精品解析：江苏省启东中学2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试题

江苏省启东中学2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，且，则（ ） A. 5 B. 11 C. -5 D. -11 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个向量垂直其数量积为及向量数量积的坐标运算即可得解. 【详解】因为，且， 所以，得. 故选：C. 2. 假如女儿身高（单位：cm）关于父亲身高（单位：cm）的经验回归方程为，已知父亲身高为180cm，则估计女儿身高为（ ） A. 166cm B. 170cm C. 172cm D. 176cm 【答案】B 【解析】 【分析】将父亲的身高代入经验回归方程，即可求出女儿的估算身高. 【详解】当时，则估计女儿身高为cm. 故选：B. 3. 学生可从本年级开设的门选修课中任意选择3门，并从种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由组合数结合乘法计数原理即可求解. 【详解】分两步：第一步从门选修课中任意选择3门有， 第二步：从种课外活动小组中选择2种有， 所以不同的选法种数为. 故选：D 4. 的展开式中的系数为（ ） A. -8 B. 20 C. -20 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理及多项式乘法法则求出展开式中含的项即可. 【详解】的展开式中的项为， 所以所求系数为20. 故选：B 5. 已知函数满足，则的增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，令可求，从而，解不等式即可. 【详解】， 则，解得， 所以. 因为，所以令，得，解得， 所以的增区间为. 故选：D. 6. 将5名学生分配到3个社区当志愿者，每个社区至少分配1名学生，则不同的分配方法种数是（ ） A. 24 B. 50 C. 72 D. 150 【答案】D 【解析】 【分析】考虑分组为1、1、3和1、2、2两种情况，分别讨论即可得到答案. 【详解】可以分组为1、1、3，或1、2、2两种情况， 若分组为1、1、3，则有； 若分组为1、2、2，则有； 则不同分法为60+90=150种. 故选：D 7. 当时，函数取得极小值4，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】求导得到，计算，且，解得答案. 【详解】，， 根据题意有，且，解得，，. 此时，， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 函数在处取极小值，满足. 故选：A 8. 在直三棱柱中，，三棱锥体积最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】如图建立空间直角坐标系，根据可得在底面的轨迹，再分割三棱柱可得，求的最大值即点到底距离最大即最大时即可得解. 【详解】如图，以为坐标原点，以直线、在平面内垂直于的直线、直线所在方向分别为正半轴. 设,. ，，得，即.即点在底面的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 又因为，. 当取最大时，有最大值. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量X的概率分布如下表（其中a为常数）： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是（　　） A. a＝0.1 B. P（X≤2）＝0.7 C. P（X≥3）＝0.4 D. P（X≤1）＝0.3 【答案】ABD 【解析】 【分析】由概率之和为1可判断A，根据分布列计算概率，可判断BCD. 【详解】因为，解得，故A正确； 由分布列知，故B正确 ，C错误. ，故D正确， 故选：ABD 10. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（ ） A. 该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08 B. 该零件是次品的概率为0.03 C. 如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98 D. 如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率即可判断A，B；利用条件概率公式、对立事件即可判断C，D． 【详解】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件， 则，，，，，， 对于，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故A错误； 对于，任取一个零件是次品的概率为，故B正确； 对于，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为，故C正确； 对于，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为 ，故D错误． 故选：BC． 11. 已知函数满足，则（ ） A. B. 对于任意有三个零点 C. 对于任意有两个极值点 D. 时，在上存在最大值 【答案】AB 【解析】 【分析】根据，即可判断A；由A选项知，，利用导数求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可判断B；举出反例，结合极值点的定义即可判断C；求导，确定函数在上单调性即可判断； 【详解】对于A，由，， 可得，即，故A正确； 对于B，由A选项可得， 则，则， 当时，令，则， 令，则或， 令，则， 所以函数在上单调递增， 在上单调递减， 由，可得， 而，所以， 又当时，，当时，， 所以函数在和都存在一个零点， 所以对于任意，有三个零点，故B正确； 对于C，当时， ，则， 由， 得恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以函数无极值点，故C错误； 对于D，由A知：，，得， 所以， 所以， 易知：时，，时，， 所以在单调递减，在单调递增， 又， 所以在上不存在最大值，D错误， 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 若随机变量，，则_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可得解. 【详解】解不等式，解得， 所以， 设，则由正态分布的对称性可知， 又， 即，解得， 所以， 故答案为：. 13. 设一个三位数的个位、十位、百位上的数字分别为，，，若，，则称这个三位数为“峰型三位数”，例如251和121都是“峰型三位数”，在由0，1，2，3，4，5中的部分数字组成的三位数中，“峰型三位数”的个数为_______________. 【答案】40 【解析】 【分析】根据给定条件，利用“峰型三位数”是否含有数字0分类，结合排列、组合计数问题列式计算即得. 【详解】①若“峰型三位数”由三个不同的数字组成： 当“峰型三位数”含有数字0时，0必为个位，再从余下5个数字中任取两个，大的数字为十位，有种方法； 当“峰型三位数”没有数字0时，从除0外的5个数字中任取3个，最大数字作十位，有种方法， 此时，“峰型三位数”的个数为； ②若“峰型三位数”由两个不同的数字组成，则一定不包含0，此时共有种方法； 综上，“峰型三位数”的个数为. 故答案为：40 14. 已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时，________，最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据两函数的图象关于直线对称，且与垂直，转化为求曲线上一点到直线距离的最小值，利用点到直线的距离及导数即可得解. 【详解】由可得，，即， 所以函数，互为反函数，图象关于直线对称， 因直线互相垂直， 所以问题可转化为求上点到直线距离的最小值的2倍， 因为， 令， 则，当时，， 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，有最小值3， 此时， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某初级中学为了响应国家提倡的素质教育，积极组织学生参加体育锻炼，并定期进行成绩测试.在某次测试中，该校随机抽取了初二年级名男生的立定跳远成绩和米短跑成绩，在立定跳远成绩大于等于的名男生中，米短跑成绩小于等于的有人，在立定跳远成绩小于的男生中，米短跑成绩大于的有人. 单位：人 立定跳远成绩 米短跑成绩 合计 小于等于 大于 大于等于 小于 合计 （1）完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析立定跳远成绩是否与米短跑成绩有关； （2）“立定跳远成绩小于”且“米短跑成绩小于等于”的人数为，已知这人中有人喜爱运动，若从中任取人进行调研，设表示取出的喜爱运动的人数，求的分布列和数学期望. 下面附临界值表及参考公式： 【答案】（1） 立定跳远成绩 米短跑成绩 合计 小于等于 大于 大于等于 小于 合计 有关 （2） 数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意补充完整列联表，然后求出卡方，结合参考表格下结论即可； （2）由（1）可得，分析得到的取值，然后求出取值对应的概率，得到变量的分布列，即可求出期望. 【小问1详解】 列联表如图. 单位：人 立定跳远成绩 米短跑成绩 合计 小于等于 大于 大于等于 小于 合计 零假设为：立定跳远成绩与米短跑成绩无关， 计算得， 根据小概率的独立性检验，推断不成立， 即认为立定跳远成绩与米短跑成绩有关，此推断犯错误的概率不大于. 【小问2详解】 由（1）可知的可能取值为， 则， ， ， 其分布列为： 所以数学期望为. 16. 已知． （1）若，证明：； （2）若的最小值为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出的单调区间，进而求解最值，即可证明. （2）求出导函数，按照和分类讨论研究的单调性，进而求解的最小值，列式即可求解. 【小问1详解】 时，的定义域为， 因为，令得， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以． 【小问2详解】 ， ①时，在单调递减，无最小值，不符合题意； ②时，当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以， 所以，解得， 所以． 17. 如图，和所在平面垂直，且求： （1）； （2）直线与平面所成角的大小； （3）平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 设，作于点，连接， 因为和所在平面垂直，平面平面， 所以， 因为 所以， 以点为原点，的方向分别为轴，轴，轴方向，建立空间直角坐标系如图所示： ， ， ， ， 所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系利用空间向量法求出异面直线所成的角； （2）利用空间向量法求出线面角； （3）分别求出两个平面的法向量，法向量夹角的余弦值即为两个平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直线与平面所成角的大小为， 由（1）可得，显然是平面的一个法向量， ， 所以直线与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 由（1）可得，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，则，， 所以， ， 所以平面和平面的夹角的余弦值. 18. 已知函数. （1）时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）求出函数的定义域和导数，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）由题意可知函数在处取得极小值，可得出，求出实数的值，再结合极值点的定义验证即可. 【小问1详解】 当时，，则，故，， 此时函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 当时，对任意的，，此时函数的增区间为，无减区间； 当时，由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问3详解】 因为，对任意的，， 所以函数在处取得最小值， 由于函数为可导函数，故函数在处取得极小值， 故，解得，此时，， 由（2）知，函数的减区间为，增区间为， 故函数在处取得极小值，也是最小值，即，合乎题意. 因此，实数的取值范围是. 19. 某班举办诗词大赛，比赛规则如下：参赛选手第一轮回答4道题，若答对3道或4道，则通过初赛，否则进行第二轮答题，第二轮答题的数量为第一轮答错的题目数量，且题目与第一轮的题不同，若全部答对，则通过初赛，否则淘汰.已知甲同学参加了这次诗词大赛，且甲同学每道题答对的概率均为.假设甲同学回答每道题相互独立，两轮答题互不影响. （1）已知. ①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率； ②求甲同学答对1道题的概率. （2）记甲同学的答题个数为，求的最大值. 【答案】（1）①；②； （2）. 【解析】 【分析】（1）①②应用独立事件乘法公式及互斥事件加法求对应概率即可； （2）根据题意有并求出对应概率，应用期望的求法求，再由导数求期望的最大值. 【小问1详解】 ①由题意，甲同学第一轮答题后通过初赛的概率为； ②甲同学答对1题的情况如下， 第一轮答对1题，第二轮答对0题，则概率为； 第一轮答对0题，第二轮答对1题，则概率为； 所以甲同学答对1道题的概率为； 【小问2详解】 由题意，， 且， ， ， ， 所以 ，又， 令，则， 令，则， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增； 又，，则在上， 所以在上恒成立，即在上单调递减， 所以，故最大为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省启东中学2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，且，则（ ） A. 5 B. 11 C. -5 D. -11 2. 假如女儿身高（单位：cm）关于父亲身高（单位：cm）的经验回归方程为，已知父亲身高为180cm，则估计女儿身高为（ ） A. 166cm B. 170cm C. 172cm D. 176cm 3. 学生可从本年级开设的门选修课中任意选择3门，并从种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数为（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. -8 B. 20 C. -20 D. 28 5. 已知函数满足，则的增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 将5名学生分配到3个社区当志愿者，每个社区至少分配1名学生，则不同的分配方法种数是（ ） A. 24 B. 50 C. 72 D. 150 7. 当时，函数取得极小值4，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 在直三棱柱中，，三棱锥体积最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量X的概率分布如下表（其中a为常数）： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是（　　） A. a＝0.1 B. P（X≤2）＝0.7 C. P（X≥3）＝0.4 D. P（X≤1）＝0.3 10. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（ ） A. 该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08 B. 该零件是次品的概率为0.03 C. 如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98 D. 如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为 11. 已知函数满足，则（ ） A. B. 对于任意有三个零点 C. 对于任意有两个极值点 D. 时，在上存在最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 若随机变量，，则_____________． 13. 设一个三位数的个位、十位、百位上的数字分别为，，，若，，则称这个三位数为“峰型三位数”，例如251和121都是“峰型三位数”，在由0，1，2，3，4，5中的部分数字组成的三位数中，“峰型三位数”的个数为_______________. 14. 已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时，________，最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某初级中学为了响应国家提倡的素质教育，积极组织学生参加体育锻炼，并定期进行成绩测试.在某次测试中，该校随机抽取了初二年级名男生的立定跳远成绩和米短跑成绩，在立定跳远成绩大于等于的名男生中，米短跑成绩小于等于的有人，在立定跳远成绩小于的男生中，米短跑成绩大于的有人. 单位：人 立定跳远成绩 米短跑成绩 合计 小于等于 大于 大于等于 小于 合计 （1）完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析立定跳远成绩是否与米短跑成绩有关； （2）“立定跳远成绩小于”且“米短跑成绩小于等于”的人数为，已知这人中有人喜爱运动，若从中任取人进行调研，设表示取出的喜爱运动的人数，求的分布列和数学期望. 下面附临界值表及参考公式： 16. 已知． （1）若，证明：； （2）若的最小值为，求． 17. 如图，和所在平面垂直，且求： （1）； （2）直线与平面所成角的大小； （3）平面和平面的夹角的余弦值. 18. 已知函数. （1）时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 19. 某班举办诗词大赛，比赛规则如下：参赛选手第一轮回答4道题，若答对3道或4道，则通过初赛，否则进行第二轮答题，第二轮答题的数量为第一轮答错的题目数量，且题目与第一轮的题不同，若全部答对，则通过初赛，否则淘汰.已知甲同学参加了这次诗词大赛，且甲同学每道题答对的概率均为.假设甲同学回答每道题相互独立，两轮答题互不影响. （1）已知. ①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率； ②求甲同学答对1道题的概率. （2）记甲同学的答题个数为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $