1.1菱形的性质与判定第2课时（教学课件）数学北师大版九年级上册

北师大版·九年级上册 1.1 菱形的性质与判定 第2课时 第一章 特殊平行四边形 学 习 目 标 1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理;（重点） 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. （难点） 问题2:菱形作为特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的一般性质外，还有哪些独特性质？ 知识回顾 问题1:菱形的定义是什么？ 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形（2条对称轴）. 性质定理1：菱形的四条边都相等. 性质定理2：菱形的对角线互相垂直. 每条对角线平分一组对角. 菱形经常用于生活中，例如建筑、窗户、地板砖等.工匠制作菱形窗花时，如何在没有定义的情况下，通过测量或折叠的方法确保图形是菱形？” 情境引入 例如：测量四条边是否相等； 测量对角线是否互相垂直平分； 先制作平行四边形框架，再调整对角线是否垂直。 这些生活中的操作方法，背后蕴含着怎样的数学原理？这就是我们今天要学习的菱形的判定。 新知探究 探究：菱形的判定 根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形?先想一想，再与同伴交流。 AB=AD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形. 几何语言： A B C D 定义法. 新知探究 小组活动：我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？ 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 你能证明这一猜想吗？ 新知探究 验证猜想： 已知:如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD. 求证:□ABCD是菱形. 证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC. 又∵ AC⊥BD， ∴ 直线BD是线段AC的垂直平分线， ∴ BA＝BC， ∴ 四边形ABCD是菱形(菱形的定义). 新知探究 菱形的判定定理1： 知识归纳 几何语言：∵在□ABCD中，AC⊥BD, ∴ □ABCD是菱形. AC⊥BD A B C D 菱形ABCD A B C D □ABCD 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 新知探究 1.下列结论正确的是（ ） A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.对角线垂直且平分的四边形是菱形 C.对角线互相平分的平行四边形是菱形 D.对角线垂直且相等的四边形是菱形 B 已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？ 议一议 A C 新知探究 你是怎么做的？你认为小刚的作法正确吗？与同伴进行交流. B D 如图，分别以 A，C为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形 ABCD看上去是菱形. A B C D 已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 新知探究 转化成几何语言 思考：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？ 猜想：四条边相等的四边形是菱形. 证明：∵AB=BC=CD=AD， ∴AB=CD , BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形. 验证猜想： 新知探究 菱形的判定定理2： 知识归纳 四条边都相等的四边形是菱形. 几何语言：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形. AB=BC=CD=AD A B C D 菱形ABCD 四边形ABCD A B C D 2.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是 （ 　） A. AC⊥BD,AC与BD互相平分 B. AB=BC=CD=DA C. AB=BC,AD=CD,AC ⊥BD D. AB=CD,AD=BC,AC ⊥BD A B C O D 新知探究 C 做一做 你能用折纸的办法得到一个菱形吗？动手试一试. 新知探究 你能说说小颖这样做的道理吗？ 先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形. 新知探究 展开 A B C D O 依据菱形的判定定理：菱形的判定定理之一是四条边相等的四边形是菱形。小颖通过折纸和裁剪得到的图形四条边相等，满足菱形的判定条件，所以这个图形是菱形。 已知，如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=，OA=2，OB=1. 求证：□ABCD是菱形. 例1 A B C D O 典例分析 证明：在△AOB中， ∵AB=，OA=2，OB=1， ∴AB2=OA2+OB2， ∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角. ∴AC⊥BD. ∴□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. 如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，求证：四边形AFCE是菱形.  A E D B F C O 例2 典例分析 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AE∥FC， ∴ ∠EAC＝∠FCA. ∵ EF垂直平分AC， ∴ AO＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°， ∴ △AOE ≌△COF（ASA）， ∴ EO＝FO， ∴ 四边形AFCE是平行四边形. 又∵ EF⊥AC， ∴ 四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. 巩固练习 基础巩固题 1.下列命题中正确的是(　  ) A.对角线相等的四边形是菱形     B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的平行四边形是菱形   D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 2.如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，连接EG与FH交点于O，则图中的菱形共有（     ） A.4个          B.5个          C.6个          D.7个 D B 巩固练习 基础巩固题 3.如图，下列条件能使□ABCD是菱形的是(　  ) ①AC⊥BD；②∠BAD＝90°； ③AB＝BC；④BD平分∠ABC. A.①③　　   B.②③　   　C.③④   　　D.①③④ 4.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中点分别为点D，F，E，则四边形AFDE是(　 　) A.菱形       B.长方形     C.正方形     D.以上都不对 D A 巩固练习 基础巩固题 5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF. （1）求证：AF＝DB； （2）求证：四边形ADCF是菱形. 证明：（1）∵ AF∥BC， ∴ ∠AFE＝∠DBE. ∵ △ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点， ∴ AE＝DE，BD＝CD. 在△AFE和△DBE中， ∠AFE＝∠DBE, ∠FEA＝∠BED,AE＝DE， ∴ △AFE≌△DBE, ∴ AF＝BD. 巩固练习 基础巩固题 （2）由（1）知，AF＝BD, ∵ BD＝CD, ∴ AF＝CD. ∵ AF∥BC， ∴ 四边形ADCF是平行四边形. ∵ ∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴ AD＝DC， ∴ 四边形ADCF是菱形. 6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG是菱形. 巩固练习 基础巩固题 证明：∵CE平分∠ACB，EA⊥CA，EF⊥BC， ∴AE=FE， ∵∠ACE=∠ECF， ∴△AEC≌△FEC， ∴AC=FC. ∵CG=CG， ∴△ACG≌△FCG， ∴∠CAG =∠CFG =∠B， ∴GF∥AE. ∵AD⊥BC，EF⊥BC， ∴∠ADF=∠EFB=90° ∴AG∥EF， ∴四边形AGFE是平行四边形 又∵AG=GF（或AE=EF）， ∴平行四边形AGFE是菱形 （一组邻边相等的平行四边形是菱形）. 课堂小结 菱形的性质与判定2 菱形的判定 方法:定义法 有一组邻边相等的平行四边形叫菱形. 判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 判定定理 判定定理2：四边相等的四边形是菱形. 作业布置 1.必做题：习题1.2第1-2题。 2.探究性作业：习题1.2第3题。 感谢聆听! $$