专题二 行程问题-2025年小升初数学必刷易错题800题

小升初数学必刷易错题800题 专题二 行程问题 易错点I 相遇问题 解题方法/技巧梳理 警（提）示梳理 相遇问题中求路程：速度和×相遇时间=路程和，特别需注意， 速度变化后，时间也变化，但总路程是不变的。 1.等量关系：甲的路程+乙的路程=两地的距离。 2.解决“相距多少”问题 找不准速度和与路 (1)在相遇之前相距，所需时长=（两地距离-相距距离）÷速程和。 度和； (2)在相遇之后相距，所需时长=（两地距离+相距距离）÷速 度和。 例题解读 -白☆☆ 例：(2024陕西TYZ)甲、乙两列火车从相距 【答案】解：情况一：相遇之前相距200km时， 1500km的两站同时相向开出，甲车的平均速 两车共同行驶距离：1500-200=1300(km), 度是100km/h,乙车的平均速度是150km/h, 两车速度和：100+150=250(km/h),需要时 问多少小时后两车相距200km? 间：1300÷250=5.2(h):情况二：相遇之后相 【重点提示】本题的关键点在于两车相距 距200km时，两车共同行驶距离：1500+200 200km的情况有可能出现在相遇前，也有可能 =1700(km),两车速度和：100+150=250 出现在相遇后，所以要分两种情况进行讨论。 (km/小h),所需时间：1700÷250=6.8(h)。 (画图分析如下) 答：相遇前，5.2小时后两车相距200km:相遇 200km 后，6.8小时后两车相距200km。 1500km 200km 甲 1500km 107 第四部分解决问题与综合实践 突破速练 -…☆☆☆ 基础闯关， 开出2小时后，乙车才从B地开出，再过2 小时两车会相遇吗？请通过计算说明理由。 1.(2024湖南长沙)甲、乙两人同时从相距 480米的两地相对而行，6分钟相遇，甲每分 钟走35米，乙每分钟走()米。 2.(2024湖南怀化)一座桥长720米，小华和 小明同时从桥的一端出发，向桥的另一端 5.一列轿车和一列货车同时从甲地和乙地相 走去，到达桥的另一端就立即返回，经过10 对开出，4小时后相遇。相遇点距甲乙两地 分钟两人在桥上相遇。小华每分钟行68 的中点的距离占全程的。已知轿车每小 米，小明每分钟行多少米？ 时比货车多行70千米，求甲乙两地之间的 距离。 3.(2024天津北辰)两地相距630千米，甲、乙 两列火车同时从两地相对开出，甲车每小6.(2023陕西BH学校)两名运动员在长为30 时行120千米，乙车的速度是甲车的75%。 米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒 经过几小时两车相遇？ 游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同 时分别从泳池的两端出发，来回共游了10 分钟，如果不计转身时间，那么这段时间内 共相遇多少次？ ⑧拔高训练。 4.A,B两地相距360km,甲车行完全程要6小 时，乙车行完全程要4小时。甲车先从A地 108 小升初数学必刷易错题800题 © 生活趣味 回头以同样的速度飞向火车A,遇到火车A 后，又回头飞向火车B,速度始终保持不变， 7.《九章算术》中记载了一道有趣的数学题： 如此下去，直到两列火车相遇时才停止。 今有凫（注：凫是一种水鸟）起南海，七日至 假设蜜蜂回头转身的时间忽略不计，那么， 北海：雁起北海，九日至南海。今凫、雁俱 这只蜜蜂一共飞了( )千米的路。请把 起（注释：同时起飞），( )日相遇。 答案写在括号内，并在下面写出你的思考 A后B9c8 D.o 过程。 思考过程： 8.在一次宴会上，一位客人给著名的数学大 师“计算机之父”冯·诺伊曼先生出了一个 蜜蜂问题：两列火车相距100千米，在同 轨道上相向行驶，速度都是50千米/小时。 火车A的前端有一只蜜蜂以100千米/小时 的速度飞向火车B,遇到火车B以后，立即 易错点2 追及问题 解题方法/技巧梳理 警（提）示梳理 1.常用公式 追及时间=路程差÷速度差路程差=速度差×追及时间 速度差=路程差÷追及时间 2.等量关系 (1)同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程； (2)同时不同地：前者走的路程+两者相距距离=追者走 找不准速度差和路 的路程。 程差。 3.解决“相距多少”问题 (1)在追上之前相距，所需时长=（追及路程-相距距离）÷速 度差； (2)在追上之后相距，所需时长=（追及路程+相距距离）÷速 度差。 10g 第四部分解决问题与综合实践 例题解读 -…☆☆☆ 例：小强和小东放学后各自回家背向而行，走 小堡小东 3分钟所走路程 了3分钟后，小强突然想起来有本书落在小东 学校 3分钟后小强所走路程 那里，于是掉头去追，小强每分钟走70米，小 3分钟后小东所走略程、 路程差 东每分钟走60米，追上小东时，小强共走了多 【答案】解：3分钟时小强和小东相距： 长时间？ (70+60)×3=390(米)， 【重点提示】本题中走了3分钟后是一个追及 追及时间为390÷(70-60)=39（分钟）， 问题，两人的路程差就是小强和小东3分钟走 小强共走的时间为3+39=42（分钟）。 过的路程和，根据追及时间=路程差÷速度差 答：追上小东时，小强共走了42分钟。 即可求解。（画图分析如下） 突破速练 -…☆☆☆ A基础闯关 B 拔高训练。 1.(2024四川绵阳)甲行走的速度相当于乙的 4.(2024江苏南京)老鼠每次跳3格，猫每次 倍，两人分别以A,B两地同时出发，如果 跳4格（见下图），起跳时，猫在0格处，老 相向而行1小时相遇，那么同向而行（乙在 鼠在4格处。猫在( )格处追到老鼠。 前，甲在后)，()小时甲追上乙 2.(2024重庆)学生甲在一列队伍的排尾以每 0289101234456 小时6千米的速度赶到队伍排头后，又以同 5.(2024湖南CSWGYSY)兄妹两人同时从家 样的速度返回队尾，一共用了3小时，若队 出发去1080米远的学校，哥哥每分钟骑行 伍进行的速度为每小时4千米，则队伍长为 200米，妹妹每分钟步行50米。哥哥到校 ()千米。 3.(2024陕西BH学校)警察发现前方30米 门口时，发现忘带课本，立即按原路返回 处有一逃跑的小偷，便奋起直追。警察1步 (取课本时间忽略不计)，哥哥骑车再次从 跑1.4米，小偷1步跑1米，警察跑4步的 家出发，追上妹妹时距学校( )。 时间内小偷刚好跑5步。那么警察追上小 A.360米 B.500米 偷时，警察跑了 米 C.720米 D.1080米 110 小升初数学必刷易错题800题 6.(2023陕西JDZ)邮政投递站C位于A村 塌糊涂的兔子骄傲地对乌龟说：“今天我让 与B村之间(A,B,C在同一直线上)。投递 你先爬40分钟，你每分钟也就爬6米，我2 员甲去A村送信，出发8分钟后，投递员乙 分钟保证能追上你。”如果这次兔子不睡 去B村送另一封信。乙出发8分钟后，站 觉，那么它至少每分钟要跑( )米才能 长发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是 实现它说的话。 站长从投递站出发骑车去追赶甲和乙，以8.“今有善行者行一百步，不善行者行六十 便把信调过来。已知甲和乙的速度相等， 步。”（出自《九章算术》）意思是：同样时间 站长的速度是甲、乙速度的3倍，在不耽误 段内，走路快的人能走100步，走路慢的人 甲、乙送信的情况下，站长从出发到把信调 只能走60步，假定不善行者步长是善行者 过来后返回投递站至少要用多少时间？ 步长的1.5倍，据此回答以下问题：今不善 行者先行两百步，善行者追之，问几何步及 之？即：走路慢的人先走200步，请问走路 快的人走多少步才能追上走路慢的人？ ©生活趣味 7.听说过“龟兔赛跑”的故事吗？有一天乌龟 和兔子这对冤家又碰到一起，曾经输得一 易错点3 流水行船 解题方法/技巧梳理 警（提）示梳理 1.常用公式 (1)摄=格+水； (2)V进=U格-D水； (3)P=指-米=r是+r水=""兰； 理清顺水速度和逆 2 水速度。 (4)V水=U顺-D新=卫帮一速= 概一 2 注意：若有漂浮物，则”水=卫漂浮物 2.其他类型：流水行船问题的解题方法同样适用于风中行驶问题。 10 第四部分解决问题与综合实践 例题解读 -…☆☆☆ 例：一艘船在河里航行，顺流而下每小时行16度，最后利用常用公式即可。 千米。已知这艘船下行3小时恰好与上行4 【答案】逆水速度：16×3÷4=12（千米/时）， 小时所行的路程相等，求静水船速和水速？ 则船速：(12+16)÷2=28÷2=14（千米/时）， 【重点提示】解答此题的关键点是根据船顺水 水速：(16-12)÷2=2（千米/时）。 的速度和时间得出路程，从而得到船逆水的速答：船速为14千米/时，水速为2千米/时。 突破速练 ☆☆☆ 处不小心将一只水壶掉入水中，船又前行 A 基础闯关。 了15分钟后他才发现，立即返回寻找，结果 1.(2023黑龙江绥化开学考试)一艘轮船顺流 在离A处3千米的地方找到水壶。返回寻 航行，每小时行20km;逆流航行，每小时行 找水壶一共用了( )分钟 16km,则轮船在静水中的速度为 5.(2024陕西GXYZ)一条船往返于甲、乙两 km/h,水流速度为 km/ho 地之间，船在静水中的速度为9千米/时，平 2.(2024重庆某CDQZCZXX入学)一艘轮船 时逆行与顺行所用的时间比为2：1，一天因 顺流航行120km,逆流航行80km共用了16 为下暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船 小时：顺流航行60km,逆流航行120km也用 往返共用了10小时，则甲、乙两地相距 了16小时。水流速度是( )千米/时。 千米。 3.(2023河南☑☑58Z)一条船顺流行60千米6.(2023陕西SDFZ)一小船由A港到B港顺 用4小时，逆流行40千米需4小时，则水流 流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小 速度为 千米/时 时。一天，小船从早晨6点钟由A港出发顺 拔高训练。 流行至B港时，发现一救生圈在途中掉落 B 在水中，立刻返回，1小时后找到救生 4.(2023四川成都)某人乘船逆流而上，在A圈，问： 112 小升初数学必刷易错题800题 (1)若小船按水流速度由A港漂流到B港 © 生活趣味 时需多少小时？ 7.一只小船运木料，逆流而上，在途中掉下一 块木头在水中，2分钟后，小船掉头追木头， (不算掉头时间)再经过多少分钟，船可以 追上木头？ (2)救生圈是何时掉人水中的？ 8.一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒 钟，在同样的风速下，逆风跑70米，也用了 10秒钟。问：在无风的时候，他跑120米要 用多少秒？ 易错点4 间隔发车 解题方法/技巧梳理 警（提）示梳理 解决发车间隔问题：可将两车之间的发车间隔看作 1,同向时，发车间隔=（汽车速 单位“1”。 度-行人速度)×追及时间 1.车从后面超过，相当于追及问题，追及距离为1，追及时 间隔。 间已知，从而可以求出速度差： 2.反向时，发车间隔=（汽车速 2.迎面遇到，相当于相遇问题，相遇距离为1，相遇时间已 度+行人速度）×相遇时间 知，从而可以求出速度和； 间隔。 3.再利用和差公式可求出汽车的速度或者人的速度，从而 3,发车间隔=汽车速度×汽车 求出发车时间间隔。 发车时间间隔。 113 第四部分解决问题与综合实践 例题解读 ☆☆☆ 例：(2023陕西XA3Z)小强在环城公路上匀速 【答案】解：设发车间隔为单位“1”，人与车的 行走，每隔4分钟就有一辆公共汽车迎面向后 速度和为1÷4=子，人与车的速度差为1÷12 开去，每隔12分钟就有一辆同一线路的公共 汽车从背后向前开过，求公交站每隔几分钟发 =立车的速度为（好+》÷2=石，发车间隔 一趟车？ 【重点提示】本题关键点为将汽车间隔设为单 时间为1÷右 =6(分钟)。 位“1”，结合相遇与追及问题，将间隔时间转 答：公交站每隔6分钟发一趟车。 化为速度和与速度差，再由和差公式求出车的 速度，即可求出发车间隔时间。 突破速练 -☆☆☆ A基础闯关 3.公交总公司是1路和2路公交车的起始站。 早上6时整1路车开始发车，以后每隔20 1.小刚从甲地乘1路电车到乙地参观，乙地每 分钟发一辆车：6时15分2路车开始发车， 隔2分钟发一辆1路电车。假设所有1路 以后每隔15分钟发一辆车。这两路车第一 电车的速度相等，全程要30分钟。如果小 次同时发车的时间是 时。 刚从1路起点出发时，迎面刚好有车进站， ®拔高训练。 那么小刚一路上可遇见 辆1 路电车。 4.公交车从甲站到乙站每间隔5分钟开出一 2.(2023四川成都)一路电车的起点站和终点 辆，全程走15分钟，某人骑自行车从乙站往 站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电 甲站，开始时恰好遇见一辆公交车，骑行过 车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟。 程中又遇见12辆，到甲站时又遇见一辆公 有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往 交车刚要出发，则这人从乙站到甲站骑行 甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达 的时间是( 乙站，在路上他又遇到了10辆迎面开来的 A.35分钟 B.40分钟 电车才到达甲站，这时候恰好又有一辆电 C.45分钟 D.50分钟 车从甲站开出，他从乙站到甲站用了5.(2023河南ZZJYSY)一条公路上，有一个骑 ( )分钟。 车人和一个步行人，骑车人速度是步行人 114 小升初数学必刷易错题800题 速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超 那么他要等几分钟才能乘上下一班车？ 过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超 过骑车人。若公共汽车始发站发车的时间 间隔保持不变，则间隔 分钟发一辆 公共汽车。 6.(2023重庆BSZX)电车发车站每隔固定的8.江边的旅游码头，原计划每8分钟发出1条 时间发出一辆电车，小王骑自行车每隔14 船，每条船在江上航行80分钟，回到码头 分钟就被一辆后面开来的电车追上。如果 时，恰好遇到按时发出的另一条船，按此计 小王车速提高20%，则每隔15分钟就被一 划，该码头现有的a条船恰好够用。此时， 辆后面开来的电车追上，那么相邻两辆电 若又有2条新船投入使用，那么，发船的时 车的发车时间相差 分钟。 间间隔可比原计划减少几分钟？ ©生活趣味 7.汽车每隔15分钟开出一班，哥哥想乘9时 10分的一班车，但到站时，已是9时20分， 易错点5 火车过桥 解题方法/技巧梳理 警（提）示梳理 1.火车过桥（隧道）：火车行驶的路程（总路程）=火车车长+桥 (隧道)长度=火车速度×通过时间。 2.火车+树（电线杆）：火车车长（总路程）=火车速度×通过时间。 3.火车+人：(1)火车+迎面行走的人（相当于相遇问题）：火车 车长（总路程）=（火车速度+人的速度）×迎面通过时间； (2)火车+同向行走的人（相当于追及问题）：火车车长（总路 分不清桥长和火车 程)=（火车速度一人的速度）×追及的时间。 过桥行驶的路程。 4.人看对面车：慢车上的人看快车从窗口经过时，相遇距离是快车的 车长：快车上的人看慢车经过窗口时，相遇距离是慢车的车长。 5.火车+火车： (1)齐头并进：快车车长=齐头超越时间×速度差： (2)齐尾并进：慢车车长=齐尾超越时间×速度差。 015 第四部分解决问题与综合实践 例题解读 -…☆☆☆ 例：(2023陕西GXYZ)现有一列从西安到汉【答案】解：两个轨道之差为1400-600=800 中的动车，途中要经过两段新铺设的轨道，经 (米)=0.8（千米），动车行驶轨道长度之差所 过第一段长1400米的轨道用时36秒，如果以 用时间为36-18=18（秒）=0.005（小时），则 同样的速度通过第二段长600米的轨道则用 动车的速度为0.8÷0.005=160（千米/时），36 时18秒。求这列动车每小时前进多少千米？ 秒=0.01小时，1400米=1.4千米，动车的长 动车的车身长度是多少米？ 度为0.01×160-1.4=0.2（千米）=200（米）. 【重点提示】本题可根据动车通过不同长度的 答：这列动车的速度为160千米/时，动车的车 轨道所用的时间求出动车的速度，在计算过程 身长度是200米。 中注意动车行驶的路程是轨道长度与动车车 身长度之和。（画图分析如下） 1400米 600米 突破速练 …☆☆☆ 3.方方以每分钟60米的速度沿铁路边步行， A基础闯关 一列长252米的货车从对面而来，从他身边 1.一列火车以同一速度驶过两个隧道，第一 通过用了12秒钟，求列车的速度。 个隧道长400米，用了25秒：第二个隧道长 510米，用了30秒。这列火车每秒行驶 ()米，火车长()米 2.甲乙二人在铁道旁的小路上相背而行，速 度都是每秒行1米。一列火车匀速向甲迎 面驶来，列车在甲身边开过用了10秒钟，而 后在乙身边通过用了12秒钟。这列火车车 长是()米。 116参考答案 情况出现一次且有60个月份+60个日8.100【解析】100÷(50+50)=100÷100 期。若无人同生日，月份至少为1+2+… =1(小时) +12>60.而1+2+3+…+10<60.11， 1×100=100(千米】 12,13,14,15均为同月出现的回答，但此 这只蜜蜂一共飞了100千米的路。 时11+12+13+14+15>60，月份依然超 易错点2 过了最高限制，因此矛盾，不可能无人同一 1.52.53.2804.165.A 天生日。 6.【解析】设Tp=vz=100米/分，D长=100 答：该班至少有2个同学生日相同。 ×3=300(米/分) 专题二行程问题 ①站长追乙再返回投递站100×8÷(300 易错点1 -100)=800÷200=4(分钟)，4×2=8 1.45 (分钟) 2.720×2÷10-68=76(米) ②2站长追甲再返回投递站100×(8+8+ 答：小明每分钟行76米。 8)÷(300-100)=12(分钟)，12×2=24 3.乙车的速度：120×75%=90（千米/时） (分钟) 相遇时间：630÷(120+90)=630÷210= ③站长追乙再返回投递站100×(8+8+ 3(小时)》 24)÷(300-100)=20(分钟).20×2=40 答：经过3小时两车相遇。 (分钟) 40-x2)+(合+宁=1（时. 总用时：8+24+40=72（分钟） 至少用72分钟。 1子时<2时。 7.126 8.200×1.5÷(1×100-1.5×60)×100= 答：会相遇。 3000(步)】 54×70÷(g×2)=280÷号=1260（千米） 答：走路快的人走3000步才能追上走路慢 的人。 答：甲乙两地之间的距离是1260千米。 易错点3 6.20【解析】甲游30米需耍30÷1=30 1.1822.2.53.2.54.155.25 (秒)，乙游30米需要30÷0.6=50（秒）， 6.解：(1)设小船在静水中的速度为a,水流 经过150秒，甲、乙两人同时游到两端，每 的速度为b,由题意得，6(a+b)=8(a- 隔150秒他们相遇的情况重复出现，经过 b),解得a=7b,则小船从A港漂流到B港 150秒，甲游了5个30米，乙游了3个30 米，共相遇了5次，以150秒为一个周期， 所需的时间为(a+b)=6(7b+b)=48 10分钟是600秒，600÷150=4，有4个 (小时)。 150秒，所以在10分钟内相遇的次数是：5 答：若小船按水流速度由A港漂流到B港 ×4=20(次). 时需48小时。 7.D (2)设小船行驶x小时后救生圈掉入水 19 小升初数学必刷易错题800题 中，由题意得， (6-x+1)b+(a-b)×1= 设火车的速度为x米/秒，则火车的车身长 (6-x)(a+b)， ，将a=7b代入上式，解得x 度为 22(x-1) 或 26(x-3)， ，由题意得，22 =5，则救生圈掉入水中的时间为6+5= (x-1)=26(x-3)， ，解得x=14，所以火 11点。 车的车身总长是(14-1)x22=286(米)。 答：救生圈是上午11点掉入水中的。 答：这列火车的车身总长为286米。 7.2分钟后船和木头之间的距离是： 7.4.9 2x(船速-水速)+2x水速 =2× 船速 8.货车总长为：(15.8×30+1.2×30+10) 小船追木头的时间： ÷1000=0.52 (千米) 2x船速+(船速+水速-水速)=2(分钟) 火车行进的距离为：60×18+3600=0.3 答：再经过2分钟，船可以追上木头。 (千米) 8.顺风速度：90÷10=9(米) 货车行进的距离为：0 .52-0.3 = =0. 22(千米) 逆风速度：70+10=7(米) 货车的速度为：0.22+(18 8÷3600=0 44 风速：(9-7)÷2=1(米 (千米/时) 120÷(9-1)=15(秒) 答：货车行驶的速度是44千米/时。 易错点4 专题三工程问题 1.16 2.40 3.7 易错点1 4.D 【解析】[12-(15+5-1)]×5=50 1.7.5 2.C 3.12 4.26 (分钟) 5.解：把工作总量看作单位“1”，甲的工效： 5.5 6.10.5 7.5 $$1 \div 1 0 = \frac { 1 } { 1 0 } ，$$ ，乙的工效： $$： 1 \div 2 0 = \frac { 1 } { 2 0 }$$ ，丙的工 $$8 . \frac { 4 } { 3 } a = 8 0 \div 8 = 1 0 ， a + 2 = 1 2 ， 8 0 \div 1 2 =$$ $$： 1 \div 1 5 = \frac { 1 } { 1 5 }$$ ，甲的工作量 $$： 1 - \left( \frac { 1 } { 2 0 } + \frac { 1 } { 1 5 } \right)$$ $$6 \frac { 2 } { 3 } ， 8 - 6 \frac { 2 } { 3 } = \frac { 4 } { 3 }$$ (分钟) 易错点 5 $$\times 6 = \frac { 3 } { 1 0 } ，$$ ，甲工作的天数； $$： \frac { 3 } { 1 0 } \div \frac { 1 } { 1 0 } = 3$$ (天) 1.22 150 2.120 答：甲队实际工作了3天。 3.252÷12-60÷60=21-1=20 (米 秒) 6.解：设工作总量为单位“1”，则甲的工作效 答：列车的速度是每秒20米。 率为 $$\frac { 1 } { 2 0 } ，$$ ，将甲体息3天，共用18天完成任 4.8 务，转化为甲实际干了 18-3=15 (天)。 5.解：设这列火车的速度为x米/秒，则火车 长为 15x+1×15=(15x+15) 米，根据题 实际干的工作量为 $$1 - \frac { 1 } { 2 0 } \times 1 5 = \frac { 1 } { 4 } ，$$ 意得， ，17x-17×1=15x+15， ，解得 x=16， 所以火车长为 15×16+15=255 (米)。 实际干的天数为 $$\frac { 1 } { 4 } \div \frac { 1 } { 3 2 } = 8$$ (天)，所以乙 答：这列火车有255米。 休息了 18-8=10 (天)。 6.解：行人的速度为3.6千米/时=1米/秒， 答：乙休息了10天。 骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒，7.12 20