精品解析：甘肃省白银市靖远县第一中学2025年普通高等学校招生全国统一考试数学样卷

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学样卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 某社会实践基地，在实践结束后对学生进行考核评分，某班学生得分的条形图如图所示，则该班学生成绩的75%分位数为（ ） A. 79 B. 83 C. 87 D. 88 5. 已知抛物线的方程为，则“抛物线经过点”是“抛物线的焦点为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在正项等差数列中， 且，，成等比数列，则（ ） A. 7 B. 11 C. 18 D. 1 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（ ） A. 1262 B. 1300 C. 1366 D. 1400． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正三棱台中，，，，分别是 ， ，，的中点，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 若，则平面 10. 设函数，则（ ） A. B. 函数在上单调递增 C. 有一个零点 D. 当时， 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，的面积为，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若的重心为，随着点的运动，点的轨迹方程为（） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知非零向量，，且与共线，则 ______． 13. 函数是偶函数，则 的最小正值为______． 14. 2025年3月1日起，《新能源汽车运行安全性能检验规程》正式实施，新能源汽车的动力蓄电池安全充电检测和电气安全检测成为必检项目．现将九款新能源汽车分别编号为1，2，3，…，9，从中随机抽取四款汽车进行检测，则使得抽出的汽车号码存在连续编号的取法种数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知首项为1的正项数列满足． （1）求的通项公式； （2）令（），求数列的前项和． 16. 如图，在四棱锥 中，底面是矩形，， ，． （1）求证：平面平面 ． （2）若，求平面 与平面 的夹角的余弦值． 17. 已知椭圆： 的左、右焦点分别为，，点是椭圆上任意一点，的最小值是0． （1）求椭圆的方程． （2）过点的直线与椭圆交于，两点．若在轴的上方，且，求直线 的斜率． 18. 在统计中常用似然比表示在事件发生的条件下事件发生的优势．某校针对当下十分热门的人工智能（AI）调查了1000名学生对该技术的关注程度，已知其中女生中关注AI的人占25%，现从这1000名学生中任选一人，表示“选到的是男生”，表示“选到的学生关注AI”，且，，用频率估计概率． （1）求． （2）在所有参加调查的学生中按男生和女生进行分层随机抽样，抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取2人进行问卷调查． （ⅰ）记有名女生参加问卷调查为事件，，求． （ⅱ）记抽取的2人中，是女生且关注AI的人数为，求的数学期望． 19. 已知函数． （1）若直线 是曲线的一条切线，求． （2）若 在上恒成立，求的取值范围． （3）已知定义在区间上的函数，对任意 ，存在一个正实数，满足 ，则称是“—速率函数”，其中的最小值称为的“速率”．若（），当趋近于正无穷时，是否有“速率”？若有，求出的“速率”；若没有，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学样卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解即可. 【详解】集合，，则， 故选：A． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，即可求解． 【详解】， 故选:D． 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数的除法公式化简齐次式，结合诱导公式可得解. 【详解】因为，所以，解得， 于是， 故选：A． 4. 某社会实践基地，在实践结束后对学生进行考核评分，某班学生得分的条形图如图所示，则该班学生成绩的75%分位数为（ ） A. 79 B. 83 C. 87 D. 88 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出频数，再根据计算一组个数据的第百分位数的步骤计算即可. 【详解】由样本共有20个数据，知，故该班成绩的75%分位数为第项与第项的平均数， 故该班成绩的75%分位数为． 故选：B 5. 已知抛物线的方程为，则“抛物线经过点”是“抛物线的焦点为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】结合抛物线定义和方程依次分析题设的充分性和必要性即可得解. 【详解】若抛物线经过点， ， 所以抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为，故充分性不成立； 若抛物线的焦点为，则， 所以抛物线方程为，则，即抛物线不经过点， 所以必要性不成立， 故“抛物线经过点”是“抛物线的焦点为”的既不充分也不必要条件． 故选：D 6. 在正项等差数列中， 且，，成等比数列，则（ ） A. 7 B. 11 C. 18 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由题设结合等差数列通项公式与等比中项的应用列式求出公差d，并得到通项公式即可求解． 【详解】设正项等差数列公差为， 又 ，所以，， 因为，，成等比数列， 所以，则，解得或（舍去）， 则，故． 故选：A 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性，并代入特值可得解. 【详解】从四个选项中可以看出，函数奇偶性、函数值的正负无法排除任意选项， 但满足， 因此的图象关于直线对称，可排除AB， 又，排除D， 故选：C. 8. 正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（ ） A. 1262 B. 1300 C. 1366 D. 1400． 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的基本概念和性质，计算特定区间的概率解决实际中的人数估计问题． 【详解】整个年级成绩的平均分为470，标准差为50， 所以，，所以， 即，即求． 由，得， 所以， 那么成绩落在区间（395，545）内的人数大约为， 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正三棱台中，，，，分别是，，，的中点，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 若，则平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】将正三棱台补图为正三棱锥，对于选项A，根据线面垂直的性质可证明线线垂直；对于选项B，根据线线平行证明线面平行；对于选项C，假设线面垂直，则线线垂直，从而发现与题干矛盾；对于选项D，根据线线垂直的判定定理可证明线面垂直. 【详解】由题意，可将正三棱台补为如图所示的正三棱锥 ， 取的中点，连接，则. 又，所以 平面，因为平面， 则有．A正确. 因为分别是 的中点，所以， 又 平面，平面， 平面，即平面，故B项正确． 对于选项C，假设平面，因为平面， 所以与垂直，而是等边三角形，不垂直，所以C不正确． 由，知，可设 ， 则，，根据勾股定理. 而，故， 又，，则 平面 ，即平面，故D正确． 故选：. 10. 设函数，则（ ） A. B. 函数在上单调递增 C. 有一个零点 D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】由导数计算以及利用导数判断函数的单调性、零点个数，逐项判断即可． 【详解】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，令，解得 或， 当或 时，，即在和上单调递增， 当时，，即在上单调递减，故B不正确； 对于C，函数的极小值为，极大值为， 因此函数的图象与轴只有一个交点，即有一个零点，故C正确； 对于D，当时，单调递减，则当时，单调递减， 又当时，，所以，故D不正确． 故选：AC. 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，的面积为，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若的重心为，随着点的运动，点的轨迹方程为（） 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查双曲线，掌握双曲线的定义，理解双曲线的概念与性质． 【详解】A、由，得，，则，，， 当时，，由，可得，故A不正确； B、焦点的面积公式，将代入可知，故B正确； C、当时，，当时，， 因为为锐角三角形，所以，故C不正确； D、设，（ ），则（ ）， 由题设知，，则， 所以点的轨迹方程为，故D正确． 故选：BD. 【点睛】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知非零向量，，且与共线，则 ______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程，然后根据向量数量积的坐标表示即得. 【详解】由，可得，解得 或． 又因为向量为非零向量，则 不合题意，即， 即，于是． 故答案为：16 13. 函数是偶函数，则 的最小正值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据偶函数定义及正弦函数性质可得当时，，则， .给赋值，即可求得 的最小正值. 【详解】由于是偶函数，所以， ， 故， ，所以当时， 取最小正值，最小正值为． 故答案为：. 14. 2025年3月1日起，《新能源汽车运行安全性能检验规程》正式实施，新能源汽车的动力蓄电池安全充电检测和电气安全检测成为必检项目．现将九款新能源汽车分别编号为1，2，3，…，9，从中随机抽取四款汽车进行检测，则使得抽出的汽车号码存在连续编号的取法种数为______． 【答案】111 【解析】 【分析】先由题设得到取出的四个不同从小到大的号码所满足的条件，再运用间接法即可计算求解. 【详解】设取出的号码为不同的数，，，，且， 若不存在连续编号，则，从中抽取四个共有种， 所以符合条件的取法种数为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知首项为1的正项数列满足． （1）求的通项公式； （2）令（），求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由累加法求数列通项公式即可； （2）由裂项相消法求和即可． 【小问1详解】 令，，又由有， 则有 ， 所以． 又因为数列的各项均为正数，所以． 【小问2详解】 由 ， 知 ． 16. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，， ，． （1）求证：平面平面 ． （2）若，求平面 与平面 的夹角的余弦值． 【答案】（1），，． ，且， 平面 ，， 平面 ． 平面 ， 平面平面 ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直证线面垂直，再由面面垂直的判定证面面垂直； （2）根据垂直关系以的中点为原点建系，利用向量法求面面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面 与平面 的夹角为，的中点为，的中点为． 由，，知 平面 ， 又，，故以为原点， ，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系 ， 则，，． 易知平面 的一个法向量为， ，， 设平面 的法向量为 ，因此，取， 故． 【点睛】 17. 已知椭圆： 的左、右焦点分别为，，点是椭圆上任意一点，的最小值是0． （1）求椭圆的方程． （2）过点的直线与椭圆交于，两点．若在轴的上方，且，求直线的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的分解转化，确定最小值的情况，结合 的关系求解； （2）根据向量关系得，两点纵坐标关系，设出直线斜率，联立方程，结合韦达定理列方程求解. 【小问1详解】 由椭圆： 存在左、右焦点， 知 ，， 所以，所以，， 所以椭圆的方程为 ． 【小问2详解】 ，即，则直线的斜率是正数， 设：，直线的斜率为（）， 设，，由 化简得，所以，． 由题意知， 代入，，消，可得，， 解得，所以直线的斜率是． 18. 在统计中常用似然比表示在事件发生的条件下事件发生的优势．某校针对当下十分热门的人工智能（AI）调查了1000名学生对该技术的关注程度，已知其中女生中关注AI的人占25%，现从这1000名学生中任选一人，表示“选到的是男生”，表示“选到的学生关注AI”，且，，用频率估计概率． （1）求． （2）在所有参加调查的学生中按男生和女生进行分层随机抽样，抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取2人进行问卷调查． （ⅰ）记有名女生参加问卷调查为事件，，求． （ⅱ）记抽取的2人中，是女生且关注AI的人数为，求的数学期望． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）设，则，由条件概率公式及，可得答案； （2）（i）由可得答案（ii）参加问卷调查的女生中关注AI的人数恰好为人的事件为事件，由全概率公式计算可得答案. 【小问1详解】 设，则， 由，得， 而，则． 又，于是， 得，即， 而，因此， 故，得 ，则； 【小问2详解】 由（1）知，抽取的10名学生中，女生有人，男生有6人， 用频率估计概率，抽取的是女生且关注AI的概率为，不关注AI的概率为． （i）易知，故． （ii）参加问卷调查的女生中关注AI的人数恰好为人的事件为事件， 易知，，， ，，， 故 ， ， ， 故数学期望． 19. 已知函数． （1）若直线 是曲线的一条切线，求． （2）若 在上恒成立，求的取值范围． （3）已知定义在区间 上的函数，对任意 ，存在一个正实数，满足 ，则称是“—速率函数”，其中的最小值称为的“速率”．若（），当趋近于正无穷时，是否有“速率”？若有，求出的“速率”；若没有，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）没有速率.由题意可知：， 则， 由（1）可知， 在上恒成立， 令，则， 所以，，，…，， 将上述式子相加得， 由于当趋近于正无穷时，趋近于正无穷， 故不存在实数，使得 ，故没有速率． 【解析】 【分析】（1）设出切点坐标，根据导数的几何意义和切点在切线上建立方程组，求解即可. （2）先根据题意构造函数 （），求出导数；再分类讨论，根据导数判断函数的单调性，求出最值，是否满足 在上恒成立，即可求解. （3）先根据题意写出；再借助（1）中的结论和对数的运算法则可得出；最后根据对数的性质即可解答. 【小问1详解】 由可得：函数的定义域为，且. 设直线 与曲线的切点为， 则，解得：， 所以 ． 【小问2详解】 由题意可知： 在上恒成立， 即 在上恒成立. 设 （）， 则 ， ， 当时，有 ，此时函数在上单调递增， 则 ，不符合题意． 当时，， 令 ，解得 . 当 时，有 ，此时 ，函数在上单调递减， 则 ，符合题意． 当时，有 ， 令 ，解得： ；令 ，解得： ； 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以时， ，与 在上恒成立矛盾，不符合题意. 综上，的取值范围为． 【小问3详解】 不存在实数，使得 ，故没有速率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $