专题1.5 二次函数与一元二次方程、不等式（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题1.5 二次函数与一元二次方程、不等式（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 不含参一元二次不等式的求解】 3 【题型2 含参一元二次不等式的求解】 3 【题型3 由一元二次不等式的解确定参数】 4 【题型4 分式、高次、绝对值不等式的求解】 4 【题型5 一元二次不等式根的分布问题】 5 【题型6 二次函数的单调性、最值及图象问题】 5 【题型7 一元二次不等式恒成立问题】 6 【题型8 一元二次不等式有解问题】 7 【题型9 一元二次不等式的实际应用】 7 1、二次函数与一元二次方程、不等式 考点要求 真题统计 考情分析 (1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式 (2)掌握三个“二次”的关系，会解一元二次不等式 (3)了解分式、高次、绝对值不等式的解法 2023年新高考I卷：第1题，5分 2025年全国二卷：第4题，5分 2025年天津卷：第15题，5分 2025年上海卷：第2题，4分 一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年高考情况来看，解不等式、三个“二次”的关系是常考内容，高考中主要以选择题、填空题的形式呈现，难度不大；此外，“含参不等式恒成立与能成立问题”也是常考的热点内容，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐. 知识点 一元二次不等式 1．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 2．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 3．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【方法技巧与总结】 1．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 2．已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足； 3．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 4．已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足． 【题型1 不含参一元二次不等式的求解】 【例1】（2025·天津·模拟预测）已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式1-1】（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·江西上饶·一模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·河北·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型2 含参一元二次不等式的求解】 【例2】（2025高一上·河北保定·专题练习）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·广东汕头·期末）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【题型3 由一元二次不等式的解确定参数】 【例3】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3-1】（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【变式3-3】（2025·福建南平·二模）关于的实系数二次不等式的解集为，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【题型4 分式、高次、绝对值不等式的求解】 【例4】（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 【变式4-3】（2025·上海崇明·二模）不等式的解为 ． 【题型5 一元二次不等式根的分布问题】 【例5】（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【变式5-2】（24-25高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【题型6 二次函数的单调性、最值及图象问题】 【例6】（24-25高一下·云南迪庆·期末）抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·陕西西安·期末）若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·北京·开学考试）已知二次函数（为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（　　） A． B．1 C．2或 D． 【变式6-3】（2025·陕西汉中·三模）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分.“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大.收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为，篮框中心点为，他可以选择让篮球在运行途中经过，，，四个点中的某一点并命中，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最小的线路是（   ） A． B． C． D． 【题型7 一元二次不等式恒成立问题】 【例7】（2025·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高三上·山西·阶段练习）若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【题型8 一元二次不等式有解问题】 【例8】（24-25高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【变式8-2】（2025·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型9 一元二次不等式的实际应用】 【例9】（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025高二下·湖北·学业考试）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 【变式9-2】（24-25高一上·云南·期末）在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系，其中，一名同学以初速度竖直上拋一排球，排球能够在拋出点以上的位置最多停留（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 一、单选题 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）使不等式成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆·一模）已知，则“的解集为”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山西·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．的图象恒过点 B．的图象必与轴有两个不同的交点 C．的最小值可能为 D．的最小值可能为 8．（2024·北京朝阳·模拟预测）定义区间的长度为，设，若对于任意，不等式的解集所包含区间长度之和恒为3，则k的值为（）． A．1 B． C．2 D．3 二、多选题 9．（24-25高一上·广东广州·期末）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 11．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 三、填空题 12．（2025·上海·三模）不等式的解集为 . 13．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 14．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 16．（2025高一·全国·专题练习）已知、是关于的方程的两个实数根，根据下列条件，分别求出的值： (1)； (2)． 17．（2024·广东中山·模拟预测）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少时，的值最小？ 18．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且的解集为． (1)求和的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 19．（2024·吉林长春·模拟预测）定义区间、、、的长度均为，其中． (1)若关于的不等式的解集区间长度为2，求的值； (2)若且，求关于的不等式的解集区间长度范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 二次函数与一元二次方程、不等式（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 不含参一元二次不等式的求解】 3 【题型2 含参一元二次不等式的求解】 4 【题型3 由一元二次不等式的解确定参数】 6 【题型4 分式、高次、绝对值不等式的求解】 8 【题型5 一元二次不等式根的分布问题】 9 【题型6 二次函数的单调性、最值及图象问题】 10 【题型7 一元二次不等式恒成立问题】 13 【题型8 一元二次不等式有解问题】 15 【题型9 一元二次不等式的实际应用】 16 1、二次函数与一元二次方程、不等式 考点要求 真题统计 考情分析 (1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式 (2)掌握三个“二次”的关系，会解一元二次不等式 (3)了解分式、高次、绝对值不等式的解法 2023年新高考I卷：第1题，5分 2025年全国二卷：第4题，5分 2025年天津卷：第15题，5分 2025年上海卷：第2题，4分 一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年高考情况来看，解不等式、三个“二次”的关系是常考内容，高考中主要以选择题、填空题的形式呈现，难度不大；此外，“含参不等式恒成立与能成立问题”也是常考的热点内容，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐. 知识点 一元二次不等式 1．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 2．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 3．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【方法技巧与总结】 1．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 2．已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足； 3．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 4．已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足． 【题型1 不含参一元二次不等式的求解】 【例1】（2025·天津·模拟预测）已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】分别求得对应命题的范围，根据集合语言和命题语言的关系，即可判断. 【解答过程】由得， 由得， 则是的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1-1】（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用二次不等式的解法求解即可. 【解答过程】因为， 所以，解得， 则不等式的解集为. 故选：B. 【变式1-2】（2025·江西上饶·一模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】解不等式求得集合，由，可得，求解即可. 【解答过程】由，得，解得，所以， ， 由，所以，解得，所以实数的取值范围为. 故选：D. 【变式1-3】（2025·河北·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求解不等式，得到集合，再由“”是“”成立的充分不必要条件， 分析得到，再列出不等式组，求解即可. 【解答过程】由解得，故， 因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以，所以有，解得， 故选：A. 【题型2 含参一元二次不等式的求解】 【例2】（2025高一上·河北保定·专题练习）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，比较的大小，进而结合二次函数的图象写出解集. 【解答过程】当时，，解，得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【解答过程】时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一上·广东汕头·期末）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【解答过程】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A. 【变式2-3】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【解答过程】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C. 【题型3 由一元二次不等式的解确定参数】 【例3】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】首先根据不等式的解集求出的值，可求出的解集. 【解答过程】因为不等式的解集是， 所以是方程的两个根. 所以，解得. 所以不等式化简得. 所以. 故选：B. 【变式3-1】（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分类时，分别得出解析计算求参. 【解答过程】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以； 当时，不等式的解集为，此时不符合题意； 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以． 综上可知，实数的取值范围是． 故选：C． 【变式3-2】（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【解题思路】利用三个二次的关系分析得到，，即可判断AB；对于C，由或可得；对于D，利用前面已得结论，消元后解一元二次不等式即得. 【解答过程】由题意知，和3是方程的两根，且， 则有 ，故得. 对于AB，由和，可推得，故AB均错误； 对于C，因或故，故C正确； 对于D，由上分析，不等式可化为， 因，故可解得，即的解集为，故D错误. 故选：C. 【变式3-3】（2025·福建南平·二模）关于的实系数二次不等式的解集为，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】由已知可得是一元二次方程的根，进而可得，可得，可求的最小值. 【解答过程】因为关于的实系数二次不等式的解集为， 所以是一元二次方程的根， 所以，解得，所以，所以， 所以 当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 故选：C. 【题型4 分式、高次、绝对值不等式的求解】 【例4】（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【解答过程】即为即，故， 故解集为， 故选：C. 【变式4-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先解分式不等式得集合B，再由交集的概念及运算可得结果. 【解答过程】. 由，可得，所以. 所以. 故选：C. 【变式4-2】（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 【解题思路】转化为一元二次不等式，解出即可. 【解答过程】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 【变式4-3】（2025·上海崇明·二模）不等式的解为 ． 【解题思路】结合绝对值不等式的解法，以及区间的定义，即可求解． 【解答过程】解：，即，解得， 故所求解集为． 故答案为：． 【题型5 一元二次不等式根的分布问题】 【例5】（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【解题思路】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【解答过程】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 【变式5-1】（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【解题思路】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【解答过程】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，依题意可得，解得即可. 【解答过程】令，因为方程在区间上有两个不相等的实数解， 所以，即，解得， 所以的取值范围是． 故选：A． 【变式5-3】（24-25高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据实数是不是为零进行分类讨论，结合根的判别式及韦达定理即可得解. 【解答过程】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 当方程有二个负根时，则有， 当方程有一个负根一个正根时，则有， 综上所述：当关于x的方程至少有一个负根时，有， 即关于x的方程至少有一个负根的充要条件是. 故选：D. 【题型6 二次函数的单调性、最值及图象问题】 【例6】（24-25高一下·云南迪庆·期末）抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据图象，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴、 函数值、零点个数逐项判断即可. 【解答过程】抛物线的开口向下， ， 抛物线的对称轴为， ， ， 抛物线与轴相交于正半轴， ， ，故A错误； 抛物线的对称轴为， ， ，故B错误； 由图象可知，当时，函数值小于0，即， 故C正确； 抛物线与轴有两个交点， ， ，故D错误. 故选：C. 【变式6-1】（24-25高一上·陕西西安·期末）若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【解题思路】讨论两种情况，时先求出函数的对称轴，再根据二次函数在区间上不具有单调性，可判断对称轴在区间上，进而得到答案. 【解答过程】时，在上递减，不合题意； 时，函数图象的对称轴为直线， 因为函数在区间上不具有单调性， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一上·北京·开学考试）已知二次函数（为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（　　） A． B．1 C．2或 D． 【解题思路】利用二次函数的性质，先求得抛物线对称轴，分和，两种情况进行分析，求得的值即可． 【解答过程】∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时，抛物线的开口向上， ∵当时，函数在处取得最小值， 又函数值y的最小值为，∴当时，，∴，解得． ②当时，抛物线的开口向下， ∵当时，函数在处取得最小值， 又函数值y的最小值为，∴当时，，∴，解得： 故选：C． 【变式6-3】（2025·陕西汉中·三模）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分.“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大.收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为，篮框中心点为，他可以选择让篮球在运行途中经过，，，四个点中的某一点并命中，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最小的线路是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据游戏规则,分析被“盖帽”的可能性最小的情况下对二次函数的对称轴要求,根据对称轴的位置确定轨迹. 【解答过程】篮球上升阶段越短, 被“盖帽”的可能性最越,则对称轴越靠近轴越好, 设抛物线方程为，当经过时， 列方程组，二次函数解析式为，对称轴为直线， 同理可得经过时，对称轴为直线，经过时，对称轴为直线，经过时，对称轴为直线， 可知经过时篮球处于上升阶段的水平距离最短. 故选：C. 【题型7 一元二次不等式恒成立问题】 【例7】（2025·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解. 【解答过程】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为的解为全体实数， 所以，解得； 综上：. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意分类讨论和，结合二次函数的性质列出不等式即可求解． 【解答过程】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则， 解得， 综上所述，， 故选：D． 【变式7-2】（24-25高三上·山西·阶段练习）若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】问题转化为当时，恒成立，利用二次函数的性质，求出在上的最大值，解不等式求实数的取值范围即可. 【解答过程】因为为假命题，所以为真命题， 即当时，恒成立. 因为函数图象的对称轴为， 所以当时，， 所以，即， 解得或， 即实数的取值范围为. 故选：D. 【变式7-3】（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【解题思路】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【解答过程】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C. 【题型8 一元二次不等式有解问题】 【例8】（24-25高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【解答过程】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 【变式8-1】（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【解题思路】应用一元二次不等式有解求出参数范围结合必要不充分条件定义判断即可. 【解答过程】若关于的不等式有解， 则，得 由“”可以推出“”， 由“”不能推出“”， 所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件 故选：B． 【变式8-2】（2025·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案. 【解答过程】解：因为命题“，”为真命题， 所以，命题“，”为真命题， 所以，时，， 因为，， 所以，当时，，当且仅当时取得等号. 所以，时，，即实数的取值范围是 故选：C. 【变式8-3】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果. 【解答过程】①当时，不等式化为，解得：，符合题意； ②当时，为开口方向向上的二次函数， 只需，即； ③当时，为开口方向向下的二次函数， 则必存在实数，使得成立； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 【题型9 一元二次不等式的实际应用】 【例9】（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设这批削笔器的销售价格定为元/个，利用题意列不等式，结合定义域解不等式即可求解. 【解答过程】设这批削笔器的销售价格定为元/个， 由题意得，即， ∵方程的两个实数根为,， 解集为，又，， 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)， 才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入. 故选：B. 【变式9-1】（2025高二下·湖北·学业考试）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 【解题思路】令，求解，求出排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间. 【解答过程】由题意得：，令， 即，解得， 所以排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为. 故选：A. 【变式9-2】（24-25高一上·云南·期末）在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系，其中，一名同学以初速度竖直上拋一排球，排球能够在拋出点以上的位置最多停留（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得，令，解一元二次不等式即可得结果. 【解答过程】由题意可得：， 令，即，解得， 所以排球能够在拋出点以上的位置最多停留秒. 故选：C. 【变式9-3】（24-25高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 【解题思路】根据题意列出不等式求解. 【解答过程】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为 ． 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以，即，解得． 因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元． 故选：C． 一、单选题 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）使不等式成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】解不等式可得，结合充分条件及必要条件的定义判断结论. 【解答过程】解不等式，可得， 所以不等式成立的一个充分不必要条件必须为的非空真子集， 所以可以排除选项A，B，C， 因为由可推得，由不能推得， 所以使不等式成立的一个充分不必要条件为． 故选：D． 2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解. 【解答过程】因为关于的不等式的解集是， 所以且， 解得，所以的取值范围是. 故选：C. 3．（2025·重庆·一模）已知，则“的解集为”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由不等式的解集为可得，即可求解. 【解答过程】因为不等式的解集为，所以，所以， 所以“的解集为”是“”的充分不必要条件. 故选：. 4．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】按照正负分类讨论取绝对值，运算得解. 【解答过程】当，即或时， 不等式等价于，即， 解得，所以； 当，即时，不等式等价于不等式，即， 解得或，所以. 综上，不等式的解集是. 故选：C. 5．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分类讨论，进行求解即可. 【解答过程】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 6．（2024·山西·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【解答过程】由的解集为，可得，且方程的解为， 所以，则，所以，即，又， 所以，解得，即关于的不等式的解集为. 故选：C. 7．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．的图象恒过点 B．的图象必与轴有两个不同的交点 C．的最小值可能为 D．的最小值可能为 【解题思路】举反例求与判别式可判断AB，求函数的最小值，再判断范围，即可判断CD. 【解答过程】A.当时，， 所以的图象不恒过点，故A错误； B.当时，， 此时的图象必与轴只有1个交点，故B错误； CD.， 则的最小值为， 所以函数的最小值不可能是，可能为，故C错误，D正确. 故选：D. 8．（2024·北京朝阳·模拟预测）定义区间的长度为，设，若对于任意，不等式的解集所包含区间长度之和恒为3，则k的值为（）． A．1 B． C．2 D．3 【解题思路】原不等式等价于，构造函数，结合“三个”二次的关系，得到原不等式的解集，由韦达定理及题意可列出方程求解. 【解答过程】不妨设， 原不等式等价于， 整理得:， 因为，可设方程的两根为, 令, 则的零点为，原不等式即. 因为, 0, 结合二次函数图像，可知：. 则不等式的解集为, 则此解集的区间长度之和为, 因为由韦达定理可得，， 所以此不等式的解集的区间长度之和为, 解得， 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一上·广东广州·期末）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出不等式对一切实数都成立时的取值范围，然后再看各个选项是否在这个取值范围内. 【解答过程】当时，此时不等式变为，这个不等式对于一切实数恒成立. 当时，不等式是一个二次不等式，要使其对一切实数都成立，则二次函数的图象需开口向下，且与轴无交点.开口向下：二次项系数，即. 与轴无交点：判别式.此种情况，解得.   综合两种情况 不等式对一切实数都成立时的取值范围是. 分析各个选项： A选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. B选项：不满足，所以不是不等式成立的充分条件. C选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. D选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. 故选：ACD. 10．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【解题思路】是方程的两根，且，A正确；由韦达定理得到，，从而解不等式得到B错误，D正确，，C错误. 【解答过程】由题意得是方程的两根，且，A正确； 故，即，， 所以，B错误； ，C错误； ， 解得，D正确. 故选：AD. 11．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 【解题思路】对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断. 【解答过程】对于A，或，故A错误； 对于B，，故B错误； 若不等式恒成立， 当时，是不可能成立的， 所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确； 对于D，由题意得是一元二次方程的两根， 从而，解得， 而当时，一元二次不等式满足题意， 所以的值为，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．（2025·上海·三模）不等式的解集为 . 【解题思路】将不等式转化为，且求解. 【解答过程】不等式等价于，且， 解得，所以不等式的解集为， 故答案为：. 13．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【解题思路】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解. 【解答过程】因为“，使”是假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 14．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ． 【解题思路】先将原不等式变形，然后分和两种情况进行讨论，当时直接判断不等式是否恒成立，当时，根据二次函数的性质列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【解答过程】原不等式等价于， 当时，对，不等式恒成立； 当时，则有，解得： 综上所述，实数的取值范围是 故答案为：. 四、解答题 15．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【解题思路】（1）设二次函数为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据二次函数的性质，求得函数的单调区间，进而求得其最值. 【解答过程】（1）解：设二次函数为， 因为，可得，解得， 所以函数的解析式． （2）解：函数，开口向下，对称轴方程为， 即函数在单调递增，在单调递减， 所以，． 16．（2025高一·全国·专题练习）已知、是关于的方程的两个实数根，根据下列条件，分别求出的值： (1)； (2)． 【解题思路】（1）根据判别式结合韦达定理可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值； （2）分析可知，原方程有两个相等的正根，结合判别式与韦达定理可求得实数的值. 【解答过程】（1）因为，由题意可得，解得. （2）由题意可知，解得， 由韦达定理可得，所以、的符号相同，且均不为零， 由，则，故，故，则， 此时方程由两个不等的正根， 故，解得. 17．（2024·广东中山·模拟预测）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少时，的值最小？ 【解题思路】（1）由题意得，解不等式即可得解. （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【解答过程】（1）由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. （2）， 当且仅当即时等号成立， 所以设备占地面积为时，的值最小. 18．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且的解集为． (1)求和的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据绝对值不等式的性质即可求解， （2）将问题转化为在上恒成立，即可利用二次函数零点分布求解. 【解答过程】（1）由得， 易知，则，解得， 由于的解集为，则，解得． （2）由（1）知，由得， 得在上恒成立， ，故． 令，若在上恒成立， 则，即，解得或， 故实数的取值范围为． 19．（2024·吉林长春·模拟预测）定义区间、、、的长度均为，其中． (1)若关于的不等式的解集区间长度为2，求的值； (2)若且，求关于的不等式的解集区间长度范围． 【解题思路】（1）设出不等式的解集区间，借助韦达定理及区间长度列式计算即得. （2）由给定条件，可得及，再求出不等式的解集区间即可. 【解答过程】（1）依题意，设不等式的解集区间为， 则是方程的两个不等实根，且，， 即有，由，得， 解得，满足题意， 所以的值是． （2）由且，得， 由及，得，则， 不等式化为，即，解得， 所以其解集区间长度为，范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$