精品解析：云南省长水教育集团2024-2025学年高二下学期5月质量检测数学试题

长水教育集团2024-2025学年第二学期质量检测（5月） 高二数学 一审老师：朱东海 二审老师：陈鹤 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合⫋，且中至少有一个奇数，则这样的集合有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】分集合含有一个元素及两个元素分别求解即可. 【详解】当集合A中含一个元素时，或； 当集合A中含两个元素时，或或， 所以这样的集合共有个. 故选：D. 2. 已知空间向量，若与垂直，则（ ） A. B. C. D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的运算及空间向量的模求解. 【详解】因为与垂直， 所以，解得， 所以， 故. 故选：B 3. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 8 B. 24 C. 60 D. 160 【答案】D 【解析】 【分析】写出的展开式通项，令的指数幂为0即可求解. 【详解】的展开式通项为， 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 故选:D. 4. 设等差数列的前项和分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式可得答案. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别是， 所以. 故选：A. 5. 在“七彩云南•青春学习”知识竞赛中，分别来自大理和丽江的两位选手甲､乙参与必答题环节.每人答对的概率均为，两人都答对的概率为，则甲答对的前提下乙也答对的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记事件A：甲答对，事件：乙答对，分别求出，，利用条件概率公式直接求解即可. 【详解】记事件A：甲答对，事件：乙答对，则有，， 所以. 故选：B 6. 已知圆，直线，则直线与圆公共点个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 与有关，不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线过定点，且点在圆内，可得直线与圆相交，即可得解. 【详解】直线， 即， 令，解得， 即直线过点， 又， 则点在圆内， 所以直线与圆相交，有个公共点， 故选：C. 7. 设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（ ） 0 1 A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机变量的概率非负且不大于1，且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，列出方程和不等式，解方程组即可． 【详解】由离散型随机变量的性质可得，即， 解得或， 当时，不合题意， 所以. 故选：B 8. 若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线与，的切点分别为，，求导，写出切线的斜率和切线方程，联立即可求出切点坐标，进而得到切线方程. 【详解】已知直线是，的公切线，设切点分别为，． 由，得，所以的斜率为， 方程为，即， 由，得，所以的斜率为， 方程为，即， 因为直线是的公切线， 所以解得 所以直线斜率为，与的切点为， 所以直线的方程为. 故选：A． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某市高三年级学生联考，学生的数学成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） A. 该市高三年级学生的数学成绩的方差是5 B. 从本次联考数学成绩中随机调查1名学生的成绩，分数大于120的概率比分数低于105的概率小 C. D. 从本次联考数学成绩中随机调查3名学生的成绩，至少有1个成绩低于110的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质判断ABC；结合相互独立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意可知，该市高三年级学生的数学成绩的均值为110，方差是25，故A错误； ， 由正态分布的性质可知B正确； ，故C错误； 学生成绩低于110的概率为，每一名学生的成绩相互独立， 所以3名学生的数学成绩，至少有1个成绩低于110的概率为，故D正确. 故选：BD. 10. 在三棱锥中，，则（ ） A. B. 直线与直线夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间两点间距离可得A正确；由异面直线间夹角公式可得B错误；由法向量的计算方法可得C正确；由空间线面角公式可得D正确； 【详解】，，故A正确； ，， ，则直线与直线夹角的余弦值为，故B错误； ，，， 是平面的一个法向量，故C正确； 与平面所成角的正弦值为 ，故D正确. 故选：ACD 11. 已知数列的前项和为，，且，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 等差数列 D. 存在，，且，使得，，成等差数列 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，由递推关系式代入运算求解判断；对B，由可得，根据等比数列的定义判断；对C，求出，进而求得的通项，利用等差数列的定义判断；对D，利用反证法求解判断. 【详解】对于A，由，，则，解得， ，则，故A错误； 对于B，由，则，又， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，故B正确； 对于C，由B选项，可得，即， ， ， 则，又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故C正确； 对于D，假设存在且，使得成等差数列， 则，即，即， ， ，，则， 故上式不成立，假设错误，故D错误. 故选：BC. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率为，由求解. 【详解】因为双曲线：的离心率为， 所以， 解得，又双曲线的焦点在x轴上， 所以双曲线的渐近线方程为 故答案为： 13. 为了备战大理州第27届少数民族传统体育运动会，甲选手进行多轮射弩练习，每轮射击时，甲射中靶心的概率为.若每轮射击命中靶心得1分，未命中靶心得0分，且各轮射击结果相互独立，则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据n次独立重复试验及互斥事件和的概率公式求解. 【详解】进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为. 故答案为： 14. 若函数有唯一一个极值点，则实数的取值范围是_____． 【答案】． 【解析】 【分析】求导得，根据有唯一一个极值点且，得是唯一的变号零点，设，因为，所以恒成立，分三种情况讨论的单调性和最值，从而得到的取值范围. 【详解】定义域为，， 因为，有唯一一个极值点，所以是唯一的变号零点， 设，且，所以恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，，所以上单调递增， 又因为时，，不满足，舍去； 当时，令，得， 令，得，所以上单调递减， 令，得，所以在上单调递增， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在云南省推进绿色能源战略背景下，某古城景区为提升电动观光车服务质量，对200名游客进行满意度调研.现收集到如下数据： 对续航能力满意 对续航能力不满意 对充电设施满意 70 30 对充电设施不满意 50 50 （1）现随机选取一名受访游客，设事件为“该游客对电动观光车续航能力满意”，事件为“该游客对充电设施满意”，求和； （2）根据小概率值的独立性检验，判断游客对电动观光车续航能力的满意度与对充电设施的满意度是否存在关联. 附：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）， （2）存在关联 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式及古典概型计算求解； （2）计算，根据小概率值的独立性检验作出结论. 【小问1详解】 依题意，， . 【小问2详解】 零假设为游客对电动观光车续航能力的满意度与对充电设施的满意度没有关联， 由已知数据得， 则依据小概率值的独立性检验，可以认为游客对电动观光车续航能力的满意度与对充电设施的满意度存在关联. 16. 已知编号为甲､乙､丙的三个袋子中装有除颜色外完全相同的小球，其中甲袋内装有3个红球，1个黄球和1个蓝球；乙袋内装有2个红球，2个蓝球；丙袋内装有1个红球，2个黄球和1个蓝球. （1）从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量为红球的个数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是红球则放回甲袋，若摸出的是黄球则放入乙袋，若摸出的是蓝球则放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是蓝球的概率. 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）求出的可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望. （2）根据给定条件，利用全概率公式列式计算得解. 【小问1详解】 依题意，随机变量的可能取值为0，1，2， 则， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 随机变量的期望. 【小问2详解】 记第一次从甲袋中随机摸出1个球，摸出的是红､黄､蓝球分别为事件， 第二次摸到的是蓝球为事件B， 则， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，点是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直判定定理先证明平面，得出线线垂直，再由判定定理证明平面SCD； （1）法一，证明，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，由两个向量的夹角公式得解；法二，过B在平面ABCD内作BE⊥BC交AD于E，建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，平面的一个法向量为，由夹角公式求解. 【小问1详解】 因为侧棱底面ABCD，底面ABCD， 所以， 又因为，，平面SBC， 所以平面， 又平面SBC， 所以， 又因为，点M是棱SC的中点， 所以， 又，平面SCD， 所以平面SCD. 【小问2详解】 连接，由题意可得，则， 取AD的中点E，连接BE， 则，则，， 所以， 所以，所以， 以B为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，可取. 由（1）可得平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 另解：（2）过B在平面ABCD内作BE⊥BC交AD于E， 以B为原点，以BE所在直线为轴，BC所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，取，则. 由（1）可得平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 近年来，共享单车行业在我国各城市迅猛发展，单车为人们的出行提供了便利，但也给城市的交通管理带来了一些困难，为掌握共享单车在省内的发展情况，某调查机构从省内抽取了5个城市，并统计了共享单车的指标和指标，数据如下表所示： 城市1 城市2 城市3 城市4 城市5 指标 2 4 5 6 8 指标 3 4 4 4 5 （1）画出散点图； （2）建立关于的经验回归方程，并预测当指标为7时，指标的估计值； （3）若某城市的共享单车的指标在区间的右侧，则认为该城市共享单车数量过多，对城市的交通管理有较大的影响，交通管理部门将进行治理，直至指标在区间内．现已知省内某城市共享单车的指标为13，则该城市的交通管理部门是否需要进行治理？试说明理由（其中）． 参考公式：经验回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计分别为． 【答案】（1）图象见解析 （2），4.6 （3）需要，理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接描点即可； （2）根据参考公式进行求解即可； （3）计算出，得出，再判断出13是否在区间内，即可判断． 【小问1详解】 如图所示． 【小问2详解】 由题表得，． ， ， 得， 所以经验回归方程为． 当时，， 即当指标为7时，指标的估计值为4.6． 【小问3详解】 该城市的交通管理部门需要进行治理．理由如下： 由（1）知，，由题意得， 因为，所以该城市的交通管理部门需要进行治理． 19. 已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合． （1）求抛物线的方程； （2）已知为抛物线上一个动点，直线，，求点到直线的距离之和的最小值； （3）若点是抛物线上一点（不同于坐标原点），是的内心，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用题意求出焦点坐标求解就可以了； （2）找到距离之间关系，利用几何法求解即可； （3）利用内心的性质找到面积之间的关系，然后表示出面积，再利用函数关系求其范围即可. 【小问1详解】 由题可知，椭圆右焦点坐标为，抛物线焦点坐标为 所以, 所以抛物线方程为, 【小问2详解】 由题可知，为抛物线准线，所以点到的距离等于点到焦点的距离； 联立， 显然无实数根，故直线与抛物线相离，记点到的距离为, 所以的最小值为焦点到直线的距离为. 【小问3详解】 设点，已知点 所以的面积, 设的内切圆半径为, 则有, 所以, 所以, 因为点是抛物线上一点（不同于坐标原点）, 所以，, 所以, 经整理得：, 构造函数, 得, 显然单调增, 令，解得, 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以, 所以. 【点睛】对于距离问题先用几何法找到其中关系；对于内心相关的面积问题，可以利用等面积法，得到不同部分面积之间的关系求解即可，当处理的式子比较复杂的时候，可以构造函数求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长水教育集团2024-2025学年第二学期质量检测（5月） 高二数学 一审老师：朱东海 二审老师：陈鹤 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合⫋，且中至少有一个奇数，则这样的集合有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 已知空间向量，若与垂直，则（ ） A. B. C. D. 14 3. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 8 B. 24 C. 60 D. 160 4. 设等差数列的前项和分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在“七彩云南•青春学习”知识竞赛中，分别来自大理和丽江的两位选手甲､乙参与必答题环节.每人答对的概率均为，两人都答对的概率为，则甲答对的前提下乙也答对的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 与有关，不能确定 7. 设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（ ） 0 1 A. 或 B. C. D. 8. 若直线既是曲线切线，也是曲线的切线，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某市高三年级学生联考，学生的数学成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） A. 该市高三年级学生的数学成绩的方差是5 B. 从本次联考数学成绩中随机调查1名学生的成绩，分数大于120的概率比分数低于105的概率小 C. D. 从本次联考数学成绩中随机调查3名学生的成绩，至少有1个成绩低于110的概率为 10. 在三棱锥中，，则（ ） A. B. 直线与直线夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角的正弦值为 11. 已知数列的前项和为，，且，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 是等差数列 D. 存在，，且，使得，，成等差数列 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为__________. 13. 为了备战大理州第27届少数民族传统体育运动会，甲选手进行多轮射弩练习，每轮射击时，甲射中靶心的概率为.若每轮射击命中靶心得1分，未命中靶心得0分，且各轮射击结果相互独立，则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为__________. 14. 若函数有唯一一个极值点，则实数的取值范围是_____． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在云南省推进绿色能源战略背景下，某古城景区为提升电动观光车服务质量，对200名游客进行满意度调研.现收集到如下数据： 对续航能力满意 对续航能力不满意 对充电设施满意 70 30 对充电设施不满意 50 50 （1）现随机选取一名受访游客，设事件为“该游客对电动观光车续航能力满意”，事件为“该游客对充电设施满意”，求和； （2）根据小概率值的独立性检验，判断游客对电动观光车续航能力的满意度与对充电设施的满意度是否存在关联. 附：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10828 16. 已知编号为甲､乙､丙的三个袋子中装有除颜色外完全相同的小球，其中甲袋内装有3个红球，1个黄球和1个蓝球；乙袋内装有2个红球，2个蓝球；丙袋内装有1个红球，2个黄球和1个蓝球. （1）从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量为红球的个数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出是红球则放回甲袋，若摸出的是黄球则放入乙袋，若摸出的是蓝球则放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是蓝球的概率. 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，点是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 近年来，共享单车行业在我国各城市迅猛发展，单车为人们的出行提供了便利，但也给城市的交通管理带来了一些困难，为掌握共享单车在省内的发展情况，某调查机构从省内抽取了5个城市，并统计了共享单车的指标和指标，数据如下表所示： 城市1 城市2 城市3 城市4 城市5 指标 2 4 5 6 8 指标 3 4 4 4 5 （1）画出散点图； （2）建立关于的经验回归方程，并预测当指标为7时，指标的估计值； （3）若某城市的共享单车的指标在区间的右侧，则认为该城市共享单车数量过多，对城市的交通管理有较大的影响，交通管理部门将进行治理，直至指标在区间内．现已知省内某城市共享单车的指标为13，则该城市的交通管理部门是否需要进行治理？试说明理由（其中）． 参考公式：经验回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计分别为． 19. 已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合． （1）求抛物线方程； （2）已知为抛物线上一个动点，直线，，求点到直线距离之和的最小值； （3）若点是抛物线上一点（不同于坐标原点），是的内心，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$