广东省广州市天河中学2024-2025学年高一下学期5月能力考试数学试卷

广州市天河中学高中部2024学年第二学期能力考试 高一数学试卷 命题人：党光瑞 审题人：伍娟 本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 设，是两条不同直线，，是两个不同的平面，则下列说法中错误的是（ ） A 若平面，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 已知非零向量，满足，且，则向量，的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 2021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（ ） A. 甲化学成绩领先年级平均分最多. B. 甲有2个科目的成绩低于年级平均分. C. 甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理. D. 对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果. 5. 如图，在等边中，，点P为边BC上的一动点，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 6. 有一组从小到大排列的样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，，则（ ） A. 数据的标准差不小于数据的标准差 B. 数据的中位数与数据的中位数相等 C. 若数据的方差为m，则数据的方差为 D. 若数据的极差为d，则数据的极差为 7. 如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（ ）百米. A. B. C. D. 3 8. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.一个二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为，则该二十四等边体的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若A＞B，则 B. 若，则有两解 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则等腰三角形或直角三角形 10. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则关于此正四棱台的结论正确的有（ ） A. 侧面积为 B. 体积为 C. 侧面与底面所成角的正切值为 D. 外接球的表面积为 11. 如图，在四边形中，和是全等三角形，． 下面有两种折叠方法将四边形折成三棱锥． 折法①；将沿着折起，得到三棱锥，如图1．折法②：将沿着折起，得到三棱锥，如图2．下列说法正确的是（ ） A. 按照折法①，三棱锥的外接球表面积恒为 B. 按照折法①，存在满足 C. 按照折法②，三棱锥外接球体积的最大值为 D. 按照折法②，当时，与平面所成角的正切值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 样本数据7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位数为________． 13. 已知，向量在向量上的投影向量为，则______. 14. 在棱长为1正方体中，分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是_______；与平面所成角的正切值为_______． 四、解答题 15. 已知的内角A，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，为线段的中点，且，求的面积. 16. 如图，三棱柱中，E为中点，F为中点． （1）求证：平面ABC； （2）若，平面平面ABC，，求证：平面ABC． 17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数和平均数 （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 18. 已知四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，. （1）求证： （2）求点到平面的距离： （3）求二面角的正弦值 19. 在中，，，若是的中点，则；若是的一个三等分点，则；若是的一个四等分点，则 （1）如图①，若，用，表示，你能得出什么结论？并加以证明． （2）如图②，若，，与交于，过点的直线与，分别交于点，． ①利用（1）的结论，用，表示； ②设，，求的最小值． 广州市天河中学高中部2024学年第二学期能力考试 高一数学试卷 命题人：党光瑞 审题人：伍娟 本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、多选题 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】AD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 【12题答案】 【答案】11 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. ## 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【17题答案】 【答案】（1） （2）第75百分位数为84，平均数为 （3）， 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1），证明见解析 （2）①；② 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$