精品解析：上海市杨浦区复旦大学附属中学2024-2025学年高二下学期5月阶段性教学质量评估数学试卷

复旦大学附属中学2024－2025学年第二学期高二年级 数学学科5月阶段性教学质量评估试卷 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果． 1. 样本数据14，25，32，46，60的第40百分位数为___________． 2. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是和，则该题被攻克的概率为______． 3. 已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为______． 4. 已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率是.且，则______. 5. 已知数列满足：，且，，则的前100项和为______． 6. 已知直线：，若，，能围成正三角形，则该正三角形的面积为________. 7. 已知曲线上，则直线与的所有交点的横坐标之积为______． 8. 已知正四面体A-BCD的棱长为2，在平面BCD内有一动直线a，求直线a与直线DA所成角的正弦值最小为_______． 9. 如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是______． 10. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，，分别是椭圆柱的上、下底面椭圆的长轴，，且底面椭圆的离心率为，分别为下底面椭圆的左、右焦点，为母线上的动点，为线段上的动点，为过点的下底面椭圆的一条动弦（不与长轴重合），则三棱锥体积的最大值为______. 11. 已知点P （0，2），圆O∶x2 +y2=16上两点，满足 ，则的最小值为___________. 12. 已知数列的前项和为，，且满足，则所有可能的取值个数为________. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑． 13. 已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（ ）． A. B. C. D. 15. 已知定义在的函数，满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 16. 已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（ ） A. ①是假命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①②都是假命题 D. ①②都是真命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 某学校初二年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解初二年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）． 初二男生身高样本的频率分布直方图 组别 频数 频率 4 0.10 8 12 0.30 2 0.05 初二女生身高样本的频率分布表 （1）求的值，并利用初二男生身高频率分布直方图估计男生样本的平均数； （2）若女生身高的样本方差为70.4，男生身高的样本方差为89，请根据题目图表所给信息，求初二年级学生身高的样本平均数和方差． 18. 已知数列的前n项和满足． （1）求的通项公式； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 19. 如图，在长方体中，，． （1）设、分别为和中点，求证：平面； （2）在（1）的条件下，求点到平面的距离； （3）当点为线段（不含两个端点）上的动点时，求二面角的取值范围． 20. 如图，在直角坐标平面xOy中，中（）为正三角形，且满足，． （1）求点的横坐标关于正整数n的表达式； （2）求证：点，，…，…在抛物线：上； （3）过（2）中抛物线：的焦点F作两条互相垂直的弦AC和BD，求四边形ABCD面积的最小值． 21. 在平面直角坐标系中，双曲线． （1）求的两条渐近线的夹角； （2）给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； （3）对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复旦大学附属中学2024－2025学年第二学期高二年级 数学学科5月阶段性教学质量评估试卷 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果． 1. 样本数据14，25，32，46，60的第40百分位数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数定义计算求解. 【详解】因为，所以样本数据14，25，32，46，60的第40百分位数为. 故答案为：. 2. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是和，则该题被攻克的概率为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式求解. 【详解】由题意，该题被攻克的概率为. 故答案为：. 3. 已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两点求得直线的斜率，根据二倍角的正切公式求得直线的斜率. 【详解】因为直线经过点、两点，所以， 设直线的倾斜角为，所以，故， 故直线的斜率为. 故答案为：. 4. 已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率是.且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意求出事件A与B有一个发生的概率，结合，求得，即可求得答案. 【详解】由题意事件A与B互斥，它们都不发生的概率是， 则，结合， 可得，即，可得， 故， 故答案为： 5. 已知数列满足：，且，，则的前100项和为______． 【答案】5000 【解析】 【分析】根据，可得数列的奇数项和偶数项都是以为公差的等差数列，再根据等差数列的前项和公式结合分组求和即可得解. 【详解】因为， 所以数列的奇数项和偶数项都是以为公差的等差数列， 所以当为奇数时，， 当为偶数时，， 故，， 所以 ， 所以的前100项和为. 故答案为：. 6. 已知直线：，若，，能围成正三角形，则该正三角形的面积为________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可知原点到直线的距离1，所以直线是圆的切线，进而可知圆是三角形的外接圆，继而可求三角形面积. 【详解】根据题意原点到直线的距离， ∴直线为圆的切线，如图， 设正三角形边长为，如图时, ∴，解得， 即； 如图时，. 故答案为：或. 7. 已知曲线上，则直线与的所有交点的横坐标之积为______． 【答案】 【解析】 【分析】将分别与、联立，利用韦达定理即可求解. 【详解】由，得， 即4或， 所以曲线由圆与椭圆组成， 将代入，得， 由判别式大于0，得该方程有两个不相等的实根，则， 将代入，得， 由判别式大于0，得该方程有两个不相等的实根，， 则，则， 故答案为： 8. 已知正四面体A-BCD的棱长为2，在平面BCD内有一动直线a，求直线a与直线DA所成角的正弦值最小为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设正四面体的顶点A在平面BCD上的射影为O，则O是正三角形BCD的中心.在正三角形BCD中，根据正三角形中心的性质，可求得当直线a与DO平行时为D与正三角形BCD中心O的连线，直线a与直线DA所成角最小.此时就是直线a与直线DA所成的角或其补角，进而通过计算可求得结果 【详解】设正四面体的顶点A在平面BCD上的射影为O，则O是正三角形BCD的中心. 因为正三角形BCD的边长为，则. 当直线a与DO平行时为D与正三角形BCD中心O的连线，直线a与直线DA所成角最小. 此时就是直线a与直线DA所成的角或其补角， 在直角三角形ABO中，，， 由勾股定理可得 在直角三角形ADO中，，， 则直线a与直线DA所成角的正弦值最小为 故答案为：. 9. 如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是______． 【答案】5 【解析】 【分析】由已知可得点在平面上，且平面，再利用数量积的几何意义可求出的不同取值的个数. 【详解】因为点满足且，所以点在平面上， 因为，所以为平面的中心，此时平面， 由数量积的几何意义可知在的投影有5种情况：0，，， 所以数量积的不同取值的个数是5. 故答案为：5 10. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，，分别是椭圆柱的上、下底面椭圆的长轴，，且底面椭圆的离心率为，分别为下底面椭圆的左、右焦点，为母线上的动点，为线段上的动点，为过点的下底面椭圆的一条动弦（不与长轴重合），则三棱锥体积的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由，要使三棱锥体积最大，只需的面积和到平面距离之和都最大，求解即可. 【详解】连接，，由， 要使三棱锥体积最大， 只需的面积和到平面距离之和都最大， ，令，且，则， ， 当时，有最大值， 在下底面内以为原点，构建如图所示的直角坐标系， 由题设，长轴长， 因为底面椭圆的离心率为，所以焦距为，所以短轴长， 则椭圆方程为，，且，设， 联立椭圆得，， ，， 令，， 由对勾函数性质可知在上递增，， 综上，三棱锥体积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题是解析几何与立体几何的综合问题，解析几何部分要用好椭圆的定义、方程和性质，确定图形中各点的位置，利用韦达定理解决弦长；椭圆中立体几何部分要用好几何体的结构特征. 11. 已知点P （0，2），圆O∶x2 +y2=16上两点，满足 ，则的最小值为___________. 【答案】48 【解析】 【分析】将原式化为，而分别表示到直线的距离，取的中点，设在直线的射影为，则原式=，根据圆的性质可以知道在以为直径的圆上，其中，进一步即可得到答案. 【详解】由题意，三点共线，设为的中点，在直线的射影分别为，点O到直线的距离， ∴与圆相离 ，如图： 而 ， 易得，即，∴在以为直径的圆上，其中. ∵，当共线，且在之间时取“=”. ∴的最小值为. 故答案为：48. 【点睛】本题突破口有两点，一是将原式转化为距离的问题，这需要我们对距离公式非常熟悉；二是取的中点，这就需要对圆的性质要敏感，提到弦立马要想到弦心距，进而问题才能得解. 12. 已知数列的前项和为，，且满足，则所有可能的取值个数为________. 【答案】 【解析】 【分析】对递推式平方累加得到前 n 项和与第 n 项的关系，分析第 26 项的所有可能取值，代入后利用函数对称性去重统计个数。 【详解】已知 ，两边平方得：，即， 上式对 从 到 累加，左边为 （），右边为 ， 因此，整理得前 项和，故 。 由递推关系 ，为偶数，与奇偶性相反，因此数列的奇偶性会交替变化，所以可归纳得： 为偶数时， 是奇数， 取值为 （共 个值）， 因此 时， 是从 到 的所有奇数，共 26 个值， 令 ，则 是从 到 的所有偶数， 由于 ，只需考虑非负偶数 ：（共 14 个）， 函数 在 时先减后增，最小值在 附近， 时， 严格递增，无重复； 时， 严格递减，无重复， 与时， 的值无重复， 时，； 时，，二者结果重复， 因此 14 个非负 对应 13 个不同的 . 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑． 13. 已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合等比数列的性质判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可判断出答案. 【详解】由题意知数列是等比数列，设其公比为q， 则，， 当时，显然成立； 当时，不妨取，此时，满足， 但不成立， 故“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 14. 在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出和，然后求出平面的法向量，再逐个分析各个向量是否与法向量共线即可. 【详解】因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于A，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以A错误， 对于B，因为，所以此向量与共线，所以此向量是平面的法向量，所以B正确， 对于C，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以C错误， 对于D，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以D错误. 故选：B 15. 已知定义在的函数，满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过已知的递推公式，逐步推导出的表达式，进而求出的值.首先对递推公式进行变形，构造出一个新的数列，求出新数列的通项公式，再得到的通项公式，最后代入求值. 【详解】因为，等式两边同时除以， 得到. 设，则，且. 所以是以0为首项，为公差的等差数列. 所以该数列的通项公式为. 所以. 所以. 故选：B. 16. 已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（ ） A. ①是假命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①②都是假命题 D. ①②都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】设出椭圆、双曲线方程及点的坐标，结合三角形重心坐标公式利用点的坐标求出直线方程，再与椭圆或双曲线方程联立，判断是否有两个不同解即得. 【详解】椭圆是“自稳定曲线”. 设椭圆方程为，令，则，设， 由是的重心，知，直线过点， 当时，若，直线与椭圆有两个交点，符合题意， 若，直线与椭圆有两个交点，符合题意， 则当，即时，存在两点，使得的重心为原点， 同理，当，即时，存在两点，使得的重心为原点， 当时，，两式相减得， 直线的斜率，方程为，即， 由消去并整理得：， ，即直线与椭圆交于两点，且是的重心， 即当时，对于点，在椭圆上都存在两点，使得为的重心， 综上，椭圆上任意点，在椭圆上都存在两点，使得为重心，①为真命题； 双曲线不是“自稳定曲线”. 由对称性，不妨令双曲线方程为，令，则，设， 假设是的重心，则，直线过点， 当时，直线或直线与双曲线都不相交，因此， ，两式相减得， 直线的斜率，方程为，即， 由消去并整理得：， ，即直线与双曲线不相交， 所以不存在双曲线，其上点及某两点，为的重心，②是假命题. 故选：B 【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解，还要注意验证. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 某学校初二年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解初二年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）． 初二男生身高样本的频率分布直方图 组别 频数 频率 4 0.10 8 12 0.30 2 0.05 初二女生身高样本的频率分布表 （1）求的值，并利用初二男生身高频率分布直方图估计男生样本的平均数； （2）若女生身高的样本方差为70.4，男生身高的样本方差为89，请根据题目图表所给信息，求初二年级学生身高的样本平均数和方差． 【答案】（1），169 （2）平均数为166，方差为100.8． 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求，再代入平均数公式，即可求解； （2）首先根据频率公式计算，再计算女生的平均数，再根据（1）的结果，代入总体平均数公式和总体方差公式，即可求解. 【小问1详解】 可得， 此时男生身高平均数为． 【小问2详解】 结合分布表，，因此，进而，此时计算得到女生身高平均数为． 因此初二年级身高平均数为，方差为． 18. 已知数列的前n项和满足． （1）求的通项公式； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列前项和与通项的关系来求解数列的通项公式，最后需要检验时的情况是否满足时的通项公式． （2）已知条件得到关于的不等式，通过构造数列，求出数列的最小值，进而确定的取值范围． 【小问1详解】 ，则当时，， 当时，，不符合， 所以． 【小问2详解】 因为，，所以，． 令，则， 当时，不妨设的第n项的值最小， 只需令， 解得， 又， 所以的最小值为， 所以，即的取值范围是． 19. 如图，在长方体中，，． （1）设、分别为和中点，求证：平面； （2）在（1）的条件下，求点到平面的距离； （3）当点为线段（不含两个端点）上的动点时，求二面角的取值范围． 【答案】（1）证明: 连接，交于中点，连接，则且， 所以是平行四边形，进而． 因为平面，不在平面上，所以平面． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取中点，可证，由线面平行的判定定理可证线面平行； （2）利用等积法或向量法可求点到平面的距离； （3）建立如图所示的空间直角坐标系，，设利用向量法可用表示二面角的余弦值，利用二次函数的性质或导数可求二面角的取值范围. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 法1：，． 在中，，，， 所以，， 故，故所求距离． 法2：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则，，设平面的一个法向量为， 则，令，则，故， 而， 所以所求距离． 【小问3详解】 以为原点建系，，， 设平面的一个法向量为，则，令，则，故. 设，，， 设平面的一个法向量为，则，令，则，故， 因为的方向为轴正向、轴负向， 而的方向为坐标轴的正向， 故二面角的大小等于， 而， 则， 法1：当时，； 当时，， 故所求范围为． 另：令，而， 故， 令，则， 则在上严格递增，值域为， 故故所求范围为． 20. 如图，在直角坐标平面xOy中，中（）为正三角形，且满足，． （1）求点的横坐标关于正整数n的表达式； （2）求证：点，，…，…在抛物线：上； （3）过（2）中抛物线：的焦点F作两条互相垂直的弦AC和BD，求四边形ABCD面积的最小值． 【答案】（1） （2）设点的坐标为， 则，即， 所以， 所以点，，，在抛物线上； （3） 【解析】 【分析】（1）根据，结合等差数列的前项和公式求解即可； （2）设点的坐标为，则，再将点的坐标代入即可得证； （3）设直线的方程为，联立方程，利用弦长公式求出，再将用代换求出，从而可得出四边形ABCD面积的表达式，进而可得出答案. 【小问1详解】 由， 可得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 抛物线的焦点为， 互相垂直的弦和显然都不垂直坐标轴， 设直线的方程为， 代入，得， 则有， 所以， 将上式中的用代换，得， 于是 当且仅当，即时，取等号， 所以四边形面积的最小值为18． 【点睛】 21. 在平面直角坐标系中，双曲线． （1）求的两条渐近线的夹角； （2）给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； （3）对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 【答案】（1）． （2） 当时，最小值为； 当时，最小值为． （3）4 【解析】 【分析】（1）写出渐近线方程即可判断夹角； （2）设，再根据两点间距离公式化简，求解一元二次函数的最值即可； （3）设为好点，则根据好点定义求出，再根据好点定义求出直线与双曲线交于同一支时得出，即时，即可求出，求出四边形面积即可. 【小问1详解】 渐近线，夹角为． 【小问2详解】 设，或， 则 ， 当即时，令，最小值为； 当即时，令，最小值为． 【小问3详解】 设为好点，考虑、需满足的充要条件． 若直线的斜率存在，设直线，， 将与联立，得．（*） 则，，， 而 ， ①当直线与的左右两支都有公共点，即时， ，当时有最小值． 这说明，； ②当直线与的左支有两个公共点或与右支有两个公共点时， 需满足的条件为：且（*）式的判别式． 此时可得：． 这说明时，判别式条件不能成立． 即时，． 当时，，解得． 另一方面，当时，． 两边平方后即得． 若直线斜率不存在，假设直线与双曲线存在交点， 则，则，， 则，显然与好点矛盾； 因此，为好点当且仅当， 于是所有好点对应的区域为， 即由构成的正方形，故所求面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $