAD+∠DAE＝∠GAF+∠GAE， ∴∠BAE＝∠FAE． 在△FAE和△BAE中， ， ∴△BAE≌△FAE（SAS）． （3）∵△BAE≌△FAE， ∴∠CFE＝∠ABE，∠FEA＝∠BEA． ∵∠CFE＝∠CEF， ∴∠CFE＝∠CEF＝∠ABE． 设∠FEA＝∠BEA＝α，则∠CEF＝∠CFE＝∠ABE＝2α， ∵∠ACB+∠ACE＝180°，∠ACE＝180°﹣（∠CFE+∠CEF）， ∴∠ACB＝∠CFE+∠CEF＝4α． ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∠BAC＝48°， ∴2α+4α+48°＝180°， 解得：α＝22°． ∴∠ACB＝4α＝4×22°＝88°， ∴∠ACB的度数为88°． 24．如图，在△ABC中．AB＝AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于点O，交AB于点E． （1）求证：点O在AC的垂直平分线上； （2）若AB＝5，AO＝3，则△AOC的周长是多少？ 【解答】（1）证明：如图，连接OB，OC， ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴OB＝OC， ∵AB的垂直平分线交AD于点O，交AB于点E， ∴OA＝OB， ∴OA＝OC， ∴点O在AC的垂直平分线上； （2）解：∵AB＝AC，AO＝CO，AB＝5，AO＝3， ∴AC＝5，AO＝AO＝3， ∴△AOC的周长＝AC+AO+CO＝5+3+3＝11． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/18 8:26:19；用户：白智琳；邮箱：15529206098；学号：30745913 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$