广东省中山市第一中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

2023级高二下学期数学第三次段考 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知全集，集合，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）“存在，使得”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（本题5分）某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有40000名考生参加这次考试，数学成绩近似服从正态分布，其正态密度函数为且，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为（ ） A．2000 B．3000 C．4000 D．8000 5．（本题5分）已知随机变量，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数，其导函数记为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 7．（本题5分）椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点．焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，这说明圆锥曲线与光有着紧密的联系，圆锥曲线具有丰富的光学性质．例如，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点，设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的，两点反射后回到焦点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知正项等比数列的公比，将的前9项按照从小到大的顺序排列组成一组数据，则下列说法正确的是（   ） A．该组数据的分位数为 B．该组数据的中位数小于其平均数 C．若去掉，所得新数据的中位数与原中位数相等 D．若，则，，…，的方差是，，…，的方差的9倍 10．（本题6分）在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则一定是等腰三角形 B．若，则 C．若是锐角三角形， D．若是钝角三角形，则 11．（本题6分）若一个样本空间所包含的样本点个数是有限的，其中事件与相互独立，与互斥，且，则下列正确的选项有（    ） A． B． C． D．若，则与互斥 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 13．（本题5分）已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为 ． 14．（本题5分）已知正六棱锥的高为，它的外接球的表面积是．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为 ． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球. (1)从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量为1号球的个数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率. 16．（本题15分）如图，在三棱柱中，，，，. (1)证明：平面； (2)若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 17．（本题15分）已知点，曲线上的点与两点的连线的斜率分别为和，且． (1)求曲线的方程； (2)是否存在一条直线与曲线交于两点，以为直径的圆经过坐标原点．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（本题17分）在数列中，，，其前项和为．数列是公差为的等差数列． (1)求； (2)若， （ⅰ）求数列的通项公式及前项和； （ⅱ）若，数列满足，，求证：对任意正整数，都有． 19．（本题17分）记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. (1)判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； (2)设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围； (3)记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2023级高二下学期数学第三次段考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B C B D D D BD BCD 题号 11 答案 BCD 12． 13．2 14． 15．(1)分布列见详解； (2) 【详解】（1）由题意可知：随机变量的可能取值为0，1，2，则有： ， 可得随机变量的分布列为 0 1 2 所以随机变量的期望. （2）记第一次从甲袋中随机摸出1个球，摸出的是1、2、3号球分别为事件， 第二次摸到的是3号球为事件B， 则， 所以. 16．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1），，， 由余弦定理得， ， ，， 又，，平面， 平面； （2）平面，平面， 且， 二面角的平面角为，而， ，为等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，所在平面为平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， 由，，，， 设平面的一个法向量， ， 解得，令，则，故， 设与平面所成角为， . 17．(1) (2)存在， 【详解】（1）设点的坐标为，则，， 由题意可得，，化简得， 进而曲线的方程为． （2）（ⅰ）若直线的斜率存在，设， 由，得， 则，即， 设，，则，，      因为以为直径的圆经过原点，所以，则， 即，整理得，               ， 设为点到直线的距离，则，所以， 又，所以．        （ⅱ）若直线的斜率不存在，则， 不妨设，则，代入方程，得， 所以，则， 综上，存在这样的直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点，且． 18．(1)或 (2)（ⅰ）．；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）方法1：，，， 由或， 于是或，所以或． 方法2：显然，则， 于是，所以， 相减得，即， 所以，，又，，解得或. （2）（ⅰ）当时，，即， 所以，相减整理得，， 所以，，…，，累乘得，， 也满足上式，所以． 所以． （ⅱ），，显然． ， 所以，，…，， 累加得，得证． 19．(1)＂2次缠绕＂。理由见解析； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）函数和＂2次缠绕＂， 理由如下：，当和时，， 则对任意， 当且仅当和时，等号成立， 所以由＂次缠绕＂定义可知和在上＂2次缠绕＂． （2）设， 因为和在上＂3次缠绕＂， 所以存在互异的三个正数，使得， 当且仅当时等号成立， 所以是的三个零点． 注意到，所以1是的一个零点． ， ①当时，在上单调递增， 1是的唯一零点，不合题意． ②当时，在上单调递减， 1是的唯一零点，不合题意． ③当时，令，存在两根， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，因为， 设，因为， 所以在上单调递减，所以，即， 所以存在． 又， 所以存在． 所以恒成立， 即时，和在上＂3次缠绕＂， 综上，的取值范围是． （3）方法一：取， 设， 令， 显然，且， 当且仅当时，等号成立． 所以对任意， 存在， 其中， 使得，且和在上＂次缠绕＂． 方法二：记，取， 设，其中，则， 且当时，， 因为， 所以与同号，（＊） 为奇数时，设， 显然，且， 当时，与同号， 由（＊），（＊＊）式知，对给定，任意，与同号； 所以． 为偶数时，设， 同理可知，，且和“次缠绕”． 综上，存在，使得， 且和在上“次缠绕” 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$