精品解析：云南省上海新纪元实验学校2024-2025学年高一下学期6月云贵统一考试数学试题

上海新纪元2025年6月云贵统一考试试题 数学（高一） 本试题共4页，19小题，满分150分．考试时间：120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动．用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题、每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知样本数据1，3，5，7，9，11，13，15，则该组数据的中位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 若，，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. 或0 D. 或1 3. 设，若与的虚部相等，则（ ） A B. C. D. 4. 若圆锥轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点A(-1，-5)，向量=(-1，0)，=(1，-1)，当=+时，点B的坐标为（ ） A. (2，6) B. (-1，-6) C. (0，-1) D. (-4，5) 6. 如图，为测量河对岸建筑物AB高度，选取与建筑物底部点A在同一水平面上的C，D两点，测得，，，，则建筑物的高度为（ ） A B. C. 20 D. 10 7. 已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若α∥β，mα，nβ，则m∥n B. 若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β C. 若aα，bβ，a∥b，则α∥β D. m、n是两异面直线，若m∥α，m∥β，且n∥α，n∥β，则α∥β 8. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 平面平面 C. 和与平面所成的角相等 D. 异面直线与所成的角和异面直线与所成的角相等 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选顶中，有多项是符合题目要求的全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两个单位向量，的夹角为，则下列向量中，与向量的模相等的向量为( ). A. B. C. D. 10. 给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有（ ） A. 从折线图能看出世界人口的变化情况 B. 2050年非洲人口将达到大约13亿 C. 2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 D. 从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢 11. 正方体的棱长为2，､､分别为､､的中点.则（ ） A 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 四面体与四面体的公共部分的体积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知球的表面积为，则它的体积为__________. 13. 某校有高一学生人，高二学生人. 为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为的样本，已知从高一学生中抽取人，则________． 14. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，后画出如图的频率分布直方图. 观察图形的信息，回答下列问题： （1）估计这次考试成绩的众数； （2）估计这次考试成绩的及格率（分及以上及格）. 16. 已知向量与的夹角，且，． （1）在上的投影向量； （2）求向量与夹角的余弦值． 17. 某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题： 用户用水量频数直方图 用户用水量扇形统计图 （1）此次抽样调查的样本容量是________； （2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数； （3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格． 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，平面ABCD，，点E，F分别是PD，BC的中点． （1）在线段PC上确定一点G，使平面平面PAB，并给出证明； （2）求二面角的正弦值． 19. 已知向量，函数． （1）当时，求的最小值； （2）是否存在实数m，使不等式对任意的恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 友情提示：①；②． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海新纪元2025年6月云贵统一考试试题 数学（高一） 本试题共4页，19小题，满分150分．考试时间：120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动．用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题、每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知样本数据1，3，5，7，9，11，13，15，则该组数据的中位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用中位数的定义直接求得结果. 【详解】样本数据1，3，5，7，9，11，13，15的中位数是. 故选：C 2. 若，，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. 或0 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算计算求解. 【详解】因为，，且， 则 则. 故选：A. 3. 设，若与的虚部相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得出的值后计算 【详解】依题意可得，则． 故选：D 4. 若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再套公式求解. 【详解】根据题意作图， 设圆锥的底面圆半径为，高为 ，母线长为 . 若圆锥的轴截面为等腰直角三角形， 则有，. 该圆锥的底面积与侧面积比值为. 故选：C. 5. 已知点A(-1，-5)，向量=(-1，0)，=(1，-1)，当=+时，点B的坐标为（ ） A. (2，6) B. (-1，-6) C. (0，-1) D. (-4，5) 【答案】B 【解析】 【分析】设出点B的坐标，表达出，求出，建立方程组，求出点B的坐标. 【详解】∵，， ∴. 设点B的坐标为(x，y)，则=(x+1，y+5)， ∴由已知得(x+1，y+5)=(0，-1)， ∴解得 ∴点B的坐标为(-1，-6). 故选：B 6. 如图，为测量河对岸建筑物AB的高度，选取与建筑物底部点A在同一水平面上的C，D两点，测得，，，，则建筑物的高度为（ ） A. B. C. 20 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据直角三角形边角关系可得，，根据余弦定理列方程可得的值，从而可得建筑物的高度. 【详解】设，因为，，则，， 在中，由余弦定理知， 即，整理得， 解得或（舍），所以建筑物的高度为. 故选：D. 7. 已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若α∥β，mα，nβ，则m∥n B. 若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β C. 若aα，bβ，a∥b，则α∥β D. m、n是两异面直线，若m∥α，m∥β，且n∥α，n∥β，则α∥β 【答案】D 【解析】 【分析】在A中，m与n平行或异面；在B中，α与β平行或相交；在C中，α与β平行或相交；在D中，由面面平行的判定定理得α∥β． 【详解】由m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，知： 在A中，若α∥β，mα，nβ，则m与n平行或异面，故A错误； 在B中，若mα，nα，m∥β，n∥β，则α与β平行或相交，故B错误； 在C中，若aα，bβ，a∥b，则α与β平行或相交，故C错误； 在D中，过m作一平面与α交于直线m′，由m∥α，得m∥m′；过n作一平面与α交于直线n′，由n∥α，得n∥n′．又m∥β，且n∥β，则m′∥β，且n′∥β．因为m、n是两异面直线，所以m′与n′是两条相交直线，且m′α，n′α，根据面面平行的判定定理可得α∥β．故D正确． 故选：D． 8. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 平面平面 C. 和与平面所成的角相等 D. 异面直线与所成的角和异面直线与所成的角相等 【答案】D 【解析】 【分析】对A，证明出平面，由线面垂直的性质可判断；对B，证明出平面即可证明；对C，设，连接，易得即为与平面所成的角，即为与平面所成的角；对D，可得异面直线与所成的角小于，. 【详解】底面为正方形，，底面，底面，， ，平面，又平面，，故A正确； 底面为正方形，，底面，，，平面，平面，平面平面，故B正确； 设，连接，平面，即为与平面所成的角，即为与平面所成的角，易得，为中点，，故C正确； ，异面直线与所成角，且， 又平面，平面，，即异面直线与所成的角为，故D错误. 综上，只有D选项错误. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选顶中，有多项是符合题目要求的全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两个单位向量，的夹角为，则下列向量中，与向量的模相等的向量为( ). A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由向量的夹角和向量的模求出，然后分别计算选项判断即可. 【详解】因为． 对于A选项：，所以选项A正确； 对于B选项：，所以选项B错误； 对于C选项：，所以选项C正确； 对于D选项：，所以选项D错误. 故选：AC. 10. 给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有（ ） A. 从折线图能看出世界人口的变化情况 B. 2050年非洲人口将达到大约13亿 C. 2050年亚洲人口比其他各洲人口总和还要多 D. 从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢 【答案】AC 【解析】 【分析】从折线统计图能看出世界人口的变化情况，可判定A正确；从条形统计图中可得到：2050年非洲人口大约将达到18亿，可判定B错误；从扇形统计图表中可得2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，可判定C正确；由上述三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，可判定D错误. 【详解】对于A中，从折线统计图能看出世界人口的变化情况，所以是正确的； 对于B中，从条形统计图中可得到：2050年非洲人口大约将达到18亿，所以是错误的； 对于C中，从扇形统计图表中能够明显的得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，所以是正确的； 对于D中，由上述三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，所以是不正确的. 故选：AC 11. 正方体的棱长为2，､､分别为､､的中点.则（ ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 四面体与四面体的公共部分的体积是 【答案】BCD 【解析】 【分析】A由即可知直线与直线所成角为，B利用线面平行的判定即可判断；C由及正方体性质易知截面为等腰梯形，即可求面积；D确定公共部分为正方体六个表面中心为顶点的正八面体，利用棱锥体积公式求体积即可. 【详解】 由，故直线与直线所成角，显然，A错误. 由，面，面，而，则面即为面，所以面，B正确. 面截正方体所得截面为等腰梯形，易知梯形面积为， C正确. 四面体与四面体的公共部分是以正方体六个表面中心为顶点的正八面体，其棱长为，所以其体积为，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知球的表面积为，则它的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先计算球的半径，再求体积 【详解】设球的半径为R,则 故答案为： 13. 某校有高一学生人，高二学生人. 为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为的样本，已知从高一学生中抽取人，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样的等比例性质列方程，即可样本容量n. 【详解】由分层抽样的性质知：，可得. 故答案为： 14. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量公式计算即可得. 【详解】因为， 所以，， 则， 故在上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，后画出如图的频率分布直方图. 观察图形的信息，回答下列问题： （1）估计这次考试成绩的众数； （2）估计这次考试成绩的及格率（分及以上及格）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据频率分布直方图中最高的小矩形，即可求出这次考试成绩的众数；（2）通过频率分布直方图，可估计该次考试中的及格率. 试题解析：（1）因为第四组的频率最大，所以这次考试成绩的众数为； （2）依题意，及以上分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为， 所以，抽样学生成绩的合格分及以上是. 考点：频率分布直方图的应用及中位数. 16. 已知向量与的夹角，且，． （1）在上的投影向量； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由投影向量的定义写出在上的投影向量； （2）由向量夹角的计算公式及数量积的运算律求夹角余弦值. 【小问1详解】 在上的投影向量为； 【小问2详解】 由， ，即， 则， 即向量与夹角的余弦值为． 17. 某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题： 用户用水量频数直方图 用户用水量扇形统计图 （1）此次抽样调查的样本容量是________； （2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数； （3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析，79.2°；（3）4.08万户. 【解析】 【分析】 （1）根据用户用水量在吨的户数以及所占比例得出样本容量； （2）由样本容量减去用水15～20吨之外的户数，即可得出用水15～20吨的户数，再由用水15～20吨的户数占样本容量的比例求出圆心角； （3）将样本中享受基本价格的户数所占样本的比例乘以得出答案. 详解】（1）； （2）用水15～20吨的户数为100－10－36－24－8＝22(户)， “15～20吨”部分的圆心角的度数为 （3）(万户) 所以该地区6万用户中约有4.08万户的用水全部享受基本价格． 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，平面ABCD，，点E，F分别是PD，BC的中点． （1）在线段PC上确定一点G，使平面平面PAB，并给出证明； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）为中点，证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）为中点，根据平面，平面，得到证明. （2）平面，得到为二面角的平面角，计算正弦函数值，再根据平面，利用面积法计算得到答案. 【小问1详解】 当为中点，使平面平面PAB， 证明：因为为中点，为中点，故，， 因为，所以， 因为平面，平面，平面，平面， 故平面，平面， 因为平面，平面，且，故平面平面. 【小问2详解】 取为中点，连接，则， 平面，平面，故，， 故平面，故为二面角的平面角. ，，. 19. 已知向量，函数． （1）当时，求的最小值； （2）是否存在实数m，使不等式对任意的恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 友情提示：①；②． 【答案】（1） （2）存在，取值范围为 【解析】 【分析】（1）利用向量的乘积运算求出的解析式，求出最小值可得当时，可得的值； （2）假设存在符合条件的实数，则依题意有，对所有恒成立．设，则，利用三角函数的有界限转化为对勾函数的求最值问题，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 设，则， 当时，在为减函数， 所以时取最小值，最小值为； 【小问2详解】 假设存在符合条件的实数，则依题意有， 对所有恒成立. 设，则， ∴，恒成立， 即，恒成立， ∵，∴， ∴，恒成立， 令，则在上单调递减，理由如下： 任取， 则， 由于，所以， 所以，即， 故在上单调递减， 则， ∴， 所以存在符合条件的实数，并且的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$