期末高分必刷题72道（培优类）-2024-2025学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲精练讲义（人教A版2019）

期末高分必刷题72道（培优类） 一、单选题 1．（24-25高二下·四川资阳·期中）我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题．如果，且数列为等差数列，那么数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列的前4项分别为1，3，6，10，则该数列的前8项和为（    ） A．120 B．220 C．240 D．256 2．（2025·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（24-25高二上·山东烟台·期末）设和分别表示正实数的整数部分、小数部分，例如．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·云南文山·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A．211 B．210 C．11 D．9 5．（24-25高二上·湖北武汉·期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”.原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有一个相关的问题：被3除余1且被4除余2的正整数，按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则的值为（    ） A．24294 B．24296 C．24298 D．24300 6．（24-25高二上·重庆·期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．小明将杨辉三角每行两边的数改成了1，2，3……得到下图中的三角数阵，并将其命名为“南开三角”．假设第行的第二个数为，如．则（    ） A．54 B．57 C．45 D．46 7．（24-25高二下·天津滨海新·期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·广东·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）． A．函数在点处的切线斜率小于零 B．函数在区间上严格增 C．函数在处取得极大值 D．函数在区间内至多有两个零点 11．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·湖北·期中）若，则（   ） A． B． C． D．0 13．（2025·河南郑州·三模）河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（   ） A．450 B．360 C．180 D．90 14．（24-25高二下·全国·期末）展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·上海·期末）6名同学到三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，A场馆安排1名，B场馆安排2名，C场馆安排3名，则不同的安排方法的个数有（    ） A．30 B．60 C．120 D．360 16．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选名不同的裁判员（一名主裁判，一名助理裁判，一名助理裁判，一名第四裁判），其中高一共个班，每个班各一名体育委员，共个女生，个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二下·福建三明·期中）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 18．（2024·上海·三模）下列命题错误的是（    ） A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 B．设，若，则 C．线性回归直线一定经过样本点的中心 D．一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且 19．（23-24高二下·辽宁大连·期末）下列命题中正确的是（   ） A．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是4和0.3 B．对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，则变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强 C．根据变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 D．某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是 二、多选题 20．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 21．（24-25高二上·安徽·期末）已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列为等比数列 22．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知数列的前项和为，，且，则（    ） A． B．是等比数列 C．是等差数列 D．存在，，且，使得，，成等差数列 23．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知数列是等比数列，则下列命题中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．若，，则 C．若数列的前项和，则 D．若，公比，则数列是递增数列 24．（24-25高二上·吉林·期末）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多.斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”，在数学上斐波那契数列以的递推方法定义，已知，，则（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高二上·山西·期末）已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（   ） A． B．是等比数列 C． D． 26．（24-25高二上·河南·期末）设数列是首项为1，公差为2的等差数列，是首项为1，公比为2的等比数列，则下列说法正确的是（   ） A．数列为递减数列 B．若，则 C．存在正整数，使得成等比数列 D．将数列与的所有项从小到大排列组成一个新的数列，则 27．（24-25高二下·山西·期中）已知函数，其导函数为，则下列说法正确的是（    ） A． B．在区间上单调递减 C．无最大值，有最小值 D．若函数有两个零点，则 28．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知函数，则下列说法一定正确的是（   ） A．有两个极值点 B．存在正数，使得在上单调递增 C．存在正数，使得在上单调递减 D．直线是曲线的一条切线 29．（24-25高二上·宁夏银川·期末）已知，且在点处的切线与直线平行，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．有且仅有一个极值点 D．对任意，都有 30．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B．= C．= D．= 32．（24-25高二下·河南三门峡·期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》中.“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第行的各项从左往右依次是二项式展开式中各项的二项式系数.下列结论正确的是（    ） A． B．第2024行中从左往右第1013个数是该行中所有数字中最大的 C．记第行的第个数为，则 D．记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，第行的第3个数字为，则 33．（24-25高二下·湖北·期中）2025年某影院在春节档引入了5部电影，包含3部喜剧电影、2部动画电影．其中《哪吒之魔童闹海》票房超150亿，成为全球动画票房冠军．该影院某天预留了一个影厅用于放映这5部电影，这5部电影当天全部放映，则下列选项正确的是（   ） A．《哪吒之魔童闹海》不排在第1场，共有96种排法 B．两部动画片放映的先后顺序固定（不一定相邻），一定共有60种排法 C．两部动画片相邻放映，共有48种排法 D．3部喜剧电影不相邻，共有24种排法 34．（24-25高二下·山西吕梁·期中）一组样本数据，其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为．分布如图所示，且，则（   ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 35．（24-25高二下·辽宁大连·期中）下列说法正确的是（   ） A．若y关于x的线性回归方程为，则样本点（1，0.7）的残差为 B．在一组样本数据，，……，（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C．数据，，，的平均数为2，方差为12，则 D．在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的3倍（，其中） 36．（24-25高二下·云南昆明·期中）下列结论正确的是（    ） A．一组数据，经过分析、计算，得，，关于的经验回归方程为，则． B．若随机变量满足，则 C．随机变量服从二项分布，若方差，则 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 37．（2025·贵州遵义·模拟预测）下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．已知线性相关系数为，若越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 C．回归直线方程为，则样本点的残差为0.1 D．一组数，，…，的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差不变 38．（2025·贵州黔南·模拟预测）关于随机变量的期望与方差，以下说法正确的是（   ） A．设为随机变量，为常数，则 B．若，则与试验次数无关 C．若，则 D．两点分布中，时，方差最大 39．（24-25高二下·江苏徐州·期中）数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，X近似服从正态分布，其密度函数为，任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布当时，对任意实数x，记，则（    ） A．当时， B． C．随机变量，当，都减小时，概率增大 D．随机变量，当增大，减小时，概率保持不变 40．（24-25高二上·江西九江·期末）现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件表示“取得红球”，事件表示“取得白球”，事件表示“球取自号盒子”，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 41．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知数列满足，且．若是数列的前项积，当取最大值时， ． 42．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知数列满足，且，该数列前20项和 ． 43．（24-25高二上·湖北武汉·期末）记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为 . 44．（24-25高二上·吉林长春·期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法・商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第n层有个球，则数列的前20项和为 . 45．（24-25高二上·福建厦门·期末）数列满足，则 ；记为的前n项和，若关于n的方程有解，则正整数的所有取值为 ． 46．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ． 47．（24-25高二上·广西柳州·期末）已知函数，函数，若恒有，则的取值范围为 ． 48．（24-25高二上·湖南长沙·期末）设不等式；在时恒成立．则实数的最大值为 ． 49．（24-25高二上·江苏泰州·期末）过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程 ． 50．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知曲线与直线相切，则 . 51．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 52．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 53．（2025·湖北黄冈·二模）记为数列的前项和，已知，当时，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 54．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知数列为等差数列，前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)是否存在正整数m，n，（）使得成等差数列？若存在，求出，m，n的值；若不存在，请说明理由． 55．（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数 ． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若有两个零点，求的取值范围． 56．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数，. (1)判断函数的单调性； (2)证明：． 57．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知． (1)求并写出的表达式； (2)记，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求的值． 58．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数 (1)若求在点处的切线方程； (2)若的图象关于点中心对称，求的值． 59．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知函数 (1)若，求； (2)若，函数在处的切线方程为，求的值； (3)若，求曲线与曲线的共同的切线方程． 60．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知函数（其中e为自然对数的底数）． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最值； (3)设函数，若对，不等式恒成立，求a的取值范围． 61．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求实数的取值范围． 62．（24-25高二下·浙江·期中）某校为丰富学生的校园生活决定开展兴趣课，兴趣课包括音乐课，舞蹈课，影视鉴赏课、篮球课、围棋课等十余种．兴趣课共开展3个月，每种课每月4节且必须上满，每节课可得1分且表现优秀可额外获得1分，若本月不少于6分，下月可以选择继续上此课或者选择其他的兴趣课，6分以下则只能上原来的课．现有甲、乙两人是好朋友，在第一个月他们一起选择了音乐课，音乐课上甲每节课表现优秀的概率为，乙每节课表现优秀的概率为． (1)求甲第一个月得分的分布列及数学期望； (2)求第二个月甲乙两人可以一起选择其他兴趣课的概率； (3)若乙每种课的表现优秀率一致，在三个月后乙一共获得21分的情况下，求他在第二个月获得8分的概率． 63．（24-25高三上·甘肃白银）甲、乙两名小朋友每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲的3张卡片的颜色为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随机抽取1张，去与对方交换，重复n次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为． (1)分别求，的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，并求首次出现这种情况的概率p． (2)记． （ⅰ）证明数列是等比数列； （ⅱ）求的数学期望．（用n表示） 64．（24-25高二上·河南南阳·期末）甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环．根据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立． (1)在一场比赛中，求甲击中的环数多于乙击中的环数的概率； (2)若独立进行三场比赛，用X表示这三场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的场数，求X的分布列与数学期望． 65．（24-25高二上·广西桂林·期末）设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为，乙车通过I､II环节的概率分别为，路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为. (1)求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率； (2)设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值. 66．（24-25高二上·黑龙江·期末）某大公司招聘分为笔试和面试，笔试通过后才能进入面试环节，面试环节各部门从笔试通过的人员中抽取部分人员进行该部门的面试.2024年应聘该公司的学生的笔试成绩Y近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该公司预期的平均成绩，求该公司预期的平均成绩大约是多少? (2)现有甲、乙、丙三名应聘者进入了面试，该公司某部门有意在这3人中随机选取2人参加面试.面试分为初试和复试并且采用积分制，满分为10分，其中通过初试考核记6分，通过复试考核记4分，初试通过才能参加复试，应聘者能否正确回答初试与复试的问题相互独立.已知甲和乙通过初试的概率均为，丙通过初试的概率为，甲和乙通过复试的概率均为，丙通过复试的概率为. ①若从这3人中随机选取2人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于16分的概率； ②若甲和乙两人一起参加本次该部门的面试，记他们本次面试的得分之和为X，求X的分布列以及数学期望. 参考数据：若，则：；；. 67．（24-25高二下·辽宁大连·期中）为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图．若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”．已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占70％． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 (1)求图1中m的值； (2)根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，根据调查数据回答：在犯错误的概率不超过5％的前提下，可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关吗？ (3)用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈．这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 68．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 69．（23-24高二下·浙江温州·期中）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 (1)求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； (2)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据：，的方差为200）； (3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：方差：相关系数： 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 70．（23-24高二下·辽宁大连·期末）现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有白球和黑球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏；否则，在盒子中再放入一个黑球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功. (1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和数学期望； (2)有数学爱好者统计了1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如下： 1 2 3 4 5 232 94 57 44 23 经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程，并顶测第7轮成功的人数（精确到1）： (3)证明：（其中且）. 附：回归方程系数：； 参考数据：设， 71．（24-25高二下·云南昆明·期中）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有个红球，个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球. (1)求此人答题三次后，乙罐内球个数的分布列和期望； (2)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球，黑球各个的概率； (3)设第次答题后游戏停止的概率为． ①求； ②是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由． 72．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）甲、乙、丙三人进行一种传球游戏：当球在甲手中时，甲将球保留（也记为一次传球）的概率为，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为，否则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中. (1)设传球三次后，球在甲手中过的次数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)传次球后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式； (3)在第（2）问的条件下，设.求证：. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末高分必刷题72道（培优类） 一、单选题 1．（24-25高二下·四川资阳·期中）我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题．如果，且数列为等差数列，那么数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列的前4项分别为1，3，6，10，则该数列的前8项和为（    ） A．120 B．220 C．240 D．256 【答案】A 【分析】根据题意可知数列的前4项，再由可求出，，由数列为等差数列，可求出的通项公式，代入中再利用累加法可求出的通项公式，从而可求出结果． 【详解】由题意可知数列的前4项为1，3，6，10，即，，，， 因为，所以，， 所以等差数列的公差为， 所以， 所以， 所以，，，， 所以上面个式子相加得 ， 所以， 所以， 故选：A 2．（2025·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据已知条件确定该等差数列的首项、公差，再利用前项和公式建立方程，进而求解鬼工球的层数. 【详解】已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列.设该鬼工球的层数为， 由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即. 根据等差数列前项和公式， 将，，代入可得： ，即 得到，（因为层数为正整数，所以舍去）. 该鬼工球的层数为10. 故选：B. 3．（24-25高二上·山东烟台·期末）设和分别表示正实数的整数部分、小数部分，例如．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出数列的前几项，找出数列的规律，再根据规律求出的值. 【详解】已知，因为，所以，. 根据，可得，化简得到. 因为，所以，. 同理可得. 通过前面的计算，可以发现数列的规律，（）. 当时，. 故选：C. 4．（24-25高二上·云南文山·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A．211 B．210 C．11 D．9 【答案】C 【分析】设出等比数列的公比，利用等式求得，根据等比中项，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，即， 故. 故选：C. 5．（24-25高二上·湖北武汉·期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”.原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有一个相关的问题：被3除余1且被4除余2的正整数，按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则的值为（    ） A．24294 B．24296 C．24298 D．24300 【答案】C 【分析】由题意可得数列为等差数列，则得到其通项公式，代入计算即可. 【详解】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列， 构成首项为，公差为的等差数列， 所以， 则. 故选：C. 6．（24-25高二上·重庆·期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．小明将杨辉三角每行两边的数改成了1，2，3……得到下图中的三角数阵，并将其命名为“南开三角”．假设第行的第二个数为，如．则（    ） A．54 B．57 C．45 D．46 【答案】D 【分析】结合数阵确定其为二阶等差数列即可求解； 【详解】由“南开三角”可得： ， ， ， ， ， ， ， ， 由以上累加可得：， 所以， 故选：D 7．（24-25高二下·天津滨海新·期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出导函数，检验时的情况；当时，令，只需或.代入求解不等式，即可得出答案. 【详解】由已知可得定义域为， 当时，解可得，不满足定义域； 当时，令， 要使函数在区间内存在单调递减区间， 只需满足或. 由可得，，此时有； 由可得，，此时有. 所以，. 综上所述，. 故选：A. 8．（24-25高二下·广东·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数分析其单调性，可判断的大小；同理构造函数，可判断的大小.. 【详解】由，构造，，则， 所以在上单调递增，故，即，故． 由，构造，，则， 所以在上单调递增，故，即，故． 综上，． 故选:D． 9．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出导函数，由已知可转化为有两个不同的正实数解，根据二次函数零点的分布列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】 因为函数有两个极值点， 所以有两个不同的正实数解， 所以有有两个不同的正实数解， 即二次函数有两个不同的正零点， 所以有，解得. 故选：D. 10．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）． A．函数在点处的切线斜率小于零 B．函数在区间上严格增 C．函数在处取得极大值 D．函数在区间内至多有两个零点 【答案】D 【分析】根据导函数的图象，结合函数的切线斜率、单调性、极值、零点与导数的关系逐项判断即可得结论. 【详解】选项A:曲线在点处的切线斜率等于零，故A错误； 选项B:函数在区间上单调递减，故B错误； 选项C:函数在左右两侧都单调递减，函数在此处不取得极大值，故C错误； 选项D:函数在区间先单调递增，再单调递减，故在区间内内至多有两个零点，故D正确． 故选：D． 11．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，利用导数研究单调性，再依次比较各项对应函数值大小即可. 【详解】设，，则， 在上单调递增， 对于A，，化简得，A正确； 对于B，，化简得，B错误； 对于C，，化简得，C错误； 对于D，，化简得，D错误. 故选：A 【点睛】关键点点睛：构造函数，利用导数探讨函数单调性是比较大小的关键. 12．（24-25高二下·湖北·期中）若，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令，可得， 令，可得， 所以， 故选：A 13．（2025·河南郑州·三模）河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（   ） A．450 B．360 C．180 D．90 【答案】A 【分析】根据题意可知分配方式有和两种情况，然后分别计算这两种情况的选法种数，最后相加就是所求答案. 【详解】①计算按照分配的选法种数. 根据分步乘法计数原理，按分配的选法种数为： 种. ②按照分配的选法种数为： 种. 最后将两种选法种数相加得到总的选法种数为种. 故选：A. 14．（24-25高二下·全国·期末）展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使展开式为常数项，则可能是一个和两个相乘，也可能是两个和四个相乘，也可能是所有的相乘，结合二项式定理求解即可. 【详解】要使展开式为常数项，则可能是一个和两个相乘，也可能是两个和四个相乘，也可能是所有的相乘， 所以常数项为：. 故选：D. 15．（24-25高二上·上海·期末）6名同学到三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，A场馆安排1名，B场馆安排2名，C场馆安排3名，则不同的安排方法的个数有（    ） A．30 B．60 C．120 D．360 【答案】B 【分析】根据场馆安排，对6名同学依次分组，利用分步乘法原则即可求得结果. 【详解】首先安排C场馆的3名同学，即； 再从剩下的3名同学中来安排A场馆的1名同学，即； 最后安排2名同学到丙场馆，即. 所以不同的安排方法有：种. 故选：B 16．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选名不同的裁判员（一名主裁判，一名助理裁判，一名助理裁判，一名第四裁判），其中高一共个班，每个班各一名体育委员，共个女生，个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数，再确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数，最后根据条件概率公式得结果． 【分析】第一步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数： 先从名女生中选出一名担任主裁判，有种选法，再从剩下人中选出人分别担任不同的助理裁判以及第四裁判， 注意到四名裁判中既有男生也有女生，所以有种选法， 故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数为， 第二步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数： 先从名女生中选出一名担任主裁判，有种选法； 再从名男生中选出一名担任第四裁判，有种选法； 最后从剩下人中选出人分别担任不同的助理裁判，有种选法， 故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数为， 因此，四名裁判中既要有男生，也要有女生，且在女裁判员担任主裁判的条件下， 第四裁判员是男生的概率为， 故选：A. 17．（24-25高二下·福建三明·期中）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设A=“视频是“AI”合成”，设B=“鉴定结果为“AI””， 则， 由贝叶斯公式得： ， 故选：B． 18．（2024·上海·三模）下列命题错误的是（    ） A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 B．设，若，则 C．线性回归直线一定经过样本点的中心 D．一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且 【答案】D 【分析】选项A，根据相关系数的表示意义即可求解；选项B，根据条件，利用二项分布的性质，得到，即可求解；选项C，根据最小二乘法求回归方程，即可判断选项C的正误；选项D，根据条件，利用超几何分布的定义即可判断. 【详解】对于选项A，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故选项A正确； 对于选项B，由，，得，解得， 故选项B正确； 对于选项C，线性回归直线一定经过样本点的中心，故选项C正确； 对于选项D，由于是不放回地随机摸出20个球作为样本， 由超几何分布的定义知服从的超几何分布， 且，故选项D错误. 故选：D. 19．（23-24高二下·辽宁大连·期末）下列命题中正确的是（   ） A．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是4和0.3 B．对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，则变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强 C．根据变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 D．某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是 【答案】C 【分析】求出参数值判断A；利用相关系数与相关性强弱的关系判断B；利用独立性检验判断C；求出概率判断D. 【详解】对于A，由，得，即，则，A错误； 对于B，线性相关系数，越大，线性相关性越强，而， 因此变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强，B错误； 对于C，由独立性检验知，C正确； 对于D，抽到的是参加数学兴趣社团的学生的结果有18个不同结果， 他来自高三（1）班的结果有10个，因此他来自高三（1）班的概率是，D错误. 故选：C 二、多选题 20．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据，作差可得，，从而公差，即可判断A；对于B，根据等差数列的前n项和公式即可判断；对于C，根据，结合等差数列的性质即可判断；对于D，根据和的符号可得，当时，，进而根据和的单调性可得最小项. 【详解】因为，所以， 由，所以，所以， 所以． 所以，当时，最大，故A正确； 因为， ， 所以使得成立的最小自然数，故B正确； 由，且， 所以，即，故C错误； 因为当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以． 且， 所以中最小项为，故D正确． 故选：ABD 21．（24-25高二上·安徽·期末）已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列为等比数列 【答案】ACD 【分析】由等比数列的通项公式求得首项和公比，进而逐项判断即可； 【详解】根据题意，解得故A正确； 则，故B不正确； ，C正确； 因为，，所以，是等比数列，D正确． 故选：ACD 22．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知数列的前项和为，，且，则（    ） A． B．是等比数列 C．是等差数列 D．存在，，且，使得，，成等差数列 【答案】BC 【分析】由递推关系取，结合，解方程求，判断A，结合等比数列定义判断B，结合等差数列定义判断C，假设结论正确，可得，结合整除性判断D. 【详解】已知，，则，， 则，，A选项错误. 由可得，又， 所以，所以是首项为，公比为的等比数列，B选项正确. ， 所以是等差数列，C选项正确. 假设存在，，且，使得，，成等差数列， 则，又， 所以， ，两边同时除以得， 因为，，故左边是的倍数，右边不是的倍数，等式不成立，D选项错误. 故选：BC. 23．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知数列是等比数列，则下列命题中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．若，，则 C．若数列的前项和，则 D．若，公比，则数列是递增数列 【答案】AD 【分析】对于A，根据条件，利用等比数列的定义，即可求解；对于B，根据选项条件，直接求出，即可求解；对于B，利用，求接求出，再利用等比数列的性，即可求解，对于D，根据通项公式，结合选项条件及指数函数的性质，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，首项为， 对于选项A，因为为常数，所以数列是等比数列，故选项A正确， 对于选项B，因为，，则，解得， 所以，故选项B错误， 对于选项C，因为，令，得到，令，得到，所以， 令，得到，所以，由题有，解得，所以选项C错误， 对于选项D，因为，又，公比，所以数列是递增数列，故选项D正确， 故选：AD. 24．（24-25高二上·吉林·期末）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多.斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”，在数学上斐波那契数列以的递推方法定义，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对选项A，可以由递推式列出前6项，然后验证即可；对于选项B、C、D，可以灵活运用递推式验证判断． 【详解】对于A，由，，， 可得，，，，则，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，…，故C正确； 对于D，…，D错误． 故选： 25．（24-25高二上·山西·期末）已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（   ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】AC 【分析】由的递推公式可判断A，由可判断B，确定数列中含的个数，可判断CD； 【详解】对于A：由， 可得：， 所以：， 所以，正确， 对于B： 所以， 即是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以 则，不是等比数列，错误； 对于C：数列的第106项为213， 又，，，，，，， 所以， 所以的前项和为 ， C对，D错； 故选：AC 26．（24-25高二上·河南·期末）设数列是首项为1，公差为2的等差数列，是首项为1，公比为2的等比数列，则下列说法正确的是（   ） A．数列为递减数列 B．若，则 C．存在正整数，使得成等比数列 D．将数列与的所有项从小到大排列组成一个新的数列，则 【答案】BD 【分析】根据等差数列，等比数列的性质，结合基本不等式逐个计算判定即可. 【详解】由题易知 对A,因为，故A错误； 对B,根据等差数列的性质，若，则， 又数列中各项均为正数，所以，即，故B正确； 对C,若成等比数列，则，即，显然时不成立， 当时，等式左边为偶数，右边为奇数，所以等式不成立，故C错误； 对D,因为，，又，所以，故D正确． 故选：BD． 27．（24-25高二下·山西·期中）已知函数，其导函数为，则下列说法正确的是（    ） A． B．在区间上单调递减 C．无最大值，有最小值 D．若函数有两个零点，则 【答案】AC 【分析】根据题意，求得，得到，可判定A正确；求得函数的单调区间，可得判定B错误；作出的大致图象，可判定C正确；由和，结合有两个零点，求得的取值范围，可得判定D错误． 【详解】由函数，可得，则.所以A正确； 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减.所以B错误； 作出的大致图象，如图所示，可得无最大值，有最小值.所以C正确； 又由，， 所以函数有两个零点，则或，所以D错误． 故选：AC. 28．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知函数，则下列说法一定正确的是（   ） A．有两个极值点 B．存在正数，使得在上单调递增 C．存在正数，使得在上单调递减 D．直线是曲线的一条切线 【答案】ACD 【分析】函数求导，分析导函数的零点，求函数的单调区间，可判断ABC的真假，根据导数的几何意义，可判断D的真假. 【详解】，令，则，所以有两个极值点，A正确； 设，为的两个极值点，则，所以， 所以在和上单调递增，在上单调递减，B错误，C正确； 因为，，所以曲线在处的切线方程为，D正确． 故选：ACD 29．（24-25高二上·宁夏银川·期末）已知，且在点处的切线与直线平行，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．有且仅有一个极值点 D．对任意，都有 【答案】CD 【分析】由及可求得的值可判断A；根据导函数的正负判断函数的单调性以及极值，可判断B、C；再求得最小值，可判断D． 【详解】，在点处的切线与直线平行，，，A错误； 由，解得：；由，解得：； 在上单调递增，在上单调递减，因此有且有一个极值点，B错误，C正确；，则对任意，都有，D正确. 故选：CD 30．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于AB：由题意可知在上单调递增，根据单调性分析判断；对于CD：令，分析可知在上单调递增，可得，进而分析判断即可. 【详解】A选项：因为，可知在上单调递增， 且，则，所以，A正确； B选项：因为，且，则，即， 因为在上单调递增，所以，B正确； C选项：令，则， 可知在上单调递增， 因为，所以，即， 又因为，则，可得， 所以，C错误； D选项：由C可知，且， 则， 令 当单调递增，所以，所以， 所以， 所以，D正确． 故选：ABD. 31．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B．= C．= D．= 【答案】BCD 【分析】由特殊值法将x取和1，可判断出选项B和D的正误，再结合二项式定理判断展开式各项系数的正负，可判断A和C的正误. 【详解】令，可得①， 故B正确； 令，可得②， 由①+②可得，所以， 故D正确； 由二项式定理可知，， 故， 故A错误； 的系数均为正数，的系数均为负数， 所以， 故C正确. 故选：BCD. 32．（24-25高二下·河南三门峡·期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》中.“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第行的各项从左往右依次是二项式展开式中各项的二项式系数.下列结论正确的是（    ） A． B．第2024行中从左往右第1013个数是该行中所有数字中最大的 C．记第行的第个数为，则 D．记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，第行的第3个数字为，则 【答案】BD 【分析】利用组合数性质可判断A；根据二项式系数性质判断BC；确定，根据数列的裂项求和，判断D。 【详解】对于A，由于， 故164，A错误； 对于B，由于2024为偶数，这一行共有2025项，故这一行中的中间一项最大， 第2024行中从左往右第1013个数是中间项，是该行中所有数字中最大的，B正确； 对于C，第行的第个数为， 故，C错误； 对于D，由题意可知， 故 ，故D正确， 故选：BD 33．（24-25高二下·湖北·期中）2025年某影院在春节档引入了5部电影，包含3部喜剧电影、2部动画电影．其中《哪吒之魔童闹海》票房超150亿，成为全球动画票房冠军．该影院某天预留了一个影厅用于放映这5部电影，这5部电影当天全部放映，则下列选项正确的是（   ） A．《哪吒之魔童闹海》不排在第1场，共有96种排法 B．两部动画片放映的先后顺序固定（不一定相邻），一定共有60种排法 C．两部动画片相邻放映，共有48种排法 D．3部喜剧电影不相邻，共有24种排法 【答案】ABC 【分析】由特殊元素优先法即可判断A，由倍缩法即可判断B，由捆绑法即可判断C，由插空法即可判断D. 【详解】对于A，先从剩下的四场中选一场排《哪吒之魔童闹海》，然后另外的4部电影全排列， 则有种排法，故A正确； 对于B，5部电影全排列有种排法，因为两部动画片放映的先后顺序固定， 则有种排法，故B正确； 对于C，先将两部动画片捆绑，再与另外三部电影全排列， 则有种排法，故C正确； 对于D，先排两部动画片，刚好形成3个空，将三部喜剧电影插入这3个空， 则有种排法； 故选：ABC 34．（24-25高二下·山西吕梁·期中）一组样本数据，其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为．分布如图所示，且，则（   ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 【答案】AD 【分析】根据经验回归方程可判断A正确，将样本中心点代入计算可求得，即B错误，再由散点图的集中程度可得C错误，D正确. 【详解】对于A，由经验回归方程的斜率为负，可知样本负相关，即A正确； 对于B，易知， 代入方程计算可得，即B错误； 对于C，由残差图可知，处理以后的残差比处理前的残差更集中，可知，即C错误； 对于D，处理以后的残差的绝对值更小，所以处理后的决定系数变大，即D正确. 故选：AD 35．（24-25高二下·辽宁大连·期中）下列说法正确的是（   ） A．若y关于x的线性回归方程为，则样本点（1，0.7）的残差为 B．在一组样本数据，，……，（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C．数据，，，的平均数为2，方差为12，则 D．在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的3倍（，其中） 【答案】BD 【分析】A选项，利用残差定义求出进行判断；B选项，根据相关系数的概念和性质得到结论；根据方差公式和平均数公式求解判断C；利用公式化简判断D. 【详解】当时，，则残差为，A错误； 若所有样本点（）都在直线上，直线斜率为， 则这组样本数据的线性相关系数为，B正确； 根据题意，， 即， 所以，C错误； 在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍， 则， 所以D正确. 故选：BD 36．（24-25高二下·云南昆明·期中）下列结论正确的是（    ） A．一组数据，经过分析、计算，得，，关于的经验回归方程为，则． B．若随机变量满足，则 C．随机变量服从二项分布，若方差，则 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】ABD 【分析】依据经验回归方程，随机变量的方差，二项分布的分布与方差，独立性检验知识对选项逐一判断即可. 【详解】对于A选项：经验回归方程经过，代入可得，正确； 对于B选项：由随机变量方差的性质知加减不必变方差，缩放后方差变为平方倍，故，正确； 对于C选项：或，所以或，不正确； 对于D选项：由独立性检验，，正确. 故选：ABD. 37．（2025·贵州遵义·模拟预测）下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．已知线性相关系数为，若越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 C．回归直线方程为，则样本点的残差为0.1 D．一组数，，…，的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差不变 【答案】ABC 【分析】根据正态分布的期望，相关系数的意义，残差的计算和方差的变化规律逐项判断可得. 【详解】对于A选项：表示正态分布的均值为3，故； 对于B选项：线性相关系数为，若越接近1，则两个变量的线性相关程度越高，符合统计学定义，正确； 对于C选项：将代入回归直线方程得到预测值为，残差为，正确； 对于D选项：插入与原平均数相同的数，新的平均数依然为，设原方差为，则新方差为 ，不正确， 故选：ABC. 38．（2025·贵州黔南·模拟预测）关于随机变量的期望与方差，以下说法正确的是（   ） A．设为随机变量，为常数，则 B．若，则与试验次数无关 C．若，则 D．两点分布中，时，方差最大 【答案】ABD 【分析】对于A：根据期望和方差的性质即可判断；对于B：根据二项分布的期望和方差公式直接判断即可；对于C：根据正态分布的期望和方差公式直接判断即可；对于D：根据两点分别的方差公式结合基本不等式即可判断. 【详解】对于选项A：根据期望和方差的性质可知：，故A正确； 对于选项B：若，则，与试验次数无关，故B正确； 对于选项C：若，则，故C错误； 对于选项D：设成功的概率为， 则方差， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，方差最大，故D正确； 故选：ABD. 39．（24-25高二下·江苏徐州·期中）数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，X近似服从正态分布，其密度函数为，任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布当时，对任意实数x，记，则（    ） A．当时， B． C．随机变量，当，都减小时，概率增大 D．随机变量，当增大，减小时，概率保持不变 【答案】BD 【分析】由定义即可判断A；根据结合正态曲线的对称性，可判断B；根据正态分布的准则可判断CD. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：根据正态曲线的对称性可得：，即，故B正确； 对于CD：根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值，即为图象的对称轴， 根据原则可知X数值分布在的概率是常数，故由可知，D正确，C错误． 故选：BD. 40．（24-25高二上·江西九江·期末）现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件表示“取得红球”，事件表示“取得白球”，事件表示“球取自号盒子”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A：利用全概率求；对于B：利用对立事件概率公式求；对于CD：根据条件概率公式运算求解. 【详解】由题意可得：，， 对于A：由全概率公式可得 ，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于CD：，故C正确； ，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题 41．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知数列满足，且．若是数列的前项积，当取最大值时， ． 【答案】10或11 【分析】由且可推出，再求出，利用函数思想求其最大值即可. 【详解】因为，且，所以， 所以数列为等比数列，公比为， 则数列， 所以， 因为， 又因为，所以当或时，取最大值， 则或时，取最大值. 故答案为：10或11. 42．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知数列满足，且，该数列前20项和 ． 【答案】1078 【分析】由递推公式得到数列的通项公式，由此计算出数列的. 【详解】∴当为奇数时，，当为偶数时，， ∴数列的奇数项是等比数列，偶数项是等差数列， ∴， ∴ . 故答案为：1078. 43．（24-25高二上·湖北武汉·期末）记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】由题意可得，代入化简得，根据数列为等差数列可求通项公式. 【详解】由题意得，. ∵，∴，即， ∴， ∵，∴， ∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴. 故答案为：. 44．（24-25高二上·吉林长春·期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法・商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第n层有个球，则数列的前20项和为 . 【答案】 【分析】根据题意列出数列的递推关系，再利用累加法求出通项公式，最后用裂项相消法求出数列的前20项和. 【详解】由题意得，， 当时，， 以上各式累加得：， 经检验符合上式，所以， 所以 设数列的前项和为， 则，所以. 故答案为： 45．（24-25高二上·福建厦门·期末）数列满足，则 ；记为的前n项和，若关于n的方程有解，则正整数的所有取值为 ． 【答案】 7和9 【分析】根据数列的通项与前项和的关系求数列的通项公式；根据等差数列的求和公式，可以把问题转化成为整数的讨论. 【详解】解法一：由，得．① 当时，，所以． 当时，有．② ①－②得，即． 因为符合，所以，． 因为，所以 显然为10的约数， 时，；时，；时，. 综上，正整数的所有取值为7和9． 解法二：由．① 当时，有，②，所以．③ ①－③得，即．又，故．下同解法一． 故答案为：；7和9 46．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】设则， 故在R上单调递减， 且，即， 即， 故. 故不等式的解集为. 故答案为： 47．（24-25高二上·广西柳州·期末）已知函数，函数，若恒有，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，将问题转化成恒成立，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而求出的最大值，即可求解. 【详解】因为，即，即， 令，则， 当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 故答案为：. 48．（24-25高二上·湖南长沙·期末）设不等式；在时恒成立．则实数的最大值为 ． 【答案】 【分析】分离参数，得在上恒成立，问题转化为求函数在上的最小值.利用导数分析函数的单调性，可求函数的最小值. 【详解】因为，由，得：恒成立，即. 记，则， 由得：；由得：. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取到最小值，且. 所以. 故答案为： 49．（24-25高二上·江苏泰州·期末）过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入解出切点坐标，即可得切线方程. 【详解】由可得， 设过点作曲线的切线的切点为，则， 则该切线方程为， 将点代入切线得，解得或， 所以切点为或， 所以切线方程为或. 故答案为：（答案不唯一） 50．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知曲线与直线相切，则 . 【答案】 【分析】由的导数出发，设出切点坐标，利用导数方程，由此求得的值. 【详解】由，得， 设切点为， 则，， 消去得， 函数在区间上单调递增，且， ，此时. 故答案为： 51．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】恒成立求参数的取值范围，分离参数转化为求函数最值的问题求解即可. 【详解】因为，所以， 不等式在上恒成立， 所以在恒成立即可， 在恒成立即可， 令，则即可， 所以的对称轴为：， 所以在的最大值为：， 所以，故实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 52．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用已知条件转化推出是以为首项，为公差的等差数列，然后求解通项公式； （2）化简，然后利用错位相减法求和求解即可． 【详解】（1）当时，， 所以，， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 故，所以，． （2）， 所以，， 令，① 则，② ①②得：， ，故， 所以，． 53．（2025·湖北黄冈·二模）记为数列的前项和，已知，当时，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用与的关系化简递推式，再根据等差数列的定义即可； （2）利用累加法求出，再由分组求和法求即可. 【详解】（1）由题意得，当时，有，即 因为，所以对任意都成立 故数列是首项为1，公比为2的等比数列，从而． （2）由，可得， 则 当时，符合上式，故． 所以 54．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知数列为等差数列，前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)是否存在正整数m，n，（）使得成等差数列？若存在，求出，m，n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，. 【分析】（1）由等差数列通项公式及求和公式列出等式求出首项、公差即可； （2）由裂项相消法求和即可； （3）由等差中项列出等式求解即可. 【详解】（1）由， 可得：， 解得：， 所以； （2）由（1）可得：， 所以， 所以 （3）假设存在正整数m，n，（），使得成等差数列， 则， 即， 即， 取，可得：， 所以存在，，. 55．（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数 ． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）先求出切点坐标和切线斜率；再根据直线方程的点斜式即可求解. （2）先求出函数的导函数；再根据和分类讨论，利用导函数的符号即可求解. （3）先结合（2）和有两个零点，得出的最小值，；再根据函数为上的增函数，且，即可求解出的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则，， 所以曲线在点处的切线斜率为， 切线方程为：，即. （2）由可得：. 因为， 所以当时，，此时函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 此时函数在区间上单调递减；在区间上单调递增. 综上可得：当时，函数的单调减区间为，无单调增区间； 当时，函数的单调减区间为，单调增区间为. （3）由（2）可得：当时，根据零点存在性定理可得函数在上不会有两个零点，不符合题意； 当时， 函数的最小值为， 且当时，，当时，， 因为有两个零点， 所以，. 因为函数为上的增函数，且， 所以的解为. 故当有两个零点， 的取值范围为. 56．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数，. (1)判断函数的单调性； (2)证明：． 【答案】(1)在区间单调递减，在区间单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）先求导，再结合导数与函数单调性的关系判断即可. （2）由（1）得，==，判断可知要证，即证，．令，利用导数判断函数的最小值，证得，即可求证. 【详解】（1）由 ，， 得．     因为，令，所以．     当时，，在区间单调递减；     当时，，在区间单调递增．     所以，在区间单调递减，在区间单调递增． （2）由（1）得，==． 所以，要证， 只需证，即证，． 令， 则． 0 ↘ 极小值 ↗ 所以．     因此，对于任意正数，恒成立． 所以当时，恒成立． 57．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知． (1)求并写出的表达式； (2)记，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）求出导函数后建立的方程求解，即可求解函数解析式. （2）先根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，再利用导数的几何意义求出的切点坐标，代入的解析式求解即可. 【详解】（1）由，求导可得 由，解得，则. （2），求导可得， 由得，故在处的切线斜率， 所以在处的切线方程为，化简可得， 令，解得，将其代入切线方程可得， 代入得，所以得，解得. 58．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数 (1)若求在点处的切线方程； (2)若的图象关于点中心对称，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导得切线斜率，由直线的点斜式方程即得， （2）根据对称可知为奇函数，即可利用定义域对称求解. 【详解】（1）当时，， 则 ，又 故在点处的切线方程为，即 （2）由的图象关于点中心对称，可知的图象关于原点对称， 即为奇函数， 则由的定义域关于原点对称，可得，即， 于是，定义域为，故 联立解得； 此时，,符合题意； 所以. 59．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知函数 (1)若，求； (2)若，函数在处的切线方程为，求的值； (3)若，求曲线与曲线的共同的切线方程． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）对函数求导，代入自变量求值即可； （2）对函数求导，根据导数的几何意义可得，并写出切线方程，结合已知得，即可得结果； （3）导数的几何意义求切线方程，再由直线与圆相切及点线距离公式求公切点横坐标，即可得切线方程. 【详解】（1）由题设，则，所以； （2）由，则，故， 所以切线方程为，结合已知得， ∴； （3）若，则，则在处的切线方程为， 又与圆相切，则，则， 所以公切线方程为. 60．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知函数（其中e为自然对数的底数）． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最值； (3)设函数，若对，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)最小值为，最大值为1； (3). 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数几何意义求出切线方程. （2）利用导数求出函数在指定区间上的最值. （3）由（2）的结论，将问题转化为成立，再分离参数构造函数求出最大值即可得解. 【详解】（1）数，求导得， 则，而， 所以曲线在点处的切线方程为：，即. （2）由（1）知，当时，，函数在上单调递增， 所以. （3）由（2）知，，， 由对，不等式恒成立， 得，而函数在上单调递减， 当时，，因此， 所以实数的取值范围为. 61．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）先确定切点坐标，再根据导数的几何意义求切线斜率，依据点斜式可得切线方程. （2）求导，对的不同取值进行讨论，可得函数的单调区间.要注意：函数的定义域. （3）利用（2）的结论，可求问题（3）. 【详解】（1）当时，，. 又，所以. 所以切点坐标为，切线斜率为1， 所以切线方程为即. （2）因为， 当时，恒成立，函数在区间单调递增． 当时，令，解得， 在区间，，函数单调递减， 在区间，，函数单调递增. 综上可知：当时，函数在区间单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，函数无极值， 当时，函数在取得极小值， 所以，解得，所以． 所以实数的取值范围为： 62．（24-25高二下·浙江·期中）某校为丰富学生的校园生活决定开展兴趣课，兴趣课包括音乐课，舞蹈课，影视鉴赏课、篮球课、围棋课等十余种．兴趣课共开展3个月，每种课每月4节且必须上满，每节课可得1分且表现优秀可额外获得1分，若本月不少于6分，下月可以选择继续上此课或者选择其他的兴趣课，6分以下则只能上原来的课．现有甲、乙两人是好朋友，在第一个月他们一起选择了音乐课，音乐课上甲每节课表现优秀的概率为，乙每节课表现优秀的概率为． (1)求甲第一个月得分的分布列及数学期望； (2)求第二个月甲乙两人可以一起选择其他兴趣课的概率； (3)若乙每种课的表现优秀率一致，在三个月后乙一共获得21分的情况下，求他在第二个月获得8分的概率． 【答案】(1)分布列见解析； (2) (3) 【分析】（1）方法一，先列出甲在第一个月的得分的所有可能，再按照重伯努利实验计算出概率，写出分布列，求出数学期望即可；方法二，分析出甲的4节课中优秀的节数服从二项分布，且，再按照期望的性质计算即可； （2）分别求出甲乙在第一个月的得分不少于6分，即的概率，再按照相互独立事件概率公式求解即可； （3）先分析出乙得分为21分有3种情况，并分别求出概率，从而得到乙一共获得21分的概率，再求出乙获得21分的同时他在第二个月获得8分的概率，再用条件概率的公式计算即可. 【详解】（1）方法一：记甲在第一个月的得分为，则的取值为4，5，6，7，8， 则， ， ， ， ， 所以甲第一个月得分的分布列为： 4 5 6 7 8 ； 方法二：设甲的4节课中优秀的节数为， 则且 则； （2）记事件为“甲、乙第二个月可以一起选择其他兴趣课”， 设甲在第一个月的得分为， 则， 设乙在第一个月的得分为，设乙的4节课中优秀的节数为， 则且， 所以，， ， 所以； 4 5 6 7 8 （3）记事件B为“乙在三个月后得分为21分”， 事件为“乙在第2个月的得8分” 乙得分为21分共有3种情况： ① 8+8+5，这种情况的概率， ② 8+7+6，这种情况的概率， ③ 7+7+7，这种情况的概率， 所以， ， 则. 63．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）甲、乙两名小朋友每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲的3张卡片的颜色为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随机抽取1张，去与对方交换，重复n次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为． (1)分别求，的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，并求首次出现这种情况的概率p． (2)记． （ⅰ）证明数列是等比数列； （ⅱ）求的数学期望．（用n表示） 【答案】(1)，， (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）分析出包含两种情况，把两种情况的概率相加得到，同理也包含两种情况，求出相应的概率，相加可得，由，故交换一次不合要求，而，故操作两次满足要求，并求出概率为； （2）（ⅰ）先求出，，，，判断出数列是等比数列； （ⅱ）由（ⅰ）求出，的所有可能取值为0，1，2，并得到对应的概率，得到分布列，求出数学期望. 【详解】（1）根据题意，表示“重复2次操作，甲手中恰有2张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况： 第一次甲交换金色卡片，第二次甲还交换金色卡片； 第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换金色卡片，乙交换银色卡片， 则，，， 表示“重复2次操作，甲手中恰有1张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况： 第一次甲交换金色卡片，第二次甲交换银色卡片； 第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换银色卡片，乙交换银色卡片或第二次甲交换金色卡片， 乙交换金色卡片，则． 其中，故交换一次不会出现的情况，而， 操作两次甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，其概率为． （2）（ⅰ）由题意可得， ， 则，， 所以，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， （ⅱ）由（ⅰ）知，所以． 的所有可能取值为0，1，2， 其分布列为 0 1 2 P 从而． 【点睛】关键点点睛：分析出，，，从而得到数列是首项为，公比为的等比数列，再进行下一步的求解. 64．（24-25高二上·河南南阳·期末）甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环．根据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立． (1)在一场比赛中，求甲击中的环数多于乙击中的环数的概率； (2)若独立进行三场比赛，用X表示这三场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的场数，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算得解. （2）求出的可能值，由（1）结合二项分布的概率求出分布列及期望. 【详解】（1）设甲击中的环数多于乙击中的环数为事件A， 则事件A包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环， 所以. （2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3， 由（1）知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，则， 因此， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.512 0.384 0.096 0.008 期望. 65．（24-25高二上·广西桂林·期末）设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为，乙车通过I､II环节的概率分别为，路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为. (1)求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率； (2)设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试，求出、，求出甲、乙中恰有一款车通过实验室测试的概率； （2）求出随机变量可能的取值，分别求出概率，求出数学期望. 【详解】（1）设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试， 则，， 则甲、乙中恰有一款车进入路面测试的概率为： ； （2）随机变量可能的取值为：， 由题意，甲、乙车投产的概率分别为， 所以， ， ， X 0 1 2 P 所以数学期望． 66．（24-25高二上·黑龙江·期末）某大公司招聘分为笔试和面试，笔试通过后才能进入面试环节，面试环节各部门从笔试通过的人员中抽取部分人员进行该部门的面试.2024年应聘该公司的学生的笔试成绩Y近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该公司预期的平均成绩，求该公司预期的平均成绩大约是多少? (2)现有甲、乙、丙三名应聘者进入了面试，该公司某部门有意在这3人中随机选取2人参加面试.面试分为初试和复试并且采用积分制，满分为10分，其中通过初试考核记6分，通过复试考核记4分，初试通过才能参加复试，应聘者能否正确回答初试与复试的问题相互独立.已知甲和乙通过初试的概率均为，丙通过初试的概率为，甲和乙通过复试的概率均为，丙通过复试的概率为. ①若从这3人中随机选取2人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于16分的概率； ②若甲和乙两人一起参加本次该部门的面试，记他们本次面试的得分之和为X，求X的分布列以及数学期望. 参考数据：若，则：；；. 【答案】(1)71分 (2)①②分布列见解析，13 【分析】（1）利用正态分布的对称性和正态曲线的原则，即可求得该校预期的平均成绩； （2）①选出人的情况分三种：甲乙、甲丙、乙丙参加面试，计算每种情况下的概率相加即可得到结果；②分析的取值，分别计算概率，列出分布列，利用期望公式求解即可得到结果. 【详解】（1）由， 又的近似值为76.5，的近似值为5.5， 所以该公司预期的平均成绩大约是（分）. （2）①记选出甲、乙参加面试为事件，选出甲、丙参加面试为事件，选出乙、丙参加面试为事件，这两人本次面试的得分之和不低于分为事件， 则，，， ②的可能取值为， 故，， ，， ，. 故的分布列为： 0 6 10 12 16 20 则. 67．（24-25高二下·辽宁大连·期中）为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图．若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”．已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占70％． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 (1)求图1中m的值； (2)根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，根据调查数据回答：在犯错误的概率不超过5％的前提下，可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关吗？ (3)用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈．这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2)表格见解析，有 (3)分布列见解析， 0.7 【分析】（1）利用频率分布直方图各个小矩形的面积和为1，求出的值； （2）先求出数学优秀和不优秀的人，常整理错题和不经常整理错题的人，得到列联表，根据列联表求出值，从而得出判断； （3）先求出的可能取值，并求出相应取值的概率，从而求出分布列和期望. 【详解】（1）由题意可得， 解得； （2）数学成绩优秀的有人，不优秀的人人， 经常整理错题的有人，不经常整理错题的是人， 经常整理错题且成绩优秀的有人，则 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 35 25 60 不经常整理 15 25 40 合计 50 50 100 零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关， 根据列联表中的数据，经计算得到可得， 由于，所以在犯错误的概率不超过5的前提下， 可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联； （3）由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人， 不经常整理错题的有2人，则可能取为0，1，2， 经常整理错题的3名学生中，恰抽到k人记为事件， 则 参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到人记为事件 则，，，， ，， ， ， ， 故X的分布列如下： X 0 1 2 P 则可得X的数学期望为． 68．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 【答案】(1)，说明见解析， (2)分布列见解析，，. 【分析】（1）求出，将参考数据代入相关系数公式，求出的值，即可得出结论；再将数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出回归直线方程； （2）利用全概率公式求出每个人从号门出校园的概率均为，由此可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望、方差公式可得出、的值. 【详解】（1）依题意，，而，，， 则. 因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合. ，， 因此，回归方程为. （2）记“甲从号门出学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， “甲从号门进学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， 由题意可得，，， ，， 由全概率公式得： ， 同理乙、丙、丁从号门出学校的概率也为， 为人中从号门出学校的人数，则， ，， ，， ， 故的分布列为： ，. 69．（23-24高二下·浙江温州·期中）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 (1)求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； (2)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据：，的方差为200）； (3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：方差：相关系数： 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】(1)根据题意分别求出，，代入到相关系数：，求得结果即可； (2) 知接近1，故与之间具有极强的线性相关关系，根据已知条件代入求解即可，，最后代入即可求得； (3)计算出与临界值比较可得出周末在校自主学习与成绩进步是否有关. 【详解】（1），， 又的方差为， ， ， . （2）由（1）知接近1，故与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归直线方程模型进行拟合：， ， ，故当时，， 故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分. （3）零假设：周末在校自主学习与成绩进步无关， 根据数据，计算得到： ， 因为，所以依据的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关. 70．（23-24高二下·辽宁大连·期末）现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有白球和黑球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏；否则，在盒子中再放入一个黑球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功. (1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和数学期望； (2)有数学爱好者统计了1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如下： 1 2 3 4 5 232 94 57 44 23 经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程，并顶测第7轮成功的人数（精确到1）： (3)证明：（其中且）. 附：回归方程系数：； 参考数据：设， 【答案】(1)分布列见解析， (2)，8 (3)证明见解析 【分析】（1）写出的可能取值，求出各取值的概率，写出分布列即可求出数学期望； （2）令，则，根据线性回归方程公式求出方程即可顶测第7轮成功的人数； （3）求出在前轮内（包括第轮）成功的概率，求出前轮内（包括第轮）均没有成功的概率，据此即可求解. 【详解】（1）由题知，的取值可能为， 所以，， ， 所以的分布列为： 1 2 3 所以数学期望为； （2）令，则，由题知：， 所以， 所以， 故所求的回归方程为：， 所以，估计时，； （3）由题知，当且时，在前轮内（包括第轮）成功的概率为 ， 在前轮内（包括第轮）均没有成功的概率为 ， 故. 【点睛】关键点点睛：本题（3）关键在于正确求出前轮内（包括第轮）成功的概率. 71．（24-25高二下·云南昆明·期中）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有个红球，个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球. (1)求此人答题三次后，乙罐内球个数的分布列和期望； (2)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球，黑球各个的概率； (3)设第次答题后游戏停止的概率为． ①求； ②是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)分布列见解析； (2) (3)①；② 【分析】（1）由题分析知，，然后利用二项分布直接求解概率，得到分布列，求出期望即可； （2）记“此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一球”，记“第次摸出红球，并且答题正确”，，记“第次摸出黑球，并且答题正确”，，记“第次摸出黑球或红球，并且答题错误”，，结合全概率公式直接求解即可； （3）①第次后游戏停止的情况是：前次答题正确恰好为次，答题错误次，且第次摸出一球时答题正确，即可直接得到；②结合概率的性质，即可求解. 【详解】（1）由题知，， 则，， ，， 则的分布列为： 则其期望为. （2）记“此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一球”， 记“第次摸出红球，并且答题正确”，， 记“第次摸出黑球，并且答题正确”，， 记“第次摸出黑球或红球，并且答题错误”，， 所以， 又，，， 所以 ， 同理， 所以. （3）①第次后游戏停止的情况是：前次答题正确恰好为次， 答题错误次，且第次摸出一球时答题正确， 所以. ②由①知，， 所以， 令，解得， 令，解得，即， ， 所以的最大值是. 72．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）甲、乙、丙三人进行一种传球游戏：当球在甲手中时，甲将球保留（也记为一次传球）的概率为，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为，否则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中. (1)设传球三次后，球在甲手中过的次数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)传次球后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式； (3)在第（2）问的条件下，设.求证：. 【答案】(1)分布列见解析，1 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据传球游戏的规则，可得，再根据独立事件概率公式，求解概率，再结合分布列公式，即可求数学期望； （2）首先题意，可得关于数列的递推公式，，再通过构造求数列的通项公式； （3）首先根据（2）的结果，求，并利用放缩法证明不等式. 【详解】（1）由题意知，， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的数学期望为； （2）由于传次球后不在乙手中的概率为， 此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙， 故有， 变形为， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以数列的通项公式； （3）由（2）可得， 则 所以. 又因为， ， 所以， 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到关于数列的递推公式，从而可以利用数列的知识解决问题，第三问的关键是对通项合理的放缩，从而可以求和，证明不等式. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$