精品解析：广东省阳江市阳东区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2024—2025学年度第二学期期中教学质量监测 八年级数学试题 一、选择题 (本题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平面直角坐标系中，已知，则点A到原点O的距离为（ ） A. 8 B. 10 C. D. 3. 若，则代数式的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 4. 如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形ABCD中，AC、BD交于点O，则根据下列条件能判定它是正方形的是(　　) A. ∠DAB=90°且AD=BC B. AB=BC且AC=BD C. ∠DAB=90°且AC⊥BD D. AC⊥BD且AO=BO=CO=DO 6. 如图， 在菱形中， 已知， 若菱形的周长为16，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如图，某数学实践小组打算测量湖岸B，C两点间的距离，他们在湖的一侧选取一点A，连接，测出的中点E，D之间的距离是，则B，C两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将两个宽为的直尺交叉叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，转动其中一个直尺，另一个保持不动，下列结论：①四边形 始终是平行四边形； ②； ③四边形的周长保持不变； ④当时， 四边形的面积为，其中一定正确的是（ ） A. ①④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 9. 如图，和是两个相同的含角的直角三角板，将两个三角板的最长边和放在直线l上，使得点 D 与点A 重合，固定三角板，从点 A 开始，将三角板沿射线移动，当点 E与点 B 重合时，停止移动．在移动的过程中，四边形的形状依次为平行四边形→①→平行四边形→②→平行四边形， 则①，②分别代表（ ） A. 菱形，矩形 B. 矩形，菱形 C. 菱形，菱形 D. 矩形，矩形 10. 正整数满足，且和是可以合并的二次根式，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 比较大小： ______．（填“” “”或“” ） 12. 如图，数轴上点D表示的实数是________． 13. 如图，在平面直角坐标系中， 点A， B的坐标分别是，， C是平面内一点，为得到，则顶点C的坐标为_______． 14. 如图是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知最大正方形的面积是16，则图中阴影正方形的面积之和为________． 15. 如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是__________． 三、解答题(一) (本大题共3小题，每小题7分，共21分) 16. 计算∶； 17. 已知的三边长为，， ， 且满足 ，试判断的形状，并说明理由． 18. 如图，在正方形中，、为对角线上两点，已知，求证：四边形是菱形． 四、解答题 (二) (本大题共3小题，每小题9分，共27分) 19. 已知，，分别求下列代数式的值： （1） （2） 20. 如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）求证∶ 为直角三角形． （2）画出边上的高，并说明理由． 21. 如图，在正方形中，点E是边的中点，将沿翻折得到．延长交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 五、解答题 (三) (本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分) 22. 小芳在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的： ∵∴， ∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3，∴ ∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）化简． （2）若． ①求4a2﹣8a﹣1的值； ②求3a3﹣12a2+9a﹣12的值． 23. 综合实践课上，创新小组的同学对含 角的菱形进行了探究． 【问题情景】 如图，在菱形中，，E，F分别是边，上的点，且． 【初步感知】 （1）若点E是的中点，则与的数量关系为： ； 【深入探究】 （2）若点E，F分别为，上任意一点，则与的数量关系是什么？并说明理由； 【问题解决】 （3）若，求周长的最小值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中教学质量监测 八年级数学试题 一、选择题 (本题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 2. 如图，在平面直角坐标系中，已知，则点A到原点O的距离为（ ） A. 8 B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，勾股定理， 先结合点坐标确定点到横纵轴的距离，再根据勾股定理求出解即可． 【详解】解：根据题意可知． 故选：C． 3. 若，则代数式的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将代数式通过完全平方公式化简为，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：B． 4. 如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 5. 如图，四边形ABCD中，AC、BD交于点O，则根据下列条件能判定它是正方形的是(　　) A. ∠DAB=90°且AD=BC B. AB=BC且AC=BD C. ∠DAB=90°且AC⊥BD D. AC⊥BD且AO=BO=CO=DO 【答案】D 【解析】 【分析】根据“对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形”对各选项逐一判断即可. 【详解】A：该条件无法判定它是正方形； B：该条件无法判定它是正方形； C：该条件无法判定它是正方形； D：由AC⊥BD可知该四边形对角线互相垂直，再根据AO=BO=CO=DO可知该四边形对角线相等且平分，所以由此可以判定它是正方形； 故选：D. 【点睛】本题主要考查了正方形的判定定理，熟练掌握相关概念是解题关键. 6. 如图， 在菱形中， 已知， 若菱形的周长为16，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定， 先根据菱形的性质得，，即可得出是等边三角形，则此题可解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，周长为16， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 故选：A． 7. 如图，某数学实践小组打算测量湖岸B，C两点间的距离，他们在湖的一侧选取一点A，连接，测出的中点E，D之间的距离是，则B，C两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中位线的定义和性质， 根据题意可知是的中位线，可知，即可得出答案． 【详解】解：∵点D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 8. 如图，将两个宽为的直尺交叉叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，转动其中一个直尺，另一个保持不动，下列结论：①四边形 始终是平行四边形； ②； ③四边形的周长保持不变； ④当时， 四边形的面积为，其中一定正确的是（ ） A. ①④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，直角三角形的性质， 先说明四边形是平行四边形，可得，判断①②；再根据随着直尺转动，边长变化，判断③；然后作，求出，再结合宽为可求出面积，并判断④． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则①②正确； 随着直尺转动，边长变化，可知四边形周长发生变化， ∴③不正确； 过点A作，交于点E， 在中，， ∴， ∴四边形的面积为，则④正确， 可知正确的有①②④． 故选：C． 9. 如图，和是两个相同的含角的直角三角板，将两个三角板的最长边和放在直线l上，使得点 D 与点A 重合，固定三角板，从点 A 开始，将三角板沿射线移动，当点 E与点 B 重合时，停止移动．在移动的过程中，四边形的形状依次为平行四边形→①→平行四边形→②→平行四边形， 则①，②分别代表（ ） A. 菱形，矩形 B. 矩形，菱形 C. 菱形，菱形 D. 矩形，矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定， 先说明四边形是平行四边形，移动过程中说明是矩形，再根据当时，四边形是是菱形，可得答案． 【详解】解：根据题意得，则四边形是平行四边形，当点D与点B重合时，，此时四边形是矩形，再移动时四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，再移动时四边形是平行四边形， 所以四边形的形状依次为平行四边形矩形平行四边形菱形平行四边形． 则①②分别代表矩形，菱形． 故选：B． 10. 正整数满足，且和是可以合并的二次根式，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简和解二元一次方程组．先将和化简，根据题意得到方程组，求解得到，，再利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：，， ∴ 解得：，， ∴， 故选：A． 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 比较大小： ______．（填“” “”或“” ） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正数大于0，负数小于0即可判断． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，数轴上点D表示的实数是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查在数轴上表示无理数，正确理解实数与数轴上的点一一对应的关系是解题关键． 直接根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ∴数轴上点D表示的实数是． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中， 点A， B的坐标分别是，， C是平面内一点，为得到，则顶点C的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出，，然后结合点B的坐标即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵B的坐标是，， ∴，即， 故答案为：． 14. 如图是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知最大正方形的面积是16，则图中阴影正方形的面积之和为________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设阴影部分正方形的边长为，，，，白色正方形的边长为，如图所示： ∴由勾股定理可得：，，， ∴， ∴图中阴影正方形的面积之和为； 故答案为：． 15. 如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是__________． 【答案】 (答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，熟悉掌握菱形的判定方法是解题的关键． 先判定出四边形为平行四边形，再根据菱形的判定添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴只需要添加一组邻边相等或对角线垂直即可证明是菱形， 故答案为：(答案不唯一) ． 三、解答题(一) (本大题共3小题，每小题7分，共21分) 16. 计算∶； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，零指数幂的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用全平方公式运算，零次幂求解即可． 【详解】解： 解： ． 17. 已知的三边长为，， ， 且满足 ，试判断的形状，并说明理由． 【答案】 解：是直角三角形，理由如下： ， ， ， ，， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、用完全平方公式分解因式，首先用完全平方公式分解因式，可得：，从而可得：，根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形． 【详解】略 18. 如图，在正方形中，、为对角线上两点，已知，求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：如解图，连结交于点， ∵四边形是正方形， ， ， ， 根据正方形的性质可知， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 根据正方形的性质可知， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定，解题的关键是通过证明三角形全等得出四边形的四条边相等． 【详解】略 四、解答题 (二) (本大题共3小题，每小题9分，共27分) 19. 已知，，分别求下列代数式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算及乘法公式，熟练掌握二次根式的运算法则、平方差公式及完全平方公式是解题的关键． （1）先得出，，再利用平方差公式计算即可； （2）先根据平方差公式得出，利用完全平方公式变形，代入和的值即可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 20. 如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）求证∶ 为直角三角形． （2）画出边上的高，并说明理由． 【答案】（1）证明：， ， ∴为直角三角形； （2）如图连为所求， 理由如下： ∵，为的中点， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了网格中三角形，勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． （1）利用勾股定理求出三角形每条边的平方，再利用勾股定理逆定理即可证明； （2）根据矩形的性质得到线段中点，利用等腰三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在正方形中，点E是边的中点，将沿翻折得到．延长交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵正方形中，点E是边的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， 又， ∴； （2）10 【解析】 【分析】本题考查正方形与折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，是解题的关键． （1）根据翻折的性质，得到，进而得到，再根据，利用即可证明； （2）根据翻折得到，，全等得到，进而推出，利用勾股定理求出的长，设，利用勾股定理建立方程求出的值，再利用进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵将沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴，， 在中，， 设，则：， 在和中：， 即：， 解得：； ∴． 五、解答题 (三) (本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分) 22. 小芳在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的： ∵∴， ∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3，∴ ∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）化简． （2）若． ①求4a2﹣8a﹣1的值； ②求3a3﹣12a2+9a﹣12的值． 【答案】（1）5；（2）①3；②﹣18 【解析】 【分析】（1）原式各项分母有理化，计算即可求出值； （2）①先将式子进行整理，将a的值代入计算即可求出值；②将式子整理成3a（a2+3）-12（a2+1），再代入a的值即可求解． 【详解】解：（1）原式===5； （2）①∵a==+1， ∴原式=4（a﹣1）2﹣5=8﹣5=3； ②∵a2=3+2， ∴原式=3a（a2+3）﹣12（a2+1）=3（+1）（2+6）﹣12（4+2）=﹣18． 【点睛】此题考查了分母有理化，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 23. 综合实践课上，创新小组的同学对含 角的菱形进行了探究． 【问题情景】 如图，在菱形中，，E，F分别是边，上的点，且． 【初步感知】 （1）若点E是的中点，则与的数量关系为： ； 【深入探究】 （2）若点E，F分别为，上任意一点，则与的数量关系是什么？并说明理由； 【问题解决】 （3）若，求周长的最小值； 【答案】（1）； （2）；理由如下： 如图，连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴和为等边三角形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，得出为等边三角形，求出，证明，得出； （2）连接，证明，得出； （3）由（2）可知，当时，取得最小值，由勾股定理求出，则可得出答案． 【详解】解：（1）连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）由（2）可知， ∵， ∴为等边三角形， 要求等边三角形周长的最小值，即求出边长的最小值即可， ∵点E为边上的一点， ∴当时，取得最小值， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴此时，， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $