2025年高二下学期数学期末押题卷（二）-2024-2025学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲精练讲义（人教A版2019）

2025年高二下学期数学期末押题卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1、 单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前5项和为（    ） A．11 B．16 C． D． 2．设某商场今年上半年月销售额（万元）关于月份…的经验回归方程为，已知上半年的总销售额为万元，则该商场月份销售额预计为（    ） A． B． C． D． 3．已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．36 D．18 4．某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（    ） （附：，，） A．A B．B C．C D．D 5．已知函数，若在上单调递减．则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．若，则（    ） A．4048 B． C．1 D． 7．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．五位二进制数与出现的概率相同 8．若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．某所高中的辩论队要从5名高一学生和4名高二学生中选出4人去参加一场辩论比赛．下列说法正确的是（　　） A．被选中的4人中恰有1名高一学生的概率为 B．被选中的4人中恰有1名高二学生的概率为 C．如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有105种选法 D．如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有140种选法 10．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A．、为对立事件 B． C． D． 11．微分方程（由导函数求原函数）是微积分的重要分支，例如根据导函数，逆用复合函数的求导法则得（为常数）．已知函数的导函数满足，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则（为常数） C．是函数的极值点 D．函数在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中，所有项的系数和为 . 13．有2名老师和3名学生站成一排照相，若这2名老师都不站在两端，则不同的站法共有 种．（用数字作答） 14．近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为 ．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数 ． （参考公式：决定系数，参考数据：）； 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 16．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若恒成立，求实数的取值集合. 17．致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动．并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表．规定：成绩在内，为成绩优秀． 成绩 人数 5 10 15 25 20 20 5 (1)根据以上数据完成列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关； 优秀 非优秀 合计 男 10 女 35 合计 (2)某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分．若学生甲成绩在内，请列出其本次读书活动额外获得学分数的分布列并求其数学期望． 参考公式：，． 附表： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 18．已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 19．甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 . (1)求 与 ； (2)设 ，求证：数列是等比数列； (3)求 的数学期望 （用 表示）. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高二下学期数学期末押题卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1、 单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前5项和为（    ） A．11 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列前n项和公式求解. 【详解】根据题意，. 故选：A 2．设某商场今年上半年月销售额（万元）关于月份…的经验回归方程为，已知上半年的总销售额为万元，则该商场月份销售额预计为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将的值代入可得，再代入12可得答案. 【详解】由已知数据可得， 因为经验回归方程经过样本的中心点， 所以，解得, 则经验回归方程为. 所以，该商场月份销售额预计为. 故选：C. 3．已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．36 D．18 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式求出，即可求出，再由等差数列求和公式及下标和性质计算可得. 【详解】在等比数列中，，则， 所以，所以， 所以， 则. 故选：C 4．某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（    ） （附：，，） A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【详解】数学测试成绩服从正态分布，则，， 由于等级的概率之和为， 所以 ，而即 故为A等级，为B等级，为C等级， 为D等级， 故105分为A等级． 故选：A. 5．已知函数，若在上单调递减．则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求导根据函数的单调性得，分离常数，结合令在单调递增，解出答案. 【详解】由，得， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 即，得在上恒成立， 令，易得在单调递增， 所以，即，所以． 故选：B. 6．若，则（    ） A．4048 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】通过赋值法令即可求解. 【详解】的展开式的通项公式为， 结合，知均为负值， ， 令，得， 故， 故选：D. 7．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．五位二进制数与出现的概率相同 【答案】D 【分析】依题意可得，根据二项分布的概率公式及期望、方差公式判断即可. 【详解】由二进制数的特点知，每一个数位上的数字只能为或，且每个数位上的数字互不影响， 故的可能取值有0，1，2，3，4，5， 且的取值表示出现的次数，由二项分布的定义，可得， 故，故A错误； 因为，所以，故B错误； ，故C错误， 五位二进制数与出现的概率均为，故D正确． 故选：D． 8．若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先根据零点存在定理判断出在上有唯一实数根，于是时，无解，根据导数可判断时，有最小值，只需最小值大于零即可. 【详解】根据指数函数性质在上单调递增， 故当时，则在上单调递增， ， 根据零点存在定理，在存在唯一零点， 则当时，无零点 时，， 令，则，时，则； 在上单调递减，在上单调递增， 于是时，有最小值 依题意，，解得，所以最小整数为 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．某所高中的辩论队要从5名高一学生和4名高二学生中选出4人去参加一场辩论比赛．下列说法正确的是（　　） A．被选中的4人中恰有1名高一学生的概率为 B．被选中的4人中恰有1名高二学生的概率为 C．如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有105种选法 D．如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有140种选法 【答案】AC 【分析】先求出从9人中任意选4人，共种，再分别求出被选中的4人中恰有1名高一学生和被选中的4人中恰有1名高二学生的方法数，利用古典概率的求法，可判断选项A、B；如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，分甲和乙都不入选，和甲乙恰有1人入选两种情况求解，判断C、D. 【详解】被选中的4人中恰有1名高一学生的概率为，A正确； 被选中的4人中恰有1名高二学生的概率为，B错误； 如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选， 包含两种情况，第一种情况，甲和乙都不入选，有种； 第二种情况，甲乙恰有1人入选，有种选法， 则如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选， 共有种选法，C正确，D错误． 故选：AC 10．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A．、为对立事件 B． C． D． 【答案】AB 【分析】只需注意到事件B是在事件或发生之后可解. 【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故D不正确；，故 C不正确. 故选：AB 11．微分方程（由导函数求原函数）是微积分的重要分支，例如根据导函数，逆用复合函数的求导法则得（为常数）．已知函数的导函数满足，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则（为常数） C．是函数的极值点 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【分析】代入计算判断A；利用复合函数求导法则求导判断B；求出函数。利用导数探讨单调性判断CD. 【详解】对于A，由，当时，，而，则，A正确； 对于B，，且（为常数），B正确； 对于CD，由选项B知，，又，则， ，求导得，当且仅当时取等号， 因此函数在上单调递减，无极值点，C错误，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中，所有项的系数和为 . 【答案】 【分析】令计算可得. 【详解】令，可得所有项的系数和为. 故答案为： 13．有2名老师和3名学生站成一排照相，若这2名老师都不站在两端，则不同的站法共有 种．（用数字作答） 【答案】 【分析】先算2名老师都不站在两端的站法；再算站3名学生的站法，结合分步乘法计数原理解得答案. 【详解】2名老师都不站在两端，故有种站法；剩下3个位置，站3名学生，有种站法， 故不同的站法共有种． 故答案为：. 14．近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为 ．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数 ． （参考公式：决定系数，参考数据：）； 【答案】 【分析】将两边同时取对数可得，结合所给经验回归方程求出，由所给参考数据求出，即可求出决定系数. 【详解】由，将两边同时取对数可得， 令，由最小二乘法得经验回归方程为， 所以， 又 ， 所以． 故答案为：；． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据的关系由：求解即可； （2）根据通项分奇偶分别计算求和，结合裂项相消和等比数列求和公式即可. 【详解】（1）当时，. 当时，， 当时，也符合. 综上，. （2）由 则 ， 故的前项和. 16．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若恒成立，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义分析判断； （2）对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （3）由题意可得不合题意，当时，由（2）可得，所以将问题转化为，构造函数，利用导数求解即可. 【详解】（1）当时，， 所以，即切点坐标为，切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）由题意得：的定义域为， 当时，，则单调递减区间为，无单调递增区间， 当时，令，解得：， 所以当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 综上所述：时，则的单调递减区间为，无单调递增区间， 时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）当时，，不合题意， 当时，由（2）知， 则， 令，则， 所以当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 实数的取值集合为 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是将问题转化为恒成立，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 17．致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动．并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表．规定：成绩在内，为成绩优秀． 成绩 人数 5 10 15 25 20 20 5 (1)根据以上数据完成列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关； 优秀 非优秀 合计 男 10 女 35 合计 (2)某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分．若学生甲成绩在内，请列出其本次读书活动额外获得学分数的分布列并求其数学期望． 参考公式：，． 附表： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)列联表见解析，没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关 (2)分布列见解析，期望值为2.5分 【分析】（1）根据成绩分段表得到优秀人数，结合列联表中的男生优秀人数求得女生优秀人数，然后可以完成列联表；根据列联表数据，利用公式计算K2的观测值k0，与相应临界值比较即可得到结论； （2）先根据成绩分段表求得p的值，然后利用二项分布列计算X的各个取值的概率，列出分布列，根据分布列计算期望即可. 【详解】（1） 优秀 非优秀 合计 男 10 40 50 女 15 35 50 合计 25 75 100 假设: 此次竞赛成绩与性别无关. , 所以没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关； （2）p, P(X=0)= P(X=5)=, P(X=10)=, X的分布列为： X 0 5 10 P 期望值E(X)=5×+10×=2.5（分） 18．已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】（1）对求导，然后对分类讨论即可求出的单调区间； （2）根据的单调性，得出，必有，即，构造，求导，得出在上单调递增，故由得，接下来验证当时的零点情况即可. 【详解】解：（1）的定义域为， 因为， 若，则，则在单调递增； 若，则当时，，当时，， 则在单调递减，则单调递增；              （2）由（1）可知，要使有两个零点，则， 则，即， 构造，则，故在上单调递增， 又，故当时，，故由得， 当时，由，则 结合零点存在性知，在存在唯一实数，使得， 构造，，则， 故在单调递减，又，故，即， 则，故， 则，则，又， 结合零点存在性知，在存在唯一实数，使得， 综上，当有两个零点时，. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属难题. 19．甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 . (1)求 与 ； (2)设 ，求证：数列是等比数列； (3)求 的数学期望 （用 表示）. 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）结合独立事件乘法公式求，利用全概率公式求； （2）利用全概率公式求得、与、的关系，从而得到与的关系，证明数列是等比数列； （3）由（2）得到，再由数学期望的公式得到. 【详解】（1）为“进行1次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，则， 为“进行1次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则， 为“进行2次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，与进行1次操作后甲口袋中黑球的个数有关，则， 为“进行2次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则. （2）是“重复次操作后，甲口袋中有1个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关， 分为有2个、1个、0个3种情况，所以 是“重复次操作后，甲口袋中有2个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关， 分为有2个、1个2种情况，所以， 所以， 从而数列是以为首项，以为公比的等比数列. （3）由（2）知，即，， 的取值范围为，所以 【点睛】思路点睛：找、与、的关系，结合（1）中、的求解思路，进行次操作后甲口袋中黑球的个数与进行n次操作后甲口袋中黑球的个数的关系，求分进行n次操作后甲口袋中有2个、1个、0个黑球3种情况，求分进行n次操作后甲口袋中有2个、1个黑球2种情况，利用全概率公式求得、与、的关系，进而由递推公式得到表达式. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$