上海市杨浦区复旦大学附属中学2024-2025学年高二下学期5月阶段性教学质量评估数学试卷

复旦大学附属中学2024－2025学年第二学期高二年级 数学学科5月阶段性教学质量评估试卷 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果． 1. 样本数据14，25，32，46，60的第40百分位数为___________． 2. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是和，则该题被攻克的概率为______． 3. 已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为______． 4. 已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率是.且，则______. 5. 已知数列满足：，且，，则的前100项和为______． 6. 已知直线：，若，，能围成正三角形，则该正三角形的面积为________. 7. 已知曲线上，则直线与的所有交点的横坐标之积为______． 8. 已知正四面体A-BCD的棱长为2，在平面BCD内有一动直线a，求直线a与直线DA所成角的正弦值最小为_______． 9. 如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是______． 10. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，，分别是椭圆柱的上、下底面椭圆的长轴，，且底面椭圆的离心率为，分别为下底面椭圆的左、右焦点，为母线上的动点，为线段上的动点，为过点的下底面椭圆的一条动弦（不与长轴重合），则三棱锥体积的最大值为______. 11. 已知点P （0，2），圆O∶x2 +y2=16上两点，满足 ，则的最小值为___________. 12. 已知数列的前项和为，，且满足，则所有可能的取值个数为________. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑． 13. 已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（ ）． A. B. C. D. 15. 已知定义在的函数，满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 16. 已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（ ） A. ①是假命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①②都是假命题 D. ①②都是真命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 某学校初二年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解初二年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）． 初二男生身高样本的频率分布直方图 组别 频数 频率 4 0.10 8 12 0.30 2 0.05 初二女生身高样本的频率分布表 （1）求的值，并利用初二男生身高频率分布直方图估计男生样本的平均数； （2）若女生身高的样本方差为70.4，男生身高的样本方差为89，请根据题目图表所给信息，求初二年级学生身高的样本平均数和方差． 18. 已知数列的前n项和满足． （1）求的通项公式； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 19. 如图，在长方体中，，． （1）设、分别为和中点，求证：平面； （2）在（1）的条件下，求点到平面的距离； （3）当点为线段（不含两个端点）上的动点时，求二面角的取值范围． 20. 如图，在直角坐标平面xOy中，中（）为正三角形，且满足，． （1）求点的横坐标关于正整数n的表达式； （2）求证：点，，…，…在抛物线：上； （3）过（2）中抛物线：的焦点F作两条互相垂直的弦AC和BD，求四边形ABCD面积的最小值． 21. 在平面直角坐标系中，双曲线． （1）求的两条渐近线的夹角； （2）给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； （3）对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 复旦大学附属中学2024－2025学年第二学期高二年级 数学学科5月阶段性教学质量评估试卷 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果． 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】##0.6 【3题答案】 【答案】## 【4题答案】 【答案】## 【5题答案】 【答案】5000 【6题答案】 【答案】或 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】5 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】48 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑． 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】B 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 【17题答案】 【答案】（1），169 （2）平均数为166，方差为100.8． 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）证明: 连接，交于中点，连接，则且， 所以是平行四边形，进而． 因为平面，不在平面上，所以平面． （2）； （3）. 【20题答案】 【答案】（1） （2）设点的坐标为， 则，即， 所以， 所以点，，，在抛物线上； （3） 【21题答案】 【答案】（1）． （2） 当时，最小值为； 当时，最小值为． （3）4 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $