河北省保定市六校联考2024-2025学年高二下学期6月期末质量检测数学试题

2024~2025学年度高二年级6月质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1.B由x2-x一6<0，得-2<x<3,所以A=(-2,3),所以A∩B={-1,0,1}.故选B. 2A云六含，=3.因为经验回归直线=10x十30经过点G,所以了=10元十30=60.之=20 1200.故选A. 3D(x-2)°的第r+1项为T=C-(-是)广=(-2)rC,令6-2r=0,r=3,所以常数项为T =(一2)C=一160.故选D 4.C由题意知，随机变量X的可能取值为0,3，因为P(X=3)=0.4.P(X=0)=1一0.4=0.6，所以E(X) =0×0.6+3×0.4=1.2,D(X)=(0-1.2)×0.6+(3-1.2)2×0.4=2.16.故选C 5.C事件AB包含2个基本事件，事件A包含15个基本事件，则P(B1A)=”AB)=二 ”(A)=后故选C 6.D因为幂函数f(x)=x寸在R上单调递增，所以a>b信等价于a>b,因为幂函数g(x)=x8在 (-∞，0)和(0，+∞)上单调递减，且x∈(-o∞，0)时，g(x)<0,x∈(0，+∞)时，g(x)>0,所以a3< b8等价于a>b>0或0>a>b或a<0<h.当a=1,b=-1时，a>b,但不能推出a>b>0或0>a>b或a<0 <b,所以充分性不成立；当a=一1，b=1时，a<0<b,但不能推出a>b,所以必要性不成立.综上所述，“a京> b”是“a3<ba”的既不充分也不必要条件.故选D, 7.D题意知x的取值依次为0,2.4,6，其中p(X=0)=C(分)广'（号）广'=P(X=2)=G(号）（受） +G(号)广（号）广-8.P(X=40=G×号×（号）'+c(号)'×=是Px=6)=C()°+ C(合)°=2·所以E(X)=0×是+2×号+4×是+6×克-总故选D. 1 8.A令f(.x)=e一xe(0.1).则f(x)三e1)=Cx-1)?,令p（x)=(x—1) 1则(x)=C(x一1)(x十1)，当x∈(0,1)时，9'(x)<0,所以9(x)在(0,1)上单调递减，所以9(x)< 1 9(0)=0.即/(x)<0,所以f(x)在(0.1上单调递减，所以f0.1)<f0),即1-1-0.<0.所以 -lK号，即a<b:令g)=e-lhx+1D-1,则k()=e-h令ax)=e-h则w()=e 1 十(x十1>0，所以m(x)在(-1，+o)上单调递增，因为om(0)=0,所以当x∈(0，十∞)时w(x)>0,即 g(x)>0,所以g(x)在(0，十o)上单调递增，所以g(0.1)>g(0),即e1一ln1.1-1>0,所以e41一1> lnl.1,即a>c,所以c<a<b.故选A. 9.BD若线性相关系数是正数，则变量x,y正相关.故选BD, 10.ABD对于A,不选主食A的方法种数为CC=30,A正确：对于B,主食B和配菜b都选的方法种数为 CC=12,B正确：对于C,配菜c,d至少选1种的方法种数为C(C号十CC)=42,C错误：对于D,主食D, 配菜d,e只选2种的方法种数为CCC十(CC=21,D正确.故选ABD. 3y=a, 1.ACD由题意知，f(x)=2a-2nr=2a21血工=0在(0，十o)上有2个不同的根，即 y=nx在 (0,十oo)上有2个不同的交点.令h(x)=n(>0),则'(x)=1n工，h(x)>0→0<r<e,/(x)<0→ x>e,所以h(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十∞)上单调递减，又因为h(e)=h(1)=0,当x0时，h(x)一 -,当一+时，h()0,所以当0<a<时y=a与h(x)=I在(0.十o)上有2个不同的交点，且 【高二年级6月质量检测·数学参考答案第1页（共4页）】 25-L.-846B 1<<e<,故A正确，B错误：对于C,由题意知a=h(x)=h,所以f(x)=2am-ln2x1=2n ln=-(n-1)2+1,又因为1<x<e,所以0<ln<1,则f(.x)<1,故C正确：对于D.设1=> 1.所以a---侣，解得n有兴片h6=,所以n+n=中，令g0 t-1 h一2，则g0=D一名>0，所以g0在1，+四)上单递啦，则g0>g1 0,所以1n>2D=》l血L2=ln西十n>2=1>e2,故D正确.故选ACD. t+1 t-1 12.6r一2-5=0由已知，得1)=宁了()=是+所以了1)=3，所以所求切线方程为y一号 3(x-1),即6.x-2y-5=0. 13.3令x=-1,得a一a1十a2一as十…+a2et一a2gs=-322s,因为T+1=C3gs(2x)225(-1)',所以当 r为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即<0(k∈N),当r为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即 a+1>0(k∈N),所以|au|+|a|+a2|十…+|a2s|=-(ao-a十a2-a3十ae21-a2gs)=32o5,又 3225=(4-1)=C2s45一C以5426e+C8s2一C3e5422十…+C号8影4一1，故|a1|+|a2|+ |a3十…十ags|被4除余3. 14.7 因为x,y>0,x+y=1,所以+y+2x二中=2++2x(x+)=y(x+v)+(土22 Ty ry 士-号+兰十22√停·立+8=7当且仅当号-兰，即=专-号时，等号成立.所以 y 2土2+2x二十1的最小值为7， ty 15.解：(1)5个人做5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，不同的分配方案总数 为3=120…6分 (2)方法一：甲不在正中间，乙不在排头的排法可以分两类： ①甲在排头，其他4人随机排，则有A=24种排法； ②甲不在排头也不在正中间，甲有3个位置可以选择，乙不在排头，有3个位置可以选择，其他3人随机排， 则有CCA=54种排法. 综上所述，甲不在正中间，乙不在排头的排法种数共有24十54=78种.…13分 方法二：5人随机排有A=120种排法，其中甲在正中间，其他4人随机排，有A一24种排法，乙在排头，其 他4人随机排，有A=24种排法，甲在正中间，乙在排头，其他3人随机排，有A=6种排法. 综上所述，甲不在正中间，乙不在排头的排法种数共有120一24一24+6=78种. …13分 16.解：(1)2×2列联表如下： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 145 105 250 每天使用时长低于2小时 30 120 150 合计 175 225 400 …2分 零假设H:“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”无关联。 …3分 因为X=400XC52930X05》≈5.010>10.828=m1, 4444…4… 250×150×175×225 5分 根据小概率值α=0.001的独立性检验，可以推断H不成立，即认为“学生近视”与“每天使用电子产品时长 是否低于2小时”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001.…6分 (2)由分层随机抽样知：在每天使用电子产品不低于2小时的学生中抽取105×是=7人，在每天使用电子 产品低于2小时的学生中描取120×亮-8人 …7分 【高二年级6月质量检测·数学参考答案第2页（共4页）】 25-1.-846B 所以X的可能取值为0,1.2,3,4,5， 8分 所以PX=0)-是-离P(X=D-9-瑞，PcK=2) C 70 C8C送_168_56 Cis C 4291431 P(X=3)= -器PX=4)- = 40 .....0...0.00.. C C ,P(X=5)= C 143' 12分 故X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 8 70 56 140 40 1 429 429 143 429 429 143 所以EX)=0X高+1×瑞+2X需+3×揭+4X揭+5x市 40 1001 7 429 3 …15分 17.解：(1)方法一：因为f(x)为奇函数，所以f(一x)=一f(x), log:(4+x)-log (4a-ax)=-log:(4-x)+log:(4a+ax), 4十王=log-1 所以log4a-a.x 4a,即4±工=4a十a】 '4a-a.x4-x …2分 化简可得(a2-1)x2+16(1一a)=0,因为上式对定义域内一切x都成立，所以a-1=0,解得a=1或a …4分 当a=1时，f(x)的定义域为（一4,4），关于原点对称，f(一x)=一f(x),满足f(x)为奇函数： 当a=一1时，f(x)的定义域为（一∞，一4），不关于原点对称，不满足f(x)为奇函数： 综上所述，=1…6分 方法二：当a>0时，f(x)的定义域为（一4,4），关于原点对称， 因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0,即log24一l0g(4a)=0,解得a=1.…2分 当a=1时，f(-x)=log(4+x)-log(4-x),-f(x)=-log(4-x)+log(4+x), 所以f(一x)=一∫(x),∫(x)为奇函数，满足题意.…4分 当a<0时，f(x)的定义域为（一o∞，一4），不关于原点对称，不满足f(x)为奇函数. 综上所述，a=1.… …6分 (2)浦1)知fx)=l6g(4-)-6g(4+x)=l0g行og(平-1)，定义域为(-4，， 当[-器号]时，函数)，1单润递减，且1[子8]，所以x)∈[-2,31. …8分 令f(x)|=t,则t∈[0,3]，g(x)>0恒成立等价于f一mt十8>0恒成立，…10分 当1=0时，-mt十8=8>0，… …11分 当1(0,3]时，f-m+8>0恒成立，即m1+8恒成立， 又1+>≥2√氵=42，当且仅当1=及，即1=22时，等号成立… 13分 所以m<42,即m的取值范围是（一o∞，42）.… 15分 1&(1)解：函数x)的定义城为0，+o,且fx)=k-士， ,…1分 因为x∈(0，十o∞)，所以当k≤0时，(x)<0,故f(x)在(0，十o∞)上单调递减；…3分 当k>0时，令了()>0，得>：令了()<0，得0<x<, …4分 所以f(x)在(0，)上单调递减，在（石，十∞）上单调递增。 综上所述，当≤0时，f(x)在(0，十∞)上单调递减： 当>0时，f代)在(0，方)上单调递减，在（卡，十∞）上单调递增。 …6分 (2)解：当k=1时，f(x)=x-lnx,所以g(x)=x一ln(x十1)十1-a, 所以gx)的定义域为-1.+o∞)，g气)=1一有=南 7分 【高二年级6月质量检测·数学参考答案第3页（共4页）】 25-1.-846B 令g'(.x)<0,得-1<r<0,令g'(.x)>0,得>0. 所以g(x)在（一1,0）上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 所以g(x)mn=g(0)=1-,…9分 显然当x→十∞时，g(x)→十o∞， 又g(x)存在零点，所以1一a≤0，所以a≥1，即a的取值范围为[1，十∞). 4*44*44t*t 10分 (3)证明：由(2)知当a=1时，g(x)=x一ln(x十1)≥0，当且仅当x=0时等号成立， 所以Vx∈(0，+∞)，ln(r+1)<x, 11分 取x=i=12.3…m0,有n(1十）片(i=12,3…0…13分 所以n(1+是）+ln(1+是)+n(1+是)+…+n(1+)<是+是+是+…+ ,…14分 n(n+1) 所以n(+)(1+是)(+是）-(1+是)]<1+2+++- =n+1 2n 所以(1+是)(1+是)(1+是）…(1+是)<岁=)+片. …17分 19.(1)解：因为X~Pis0m(λ)，且A=25>20,可近似地认为X~N(入，A),即X~N(25,25),=25,o=5, …1分 所以P(15<X<30)≈P(-2G<X<4十g)=P(4-2a<X<)+P(≤X<4+a) =0.95450.6827=0.8186.…3分 2 (2)解：①由题知X一P0iss0m(入)，其中1=np=1000X0.003=3,…4分 p(X2)e2号4.5X0.05=0,25,…5分 @PX=)=ePX=+1)=31e (i+1)！ 所以PX=+D31.!。3 P(X=0(汁1)月3开有 7分 当1时，P>1,当>2时，亮1，当=2时，》=1 所以P(X=1)<P(X=2)=P(X=3)>P(X=4)>… 所以当X=2,或X=3时，P(X=i)最大。… 9分 (3)证明：因为X~Poisson(A),所以P(X>1)=1-P(X=0)一P(X=1), 由泊松分布的概率公式，得P(X=0)=ea,P(X=1)=入e, 所以P(X1)=1-e-xe1=1-(1+)e=1-1+2 ，4+44444444t04444444044444t 11分 要证当0<<0.1时，P(X1)<0.01,只要证当0<<0.1时，1中2>0.9. …12分 令g(x)=史(x>0),则g(x)=-是<0， e 所以g(x)在(0，十∞)上单调递减，… 13分 又0.1)=101，所以只要证8>09明， 因为0.99=1-0.12=(1十0.1)(1-0.1)，所以只需证e%1>1-0.1.…15分 令h(x)=e-x一1(x≤0)，则h'(x)=e一1<0对任意的x∈(-o∞，0)恒成立， 所以h(x)在（一∞，0）上单调递减，且h(0)=0, 所以h(-0.1)=ea1+0.1-1>h(0)=0,所以e"1>1-0.1, 所以当0<1<0.1时，P(X>1)<0.01.… 17分 【高二年级6月质量检测·数学参考答案第4页（共4页）】 25-1.-846B 2024～2025学年度高二年级6月质量检测 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间 120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册，必修第一册第一章~第四章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|x²-x-6<0},B={-2,-1,0,1,3,5},|则A∩B= A.{-1,0,1,2,3} B.{-1,0,1} C.{-2,-1,0,1} D.{-2,-1,0,1,3} 2.已知一组数据((xᵢ, yi)(i=1,2,…,20)满足线性回归关系，且经验回归方程为 若 则 A.1 200 B.630 C.60 D.30 的展开式中的常数项为 A.240 B.—240 C.160 D.-160 4.篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从3分投篮区域投篮命中计3分，没有命中得0分.已知某篮球运动员三分球命中的概率为0.4，设其投三分球一次的得分为X，则D(X)= A.1.2 B.2.4 C.2.16 D.2.52 5.抛掷两枚质地均匀的骰子，一枚红色，一枚蓝色.记事件A：“红骰子的点数小于蓝骰子的点数”,事件B:“两枚骰子的点数之和是6”,则P(B|A)= A. B. C. D. 【高二年级6月质量检测·数学 第1页(共4页)】 学科网（北京）股份有限公司 是的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.一只智能玩具狗在起点处，每次向前或向后跳动一个单位长度，且每次向前、向后跳动的概率均为 ，记第6次跳动后到起点处的距离为X个单位长度，则E(X)= A. 3 B. C. D. 8.已知 则 A. c<a<b B. a<b<c C. c<b<a D. a<c<b 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.对于x，y两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数r(如下)：-0.87，0.72，—0.78，0.85，则正相关的变量x，y所对应的线性相关系数是 A.-0.87 B.0.72 C.-0.78 D.0.85 10.学生食堂提供A，B，C，D共4种主食和a，b，c，d，e共5种配菜，李明同学想点2种主食与2种配菜，则 A.不选主食A 的方法种数为30 B.主食 B 和配菜b都选的方法种数为12 C.配菜c，d至少选1种的方法种数为54 D.主食D，配菜d，e只选2种的方法种数为21 11.若函数 的两个极值点分别为.x₁,x₂,且. 则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数 的图象在x=1处的切线方程是 . 13.若( ,则 +|a₂025||的值被4除的余数为 . 14.已知x,y>0,且x+y=1,则 的最小值为 . 【高二年级6月质量检测·数学 第2页(共4 页)】 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 高二(3)班的3个男生，2个女生(含学生甲、乙)在寒假期间参加社会实践活动.(用数字作答下列问题) (1)社会实践活动有5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数； (2)活动后5人从左到右排成一排拍照，求甲不在正中间，乙不在排头的排法种数. 16.(本小题满分15分) 某市疾控中心为研究青少年每日使用电子产品的时长与近视的关系，随机抽取了400名学生进行调查，将数据整理后得到如下2×2列联表： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于 2小时 105 250 每天使用时长低于2小时 合计 175 400 (1)完善2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于 2小时”有关联? (2)按每天使用电子产品的时长是否低于2小时，利用分层随机抽样的方法从非近视的学生中抽取15人进一步调查其用眼卫生情况，再从这15人中随机抽取5人，记X 为所抽5人中每天使用电子产品不低于2小时的人数，求X 的分布列和数学期望. 参考公式： 其中n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【高二年级6月质量检测·数学 第3页(共4页)】 学科网（北京）股份有限公司 17.(本小题满分15分) 已知函数 是奇函数. (1)求a的值; (2)若g(x)=[f(x)]²-m|f(x)|+8,当 时,g(x)>0恒成立，求m的取值范围. 18.(本小题满分17分) 已知函数 f(x)= kx-lnx(k∈R). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当k=1时,若g(x)=f(x+1)-a存在零点,求实数a的取值范围; (3)证明: 19.(本小题满分17分) 泊松分布是统计与概率学里常见的离散型概率分布，特别适合用于描述单位时间(或单位空间)内随机事件发生的次数，如自然灾害发生的次数等.若随机变量 X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，记作X～Poisson(λ)，则其概率分布为 (1)当λ≥20时，泊松分布可以近似为正态分布N(λ，λ).已知某交通路口平均每分钟通过的车辆数X服从λ=25的泊松分布，试估算在一分钟内该路口通过的车辆数大于15且小于30 的概率；(参考数据：若X～ N(μ,σ²),则 P (μ-σ<X<μ+σ)≈0. 682 7,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9545) (2)若随机变量X服从二项分布，当n≥100且p≤0.01时，二项分布近似于泊松分布，其中λ=np.某工厂生产电子元器件的次品率为0.003，现从一批产品中随机抽取1000件，记其中的次品数为X，按泊松分布近似计算： ①这1000件产品中恰有2件次品的概率；(参考数据： ②求使得 P(X=i)最大时的X值. (3)若X～ Poisson(λ),求证:当0<λ<0.1时,P(X>1)<0.01. 【高二年级6月质量检测·数学 第4页(共4页)】 学科网（北京）股份有限公司 $$