第21章 二次根式 巩固新课单元测试卷-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第21章 二次根式 巩固新课单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各组根式中，同类二次根式为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知实数x，y满足则 的值为（     ） A． B． C． D． 6．若，则化简的结果是（    ） A． B． C．a D． 7．已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 8．如图，在矩形中， ，对角线与相交于点O， ，垂足为E，，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 9．已知，则的值为（　　） A． B． C． D．以上都不对 10．如图1，点为正方形中边的中点．动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为与的函数图象如图2所示，则当点运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．4 C． D．2 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 12．比较大小： 5（填“”“”或“”）． 13．计算 ． 14．已知最简二次根式与可以合并，则 ． 15．已知，则的值为 ． 16．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 17．如图，P为边长为2的正方形的对角线上任一点，过点P作于点E，于点F，连接．当点P运动到中点时，长度为 ． 18．勾股定理的证明方法多样．如图正方形是由小正方形和四个全等的直角三角形无缝密铺组成．延长交以为直径的圆于点I（点l在的上侧），连结．分别以为边向外作正方形．已知的面积为2，正方形的面积为1，则正方形的面积为 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．计算： (1) (2) 20．已知：，，求． 21．如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中空白部分矩形的周长与面积． 22．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点在格点上． (1)在图①中，是面积为2的等腰三角形； (2)在图②中，是面积为的直角三角形； (3)在图③中，是面积为的锐角三角形． 23．观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式；第4个等式；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)试猜想：_______，_______． (2)计算：． 24．在学习二次根式运算时，同学们根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． ………… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出第个等式（为正整数）； (3)【应用规律】计算：． 25．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； (2)的算术平方根为_________________； (3)若，且、、均为正整数，求的值； (4)化简：． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次根式 巩固新课单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A、当时，它不是二次根式，故本选项不符合题意， B、一定是二次根式，故此选项符合题意； C、当时，该式子不是二次根式，故本选项不符合题意； D、，该式子无意义，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．下列属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的定义，被开方数的因数是整数，因式是整式，且不含开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、不是二次根式，不符合题意； 故选：A． 3．下列各组根式中，同类二次根式为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A、与不是同类根式，不符合题意； B、，故和是同类根式，符合题意； C、，，故和不是同类根式，不符合题意； D、与不是同类根式，不符合题意； 故选：B． 4．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．分别根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：A、2与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意， 故选：C． 5．已知实数x，y满足  则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式中被开方数为非负数求得的值是解题的关键．根据二次根式的性质，被开方数数为非负数求得的的值，进而求得的值，代入代数式求解即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴ 故选：A． 6．若，则化简的结果是（    ） A． B． C．a D． 【答案】D 【分析】本题解题思路为：先依据二次根式的性质对进行化简，再结合判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后进行计算．本题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，熟练掌握二次根式和绝对值的性质，根据的取值范围正确去掉绝对值符号是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∴ ． 故选：D 7．已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由是正整数且，得到是完全平方数，即可求出的最小值． 【详解】解：是正整数，， 是完全平方数， 的最小值为5． 故选：B． 8．如图，在矩形中， ，对角线与相交于点O， ，垂足为E，，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，由矩形的性质得出，由已知条件得出，，由线段垂直平分线的性质得出，最后由勾股定理即可求出的长． 【详解】解；∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得： ， 故选：． 9．已知，则的值为（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，由得到，从而得到，进而求得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：C 10．如图1，点为正方形中边的中点．动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为与的函数图象如图2所示，则当点运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键．结合两个图先求出，此时，即可得出答案． 【详解】解：由图可知，当动点P从点A出发运动到点B处时，运动路程为， 则正方形的边长为4， ， 当点P运动到中点时，E为边的中点， ， 此时， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是列出不等式． 先根据二次根式有意义的条件，列出不等式，再解不等式即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，解得：， 故答案为：． 12．比较大小： 5（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握二次根式比较大小的方法是解决问题的关键．由，可得即可得到答案． 【详解】解：， ，即， 故答案为：． 13．计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算，熟练掌握二次根式的乘除法运算法则是解题关键． 先计算二次根式的乘法和化简，再进行有理数的除法运算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．已知最简二次根式与可以合并，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 根据同类二次根式的定义可得到，然后解方程即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并 ∴， 解得：， 故答案为：2． 15．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】解题思路为：利用完全平方公式，对进行变形，再代入已知条件求出的值，最后求其算术平方根．本题主要考查了完全平方公式的变形应用以及算术平方根的计算，熟练掌握“完全平方公式的变形，通过已知条件求出的值”是解题的关键． 【详解】解：由完全平方公式， 变形可得 ． ∵，， ∴ ． ∴， 故答案为： ． 16．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的性质，由数轴可得，即得，再根据绝对值的性质化简即可求解，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，P为边长为2的正方形的对角线上任一点，过点P作于点E，于点F，连接．当点P运动到中点时，长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，连接，由正方形的性质得到，，则；证明四边形是矩形，得到，当点P运动到中点时，此时，则． 【详解】解；如图所示，连接， ∵四边形是正方形，且边长为2， ∴，， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当点P运动到中点时，此时， ∴， 故答案为：． 18．勾股定理的证明方法多样．如图正方形是由小正方形和四个全等的直角三角形无缝密铺组成．延长交以为直径的圆于点I（点l在的上侧），连结．分别以为边向外作正方形．已知的面积为2，正方形的面积为1，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理的应用及全等三角形的判定与性质，过点C作交的延长线于P，由正方形的面积为1得，证明和全等得，，由的面积为2得，则，则，由勾股定理得， ，再根据得，则，依题意得，则，据此可得正方形的面积． 【详解】解：过点C作，交的延长线于P，如图所示： 则， 依题意得：， ∴， ∴， ∵正方形的面积为1， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∵正方形是由小正方形和四个全等的直角三角形无缝密铺组成， ∴， ∴， ∴正方形的面积为：． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的运算法则进行计算即可； （2）结合完全平方公式和平方差公式进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 20．已知：，，求． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 先把所求代数式变形为，再代值计算即可． 【详解】解：当，时， 原式 ． （注：运算过程不唯一，方法合理，运算结果正确即可） 21．如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中空白部分矩形的周长与面积． 【答案】周长：8cm，面积： 【分析】本题考查了矩形的周长与面积的计算以及二次根式的应用，正确求出矩形的长与宽是关键； 先求出空白部分矩形的长与宽，再计算周长与面积即可． 【详解】解：面积为正方形纸片的边长是cm； 面积为的正方形纸片的边长是cm； ∴图中空白部分矩形的长为，宽为cm， ∴图中空白部分矩形的周长是cm，面积是． 22．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点在格点上． (1)在图①中，是面积为2的等腰三角形； (2)在图②中，是面积为的直角三角形； (3)在图③中，是面积为的锐角三角形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理与网格问题，二次根式的运算： （1）根据等腰三角形的定义和三角形的面积公式作图即可； （2）构造一个直角边长为的等腰直角三角形即可； （3）利用分割法，构造一个面积为的锐角三角形即可． 【详解】（1）解：如图，等腰三角形即为所求； 或或 （2）如图，即为所求； 或 对于第一个图：由勾股定理，得：，， ∴， ∴为直角三角形，面积为； 对于第二个图，同理可知，符合题意； （3）如图，即为所求； 由图可知：． 23．观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式；第4个等式；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)试猜想：_______，_______． (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据前面的规律，得，，解答即可． （2）根据规律解答即可． 本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握计算是解题的关键 【详解】（1）解：根据题意，得，， 故答案为：；． （2）解： ． 24．在学习二次根式运算时，同学们根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． ………… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出第个等式（为正整数）； (3)【应用规律】计算：． 【答案】(1)，验证见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知，探索发现变化规律，写出答案，并验证即可； （2）根据发现规律，写出第n个式子即可； （3）根据规律计算即可． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． 验证：. （2）解：∵①； ②； ③． ………… ∴按照上面各等式反映的规律，第个等式（为正整数）为 ． （3）解： ． 25．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； (2)的算术平方根为_________________； (3)若，且、、均为正整数，求的值； (4)化简：． 【答案】(1)； (2) (3)的值为或 (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、； （2）直接利用完全平方公式，变形得出答案； （3）直接利用完全平方公式，变形化简即可； （4）先计算，再利用完全平方公式，变形化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：；； （2）解：∵， 故答案为：； （3）解：∵， ∴，，即， ∵、、均为正整数， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，； ∴的值为或； （4）解：∵ ， ∴． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$