精品解析：河北省廊坊市三河市第二中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

三河二中2024—2025学年度第一学期高一年级第一次月考 数学试题 命题人：屈娜 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题选项中，只有一项符合要求） 1. 已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据集合与元素、集合与集合的基本关系逐项判断即可. 【详解】集合， 则，故A不正确； ，故B不正确； ，故C正确； 空集是任何集合的子集，则，故D不正确． 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解即可. 【详解】根据命题否定的定义可知， 命题“，”的否定是“，”. 故选：B. 3. 满足集合为的真子集且的集合的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得、且中至少还有一个元素，再由，即可列出符合题意的集合，从而得解. 【详解】因为集合为的真子集，所以、且中至少还有一个元素， 又，所以或或， 故满足条件的集合有个. 故选：A 4. 下列哪一组中的函数与表示同一个函数（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】判断两函数的定义域是否相同，解析式是否一致，即可得解. 【详解】对于A：的定义域为，的定义域为，故不是同一函数，故A错误； 对于B：的定义域为，的定义域为，故不是同一函数，故B错误； 对于C：的定义域为，，函数解析式不一致， 故不是同一函数，故C错误； 对于D：的定义域为，的定义域为，且， 两函数的定义域相同，函数解析式一致，故是同一函数，故D正确. 故选：D 5. 如图，是半圆的直径，点C在上，点F在半圆上，且，设，，请你利用写出一个关于a，b的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先表示出，，进而结合勾股定理可得，进而判断即可. 【详解】， ， 而， 则由，可得，当且仅当时等号成立. 故选：A. 6. “”是“对任意的正实数，均有”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】将对任意的正实数，均有转化为在上恒成立，从而可得的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义即可得解． 【详解】∵对任意的正实数，均有 ∴在上恒成立，即在上恒成立 ∵， ∴，即 ∵当时，一定成立；时，不一定成立. ∴“”是“对任意的正实数，均有”的充分不必要条件 故选：A. 7. 若函数，则方程的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，进而得或，再解或即可得答案. 【详解】解：令，则， 所以或，解得或， 所以或， 所以或或，解得或或 故选：D 8. 已知函数，其中为不超过x的最大整数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，进而得到，从而求解. 【详解】由题意，为不超过x的最大整数， 则，即， 所以函数的值域为. 故选：B. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题选项中，有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何?”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数可以为（ ） A. 9 B. 23 C. 128 D. 233 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接将各选项的数字变形判断即可. 【详解】对于A：，则，所以，故A错误； 对于B：，满足的描述，所以，符合题意，故B正确； 对于C：，满足的描述，则，符合题意，故C正确； 对于D：，满足的描述，，符合题意，故D正确； 故选：BCD 10. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以，且关于的方程的实数根为或， 所以，所以，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； 不等式，即，即，解得或， 即不等式的解集为或，故D正确； 故选：ABD 11. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小值为0 C. 的定义域为 D. 的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数的解析式，再逐项判断即得. 【详解】由，而， 所以，故A错误； 当时，，因此的最小值为0，故B正确； 在函数中，，即， 所以函数的定义域为，故C正确； ，由，即， 所以，所以的值域为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知正实数a，b满足，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由得，根据基本不等式“1”的代换计算即可求解. 【详解】由，得， 又，所以， 所以 ， 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 13. 已知函数的定义域为，，且对于任意实数，有，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，令，求得，再令，得到，结合，即可求解. 【详解】因为对于任意实数，有， 令，则，可得， 再令，则，可得， 又因为，可得. 故答案为：. 14. 已知函数 的值域为，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数在区间上的值域为，再结合函数的值域为，得出函数在上单调递增，可得出函数在区间上的值域，再由两段值域并集为，可得出关于实数的不等式（组），解出即可. 【详解】当时，，则，则函数在区间上的值域为. 又函数的值域为，则函数在上单调递增， 当时，， 所以，函数在区间上的值域为， 由题意可得，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用分段函数的值域求参数，在解题时不要忽略对函数单调性的分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、演算步骤） 15. 设集合，，非空集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合B，进而求出，结合并集的定义与运算即可求解； （2）根据充分、必要条件的定义可得B是A的真子集，结合集合间的包含关系建立不等式组，解之即可求解. 【小问1详解】 若，则非空集合， 所以或，又， 故. 【小问2详解】 由“”是“”的必要不充分条件，得B是A的真子集， 又，所以（不能同时取到等号）， 解得， 即的取值范围为. 16. （1）已知正数a，b满足，求的最大值； （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用基本不等式，求得，进而求得的最大值； （2）令，取得，得到，结合不等式的基本性质，即可求解. 【详解】（1）由正数满足， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即，所以，即的最大值为； （2）令，即， 所以，解得，所以， 因为，，可得， 所以，所以，即的取值范围为. 17. 某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本） （1）求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 【答案】（1）， （2）7万元 【解析】 【分析】（1）由题意计算销售金额、成本，从而可得该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）由（1）得，,，利用基本不等式和对勾函数的性质，即可得出答案． 【小问1详解】 依据题意可知，销售金额万元，创业补助万元，成本为万元， 所以收益，． 【小问2详解】 由（1）可知，， 其中，当且仅当，即时，取等号． 所以， 所以当时，该企业所获收益最大，最大值为74万元． 18. 已知二次函数（）． （1）若二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，且的面积为3，求实数a的值； （2）求关于x的不等式的解集． 【答案】（1）或 （2）①当时，不等式的解集为或，②当时，不等式的解集为，③当时，不等式的解集为，④当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）令得两点的横坐标分别为，令得点的坐标为，代入三角形面积公式列式计算即可； （2）根据、、和分类讨论解不等式即可. 【小问1详解】 令，则有，得两点的横坐标分别为， 令，得点的坐标为， 故的面积为，解得或. 【小问2详解】 不等式可化为， ①当时，不等式的解集为或， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为， ④当时，不等式的解集为. 19. 已知函数（） （1）设函数在区间上的最小值为，求的表达式； （2）对（1）中的，当，时，恒有成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数的图象是开口向上抛物线，且对称轴为，分类讨论，求得函数的最大值，进而求得的表达式； （2）当时，求得，转化为当，恒有，令，得到，分类讨论，求得的取值范围，即可求解. 【小问1详解】 解：函数的图象是开口向上抛物线，且对称轴为， 当时，函数在区间上单调递增，所以； 当时，函数在区间上单调递减，所以； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 所以的表达式为. 【小问2详解】 解：当时，可得，可得， 因为当，恒有成立， 所以当，恒有， 令，则， 当时，即时，，解得，所以； 当时，即时，，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三河二中2024—2025学年度第一学期高一年级第一次月考 数学试题 命题人：屈娜 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题选项中，只有一项符合要求） 1. 已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 满足集合为的真子集且的集合的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 下列哪一组中的函数与表示同一个函数（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，是半圆的直径，点C在上，点F在半圆上，且，设，，请你利用写出一个关于a，b的不等式为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“对任意的正实数，均有”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若函数，则方程的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，其中为不超过x的最大整数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题选项中，有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何?”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数可以为（ ） A. 9 B. 23 C. 128 D. 233 10. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为或 11. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小值为0 C. 的定义域为 D. 的值域为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知正实数a，b满足，则的最小值为______. 13. 已知函数的定义域为，，且对于任意实数，有，则________． 14. 已知函数 的值域为，则实数的取值范围是____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、演算步骤） 15. 设集合，，非空集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围. 16. （1）已知正数a，b满足，求的最大值； （2）已知，，求的取值范围． 17. 某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本） （1）求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 18. 已知二次函数（）． （1）若二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，且的面积为3，求实数a的值； （2）求关于x的不等式的解集． 19. 已知函数（） （1）设函数在区间上的最小值为，求的表达式； （2）对（1）中的，当，时，恒有成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $