第05讲 立体几何常考模型大汇总（8大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第05讲 立体几何常考模型大汇总 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 在高考立体几何解答题里，常考模型丰富多样，像柱体、锥体、球体、旋转体以及多面体等都是“常客”。这些模型在题目中常常会关联到多个关键考点。 一方面，体积与表面积的计算是基础且重要的考查内容，需要精准运用相关公式。另一方面，截面问题也不容小觑，要能准确分析截面形状及相关性质。此外，几何体间的组合或相交问题，考验着对空间结构的理解与分析能力。 空间位置关系的判断与证明，如平行、垂直关系，需熟练掌握判定定理和性质定理。空间角的计算，包括异面直线所成角、线面角、二面角等，是解题的难点和重点。空间距离的计算，像点到平面的距离、两平行平面间的距离等，也有着特定的求解方法。考生只有扎实掌握这些模型的基本性质和解题技巧，才能在高考中从容应对立体几何解答题，提升解题能力。 题型一：以非常规空间几何体为依托 【例1】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形． (1)求证：平面； (2)若，，，求平面和平面夹角的余弦值. 【解析】（1）因为为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，所以，． 因为四边形为矩形，平面， 所以，，则平面， 又因为平面，所以，， 因为，、平面，所以，平面． （2）因为，平面， 以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，． 设平面的法向量为，则， 令，得，所以． 设平面的法向量为，则， 令，得，，所以， 所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为． 【变式1-1】（2025·河南焦作·三模）如图，在圆锥中，平面是轴截面，为底面圆周上一点（与不重合），为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的大小． 【解析】（1）在圆锥中，平面，平面,所以， 因为为的中点，，所以， 因为，平面，所以平面． （2）在平面内，过作交于点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系，如图． 因为，所以， 由（1）知平面的一个法向量为． 又，所以． 设平面的法向量为， 则取，则． 所以， 所以平面与平面的夹角为． 【变式1-2】如图，PC是圆台的一条母线，是圆的内接三角形，AB为圆的直径，．    (1)证明：； (2)若圆台的高为3，体积为，求直线AB与平面PBC夹角的正弦值． 【解析】（1）由题知，因为为圆的直径，所以， 又，所以， 因为为的中点，所以， 由圆台性质可知，平面，且四点共面， 因为平面，所以， 因为是平面内的两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以. （2）圆台的体积，其中， 解得或(舍去). 由（1）知两两垂直，分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以. 设平面的一个法向量为， 则解得 于是可取. 设直线与平面的夹角为， 则， 故所求正弦值为. 【变式1-3】（2025·高二·浙江宁波·期中）如图，为圆柱的轴截面，为底面半圆周上一点，为中点， (1)若，求的长 (2)若，求平面与平面所成夹角的余弦值 【解析】（1）因为为圆柱的轴截面， 所以平面，平面，所以， 又因为，平面, 所以平面，平面，所以， 又因为，，平面, 所以平面，所以， 因为为中点，所以三角形为等腰三角形，即； （2）如图，以为坐标原点，以，为，轴建立空间直角坐标系，设， 则,0,，,0,，,2,，,2,，,0,，可得,1,， 设平面的法向量为， 可得，设平面的法向量为， 则，即，不妨令， 可得,2,为平面的一个法向量， 所以， 平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 题型二：立体几何存在与探索类问题 【例2】（2025·高二·江苏扬州·期中）如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以； 因为平面平面，又平面平面，又面， 所以平面；取边的中点记为，则； 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，所以； （2）由（1），，，， 所以，，， 记平面的法向量为， 所以， 不妨取，得， 所以为平面的一个法向量； 记直线与平面的所成角为， 则， 所以，直线与平面的所成角的正弦值为； （3）设，其中， ，， ，， ， 记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得， 即； 则点到平面的距离， 整理得：即， 解得或（舍去）， 所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． 【变式2-1】（2025·高三·山东威海·期末）如图，在以为顶点的多面体中，平面平面，为的中点    (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）连接交于点，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以为的中点， 又因为为的中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 以为坐标原点，在平面内，以过点垂直于的方向为轴正方向， 以的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，可得， 令，则， 假设在棱上存在一点，使得直线与平而所成角的大小为， 设， 因为，则， 又因为，所以， 则， 化简得，解得， 因为，所以， 所以在棱上存在一点，使得直线与平面所成角的大小为， 此时. 【变式2-2】如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）证明：，， 又平面平面， 所以平面， 平面，， 又平面平面， 平面； （2）平面， ∴ 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，， ，设平面的法向量为， 则，故可设.， 所以点B到平面的距离为. （3）存在，理由如下： 假设在线段上存在一点，使得平面平面， 设， 则，， ， 设平面的法向量， 由， 得， 令，得． 设平面的法向量为， ， 故， 取，得． 因为平面平面， 所以， 解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且． 【变式2-3】如图，在四棱锥P-ABCD中，，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，． (1)取线段PA中点M，连接BM，证明：； (2)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得，平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 题型三：立体几何折叠相关问题 【例3】（2025·高三·江苏南京·开学考试）梯形ABCD中E为AD上的一点且有将沿BE翻折到使得二面角的平面角为连接PC，PD，F为棱PD的中点.    (1)求证：面； (2)当时，求直线PC与平面BCF所成角的正弦值. 【解析】（1）取PE中点G，连接GB，GF， 已知，且，得到 得到四边形BCFG为平行四边形，则， 又平面，平面，则 面 （2），则，且，，平面， 则平面，面，则面面， 二面角的平面角为. 在平面PDE内，过点E作交PD于点Q，面， 面面，面， 以为正交基底建立如图坐标系，则, 设，则，则.,则. 则，，， ，，， 设为面BCF的法向量，直线PC与平面BCF所成角为， 则，令，则，所以， 则， 【变式3-1】（2025·江西鹰潭·二模）如图1，等腰梯形是由三个全等的等边三角形拼成，现将沿BC翻折至，使得，如图2所示． (1)求证：； (2)在直线上是否存在点，使得直线BM与平面APD所成角的余弦值为？ 若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 【解析】（1）在图1连接交于点，在图2中，易知、都是等边三角形，易得，， 又，，平面，可得平面； 又直线平面，所以． （2）解法一：假设存在点，符合题意．设，则， 则在中，由，，由余弦定理得， 由（1）得直线平面，又，直线平面，平面， 平面平面 作，垂足为，则平面， 在，由，，所以 如图3，取中点，连接，由，，得四边形为平行四边形， 因为平面，所以平面， 则直线与平面所成角为，且． 由已知，即，由，得 在中，设，由余弦定理得 即，解得或 所以存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，此时或 解法二（向量法）设，则，则在中，由，， 由余弦定理得，作，垂足为，连接，得，， 如图3，以的中点为原点，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，所以， 因此，， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则；即向量， 设存在点，，满足题意，则， 所以， 设直线与平面所成角为，则，所以 所以，解得， 所以存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，此时或 【变式3-2】（2025·江西宜春·一模）如图，在等腰梯形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，沿线段EF将四边形AEFD翻折到四边形MEFN的位置，连接MB，NC.已知，，，P为射线FN上一点. (1)若，证明：平面BCNM. (2)若直线FN与平面CEP所成角的正弦值为，求PF. 【解析】（1）证明：在线段CN上取一点Q，使得，连接PQ，BQ. 因为，所以，且， 因为，，所以，且， 所以四边形EBQP是平行四边形，. 因为平面BCNM，平面BCNM，所以平面BCNM. （2）以F为坐标原点，FN，FE所在直线分别为x轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 设（），则. 设平面CEP的法向量为， 则， 令，则. 直线FN的一个方向向量为. ， 解得（舍去）. 故. 【变式3-3】（2025·高二·浙江温州·期中）如图，在矩形中，为AD的中点，，将沿BE翻折至的位置，点在上，且 (1)求证：平面； (2)若平面平面，求二面角的余弦值. 【解析】（1）证明：连接BD交CE于点，连接FG， 因为，所以， 平面，平面， 平面； （2）平面平面，平面平面，取中点O， 则平面，所以平面， 因为，所以，， 过C作的平行线为z轴，以为轴，建立空间直角坐标系如图所示 则，， ，，所以， 设平面的法向量， 则，则 平面的一个法向量，由上可取平面的一个法向量为， 设二面角的平面角大小为， 则由图可得二面角的余弦值为. 题型四：立体几何作图相关问题 【例4】如图，在直三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，且是棱上一动点（不包括端点），为的中点.    (1)若为的中点，请作出与平面的交点，并写出与的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和理由）； (2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围. 【解析】（1）作图如下：延长与相交于点，再连接交于点. 由于,为中点，所以， 故为的中点， 又,为的中点，所以， 故；    （2）取的中点，则，因为平面，所以平面， 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示，    因为直三棱柱的底边长和侧棱长都为为的中点， 所以， 设，则点，所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 直线与平面所成的角为， 所以， 因为，则，所以. 故的取值范围为. 【变式4-1】（2025·高二·上海·期中）在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    (1)请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）. (2)计算截面的周长. (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 【解析】（1）画直线与线段的延长线分别交于点，连接分别交于， 连接，则五边形为截面.    （2）由分别为的中点，得，而， 则，由，得，， ，同理，而， 所以截面的周长. （3）在正方体中，连接，， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，于是，同理，而， 则平面，又平面，则平面平面， 令平面与平面，而平面平面，则， 同理得平面与正方体其他各面的交线都与所在正方形的对角线平行， 令，则，， ，同理， 所以该截面多边形的周长.    由截面与正方体各面的交线平行于所在正方形的对角线， 得不论六边形如何平行移动，它的每个内角都是，且相邻边长的和为， 边长为的菱形中，，在上分别取点， 使，过作的平行线交分别于， 则六边形的每个内角都是，任意相邻相邻边长的和为，   ，六边形的面积 ， ，，， 所以截面多边形面积的取值范围是. 【变式4-2】（2025·高二·浙江绍兴·期末）已知棱长为的正方体中，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)过三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长. 【解析】（1）连接，则由中位线定理得 又由正方体性质得且， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以，又平面，平面， 所以平面.    （2）如图，延长，与的交点分别为， 则连接即可得到过三点的正方体的截面， 由题意可知，故， 所以截面的周长为.    【变式4-3】如图所示，在四棱锥中；平面平面，，且，设平面与平面的交线为．    (1)作出交线（写出作图步骤），并证明平面； (2)记与平面的交点为，点在交线上，且，求平面与平面夹角的正弦值． 【解析】（1）延长，交于点，连接，则直线即为所求作的直线；       因为，所以， 又因为，所以，分别为，中点， 且为正三角形，所以，       又，平面平面且交线为，且平面， 所以平面， 且面PAB，所以，     又，且平面，平面， 所以平面，即平面：          （2）取的中点，连结，则， 又平面平面且交线为，且平面， 所以平面，     以为原点，，所在直线为，轴建立如图空间直角坐标系，    则，，，，，， 由，得， 所以，，     显然平面的一个法向量为，      设平面的法向量为， 则，即 取，则，， 所以平面的一个法向量为，   设平面与平面夹角为， 所以， 则， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 题型五：立体几何建系复杂类问题 【例5】（2025·高二·福建三明·期末）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为D． (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点F，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，指出点F的位置；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）解法一：在三棱柱中，连接， ∵为等边三角形，D为中点，∴， ∵在平面内的射影为D，∴平面， ∵平面，∴， ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴， ∵四边形为菱形，∴， ∵D，E分别为，中点，∴，∴， ∵，，平面，∴平面． 解法二：在三棱柱中，连接， ∵为等边三角形，D为中点，∴， ∵在平面内的射影为D，∴平面， ∵平面，∴，故直线，，两两垂直， 以D为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，，． 设平面的一个法向量为，则， 令，得， ∴，即，∴平面． （2）由（1）知，直线，，两两垂直， 以D为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，，． 设在棱存在点F，使得平面与平面夹角的余弦值为， 设，即， 则， 设平面的一个法向量为，则， 令，得， 设平面的法向量，则， 令，得， 设平面与平面夹角为， 则， 化简得， 解得或（舍）． 故当点F为棱的中点时，平面与平面夹角的余弦值为． 解法二：设在棱存在点F，使得平面与平面夹角的余弦值为， 设，即， 则， 设平面的法向量，则， 令，得， 设平面与平面夹角为， 则， 化简得， 解得或（舍）． 故当点F为棱的中点时，平面与平面夹角的余弦值为． 【变式5-1】如图，四棱柱的所有棱长都为2，AC交BD于点，且． (1)求证：平面ABCD； (2)若，求直线AB与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）由题意得四边形ABCD是边长为2的菱形，所以， 因为， 所以， 所以，即， 又， 所以平面ABCD. （2）由（1）知，两两垂直，以为坐标原点， 直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以为等边三角形，， 则， 所以， ， 设平面的法向量为， 则，得， 取，得， 设直线AB与平面所成的角为， 则， 所以直线AB与平面所成角的正弦值为. 【变式5-2】（2025·高二·云南昆明·期末）如图，平面四边形中，，且，现将△沿折起，使得，如图． (1)证明：平面⊥平面； (2)点在线段上，平面把三棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值． 【解析】（1） 证明： 由题设可得， . 又， 取的中点，连接，.则，， 又因为是正三角形，所以， 所以为二面角的平面角． 在中，， 又，，所以， 故.所以平面⊥平面. （2）由题设及（1）知，，，两两垂直， 以为坐标原点， 的方向为x轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为D到平面的距离的， 即为的中点，得.故，，. 设是平面的法向量，则，即， 可取. 设是平面的法向量，则即， 可取． 则. 由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 题型六：借助传统方法找关系建系问题 【例6】（2025·高二·上海浦东新·期中）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，.    (1)求与平面所成角的大小（用反三角函数表示）； (2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值. 【解析】（1）（1）连接， 因为平面，所以即为与平面所成的角， ， 则， 所以与平面所成角的大小为； （2）存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为，且， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则，设， 故， 设平面的法向量为， 则有，可取， 则点到平面的距离为， 解得（舍去）， 所以存在，且；    （3）如图，延长到，使得，连接，取的中点，连接， 因为点是的中点，所以且， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面， 所以关于平面对称， 则，当且仅当三点共线时取等号， 设，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 因为，，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以.    【变式6-1】（2025·高二·广东·期末）如图，在三棱锥中，，，是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长． 【解析】（1）取的中点，连接、， 因为，，则，   所以，所以，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、， 当点为的中点时，，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 所以，， 故当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，因为，其中， 所以，，可得，即点， 因为平面，则点，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值， 此时，点，    由（2）可知，此时，平面的一个法向量为， 设，其中， 则， 因为平面，则， 所以，，解得， 所以，，所以，即的长为. 【变式6-2】（2025·山东·模拟预测）如图，四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，且，，平面． (1)证明：平面平面； (2)求四棱锥体积的最大值； (3)当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）由题意知四边形存在外接圆， 故， 而，即， 所以，故， 由平面，平面，可得， 而，平面，平面， 故平面， 又因为平面，故平面平面． （2）如图，过点作，垂足为， 由（1）平面平面，又平面平面，平面， 所以平面． 设四边形的面积为， 则四棱锥的体积， 因为，，所以， 因为平面，平面， 所以，则点P在以AB为直径的圆上， 当时，PH最大，最大值为． 因为，所以点在以为直径的圆上，且， 当时，最大，最大值为，此时底面ABCD是正方形． 所以四棱锥体积的最大值为． （3）以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，过点A且与平面ABCD垂直的直线为z轴， 建立空间直角坐标系，如图． 由（2）可知，，，． 所以，，． 设平面PBD的法向量为， 则， 取，则， 所以为平面PBD的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式6-3】（2025·高二·广东广州·期中）如图，在三棱锥中，，．是线段上的点． (1)求证：平面平面ABC； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面，为垂足，当三棱锥体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【解析】（1）取的中点，连接， 因为，则， 由，得，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， 当点为的中点时，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以， 故当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，因为，其中， 所以，，可得，即点， 因为平面，则点，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值. 由（2）知平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 所以， 所以三棱锥的体积取得最大值时，平面与平面夹角的余弦值为. 题型七：空间中求点困难类问题 【例7】（2025·浙江温州·三模）如图，几何体由两个直三棱柱拼接而成，在直三棱柱中，；在直三棱柱中，．直线分别交平面于点． (1)求证：； (2)若，则 （i）当时，求线段的长度； （ii）当平面与平面的夹角与互余时，求的值． 【解析】（1）由题意可知：，又为平面内两条相交直线，所以平面， 所以平面与平面共面，所以可知在上， 因为为直三棱柱，所以平面， 又在平面内，所以没有交点， 又都在平面内， 所以． （2）（i）因为， 所以， 又，可得，所以 又因为，所以，可得． （ii）如图建系，则， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因平面的法向量可取为， 所以， 因，则有， 整理得， 即， 因， 代入可得，即， 解得，即，解得：， 因，故得． 【变式7-1】（2025·山西晋中·模拟预测）如图，四棱锥的底面为正方形，，且.    (1)求证：平面平面. (2)若，且三棱锥的体积是四棱锥体积的一半. （i）求点到平面的距离； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）在中，，得， 则，即， 因为四边形为正方形，则， 又因，平面，平面，则平面， 又因平面，则平面平面. （2）（i）以点为坐标原点，分别为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 则， 得，即， 因， ，且， 则， 因，则，即， 设平面的法向量， 则，即，取，则， 则点到平面的距离为.    （ii）， 设平面的法向量， 则，即，取，则， 所以， 则平面与平面夹角的余弦值为. 【变式7-2】如图，在多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，且，，为的中点． (1)求证：平面平面． (2)已知，，，点是线段上的动点． （ⅰ）判断是否存在一点，使得与垂直？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【解析】（1）证明：因为，且为的中点，所以，． 又因为，所以，所以四边形为平行四边形， 所以． 又因为平面，平面，所以平面． 同理，，且，所以四边形为平行四边形，则． 又平面，平面，所以平面． 又，平面，且，所以平面平面． （2）（ⅰ）取的中点，连接，过点作交于点，取的中点，连接． 因为四边形与四边形均为等腰梯形，且，，， 所以，，，，． 在中，，所以，所以． 所以二面角为直二面角，所以平面平面． 又平面平面，平面，所以平面． 因为平面，所以，所以两两垂直． 故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 因为点是线段上的动点，所以设，所以． 假设存在点使得与垂直，则， 所以，即，解得． 故当时，点为线段上靠近点的六等分点． （ⅱ）设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为． 由（ⅰ）知，． 设直线与平面所成角为， 则， 易知当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为． 【变式7-3】（2025·浙江·模拟预测）在多面体中，已知，，且，．    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）如图，分别取，的中点、，连接、、，则且，    因为且， 所以且 则四边形为平行四边形，所以且， 因为，所以， 所以， 又因为，所以， 又因为，、平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． （2）取的中点为，的中点为，连接，，，如图所示，    因为，所以， 在等腰梯形中，易得， 又因为，、平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 过作于点，由平面平面，平面， 则平面， 连接，则就是直线与平面所成的角， 因为平面，所以， 由，，得，，是中点，， 在等腰梯形中，， 所以在等腰中，腰上的高， 又因为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 题型八：新定义类问题 【例8】（2025·高二·上海崇明·期中）正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点，与交于点，且. (1)用向量方法求线段的长； (2)对于个向量、、…、，如果存在不全为零的个实数、、…、，使得，则称这个向量、、…、线性相关，否则称其线性无关.试判断三个向量、、是否线性相关，并说明理由. 【解析】（1）由题设可得， ， 故， 整理得到，故. （2）令， 则， 整理得到， 故，解得， 故、、线性无关. 【变式8-1】（2025·高二·江西景德镇·期中）在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为（其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，，两两垂直，，，直线与平面所成的角为，以为坐标原点，，，的方向分别是，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面的一般式方程. (2)求到直线的距离. (3)在棱是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由于平面， 所以平面，所以是直线与平面所成的角， 所以，所以. 所以， 所以, ，设平面的法向量为， 则，故可设，平面， 则平面的方程为， 即. （2）在中，，， 设到的距离为，则， 由于平行四边形和平行四边形全等， 所以到直线的距离等于设到的距离， 即到直线的距离为. （3），，，， 即，而， 所以， 设，则，即， 所以，， ，， 设平面的法向量为， 则，故可设. 设平面的法向量为， 则，故可设， 若平面平面，则， 即， 解得，负根舍去， 所以存在符合题意的点，且. 【变式8-2】把直线看作是动点的轨迹（集合），利用坐标法描述动点P的特征，其中为直线的法向量，使直线有了代数表达形式，即直线的方程. (1)类比此思想与方法，在空间直角坐标系下，若、、，求平面的方程. (2)求点到平面的距离. 【解析】（1），， 设为平面的法向量， 则有， 令，则有，，即， 则平面的方程为：， 即； （2）由题可得，平面的法向量为，且过点， 则有， 则点到平面的距离. 【变式8-3】阅读数学材料：“为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.”解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，当直四棱柱的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率都相等，当直四棱柱的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等. (1)若，求直四棱柱在顶点处的离散曲率. (2)若四面体在点处的离散曲率为，证明平面. (3)若直四棱柱在顶点处的离散曲率为，求与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）若，则菱形为正方形，因为平面平面， 所以， 所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为． （2）在四面体中，，所以， 所以四面体在点处的离散曲率为， 解得， 易知，所以，所以， 所以直四棱柱为正方体， 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，同理， 又平面，所以平面． （3）直四棱柱在顶点处的离散曲率为， 则，即是等边三角形， 则菱形中，， 平面，面，则， 又，平面，所以平面， 设，则即为与平面的所成角，． 1．（2025·高二·福建莆田·期中）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，F是半圆弧上（不含B，C）的动点，FG为圆柱的一条母线，点A在半圆柱下底面所在平面内，，． (1)求证：； (2)若平面ABE，求平面FOD与平面GOD夹角的余弦值. 【解析】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 连接，在中，，，则， 于是， 设，则，其中，， 因此，即， 所以． （2）由平面平面，得， 又，则，而平面， 则平面，即为平面的一个法向量， ，由平面，得， 又，解得，此时， 设是平面的法向量，则， 取，得， 设是平面的法向量，则， 取，得， 则平面与平面夹角的余弦值为． 2．（2025·高二·湖南长沙·期中）如图，在矩形纸片中，，，沿将折起，使点D到达点P的位置，点P在平面的射影H落在边上. (1)求三棱锥的体积； (2)若M是棱上的一个动点，是否存在点M，使得平面与平面的夹角正切值为，若存在，求点M到平面的距离；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）作，垂足为E，连接，如图所示. 由点在平面的射影落在边上，可得平面， 又平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又平面，所以. 因为四边形为矩形，所以，可得， 由，，可得，，. 所以，. 由，可得，即， 则. 在中，. 所以. （2）根据题意，以点H为坐标原点，以过点H且平行于的直线为y轴，分别以，所在直线为x，z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，，，，. 设，， 可得， 所以. 易知，，，. 设平面的法向量为， 所以 解得，取，则，即， 设平面的法向量为， 所以 解得，取，则，即， 因为平面与平面的夹角正切值为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为， 即， 整理可得，解得（舍去）或. 因此当时，平面与平面的夹角的正切值为， 此时点到平面的距离为. 3．（2025·辽宁辽阳·二模）在矩形中，为上两个不同的三等分点，如图1．将和分别沿向上翻折，使得点重合，记重合后的点为，如图2．已知，四棱锥的体积为． (1)求； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）取的中点分别为，连接， 过点作，垂足为， 设，则， 为等边三角形，， 在中，， 在中，， ， 又梯形的面积， 所以四棱锥的体积为， 解得（舍去），即； （2）由（1）可得． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以．． 设平面的法向量为，则 取，得． 设平面的法向量为，则 取，得． 所以，， 所以平面与平面所成角的正弦值为． 4．（2025·安徽安庆·二模）如图，在矩形中，为中点，在边上，且，将沿翻折至，得到五棱锥为中点.    (1)求证：平面： (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）证明：如图，取中点，连接，    因为在矩形中，， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又，所以， 因为平面，所以平面， 在中，分别为的中点， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面； （2）取中点，连接，如图所示，    因为在矩形中，， 所以在中，，且， 因为平面平面，且平面平面， 所以平面， 以为坐标原点，所在直线为轴，并过点分别作与平行的直线为轴，与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得： ， 所以， 设平面的法向量为，有 ，所以， 取，得平面的一个法向量为 又，设直线与平面所成角的， 则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 5．如图，在三棱锥中，，，，. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）证明：中，，，则有； 在中，，， 由余弦定理，，解得， 中，由余弦定理：， .     又，，所以平面，     又平面，所以平面平面. （2）建系如图，以点为原点，为轴，为轴建立坐标系， 在等腰三角形中，，则， ，，， ，.     设是平面的一个法向量， 令，则.     平面的一个法向量，     设平面与平面夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 6．如图，在四棱台中，底面，底面是边长为2的正方形，，点为线段上的动点，棱台的体积为. (1)求的长； (2)若平面，请确定点的位置； (3)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 【解析】（1）底面是边长为2的正方形，， 故底面是边长为1的正方形， 所以底面的面积为，底面的面积为， 底面，故为棱台的高， 故棱台的体积为，解得； （2）因为底面，平面， 所以，， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由（1）知， 则， 设，， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 所以， 因为平面，所以， 解得，此时，点的位置为靠近的4等分点； （3）， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 由（2）知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 令， 则， 因为，故当，即时，取得最大值， 最大值为. 7．如图，四边形是边长为4的正方形，半圆面平面，点P为半圆弧上一动点（点P与点A、D不重合）． (1)求证：； (2)当点P为半圆弧上中点时，求二面角的正弦值． 【解析】（1）因为点为半圆弧上一动点（点与点、不重合），为直径，所以， 因为四边形为正方形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，则， 因为，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）因为平面，，则平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 平面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 当点为半圆弧上中点时，， 由于四边形是边长为4的正方形 ，则、、、，所以，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 易知平面的一个法向量为， 所以， 故， 因此，二面角的正弦值为. 8．（2025·高二·贵州贵阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，若分别为的重心. (1)求证：平面； (2)若，在线段上存在一点，使得，且平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【解析】（1）延长交于，延长交于，连接， 因为分别为的重心， 所以分别为的中点，且， 又因为底面为平行四边形， 所以 又因为平面平面， 所以平面. （2）因为底面，所以 又因为，且， 所以平面，所以， 故以为原点，分别以分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 则， 易得 设 则 设平面的法向量为，而 则，即 令，则，得， 而平面的法向量为， 又平面与平面所成夹角的余弦值为 所以，解得或， 因为，所以， 9．在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． (1)求经过的直线的点方向式方程； (2)已知平面，平面，平面，若，证明：； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小． 【解析】（1）由得，直线的方向向量为， 故直线的点方向式方程为． （2）由平面可知，平面的法向量为， 由平面可知，平面的法向量为， 设交线的方向向量为，则， 令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，即， 且，所以． （3）因平面经过三点，可得， 设侧面所在平面的法向量， 则，令，解得，可得， 由平面可知，平面法向量为， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，解得，即， 则， 故平面与平面夹角的大小为． 10．（2025·高二·四川凉山·期中）已知直三棱锥中，侧面为正方形，，E，F分别AC和的中点，D为上的点，BF⊥AB．    (1)当D为中点时，求C到平面DEF的距离； (2)当为何值时，平面与平面DEF夹角的正弦值最小． 【解析】（1）证明：因为AB⊥BF，， 由，平面，所以AB⊥平面， 因为平面，所以AB⊥BC． 以B为坐标原点，分别以BC，BA，所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系．    则，，， ，， 设平面DEF的法向量为，则 ，即，令，得 点C到平面DEF的距离． （2）设（），则，于是 设平面DEF的法向量为， ，即，令，得 易知平面的一个法向量为， 设平面与DEF的夹角为，则 故当，取最小值， 即当时，平面与DEF的夹角正弦值最小． 11．如图，在三棱锥中，分别是棱，上的动点（不含端点），且. (1)证明：平面平面. (2)设，则当为何值时，的长度最小？ (3)当的长度最小时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【解析】（1）由于 又平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）作交于，连接， 由于平面，故平面，平面，故， ，故， ，故又易知是等腰直角三角形， 由余弦定理可得 ， 故， 故当时，此时的最小值为. （3）由于，故， 以为坐标原点，以所在的直线分别为和轴， 以过点垂直与平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 当时，分别为的中点， 则，， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 取，可得平面的一个法向量， 平面的一个法向量为， 设平面与平面的所成角为，则， 故平面与平面的所成角的余弦值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 立体几何常考模型大汇总 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 在高考立体几何解答题里，常考模型丰富多样，像柱体、锥体、球体、旋转体以及多面体等都是“常客”。这些模型在题目中常常会关联到多个关键考点。 一方面，体积与表面积的计算是基础且重要的考查内容，需要精准运用相关公式。另一方面，截面问题也不容小觑，要能准确分析截面形状及相关性质。此外，几何体间的组合或相交问题，考验着对空间结构的理解与分析能力。 空间位置关系的判断与证明，如平行、垂直关系，需熟练掌握判定定理和性质定理。空间角的计算，包括异面直线所成角、线面角、二面角等，是解题的难点和重点。空间距离的计算，像点到平面的距离、两平行平面间的距离等，也有着特定的求解方法。考生只有扎实掌握这些模型的基本性质和解题技巧，才能在高考中从容应对立体几何解答题，提升解题能力。 题型一：以非常规空间几何体为依托 【例1】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形． (1)求证：平面； (2)若，，，求平面和平面夹角的余弦值. 【变式1-1】（2025·河南焦作·三模）如图，在圆锥中，平面是轴截面，为底面圆周上一点（与不重合），为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的大小． 【变式1-2】如图，PC是圆台的一条母线，是圆的内接三角形，AB为圆的直径，．    (1)证明：； (2)若圆台的高为3，体积为，求直线AB与平面PBC夹角的正弦值． 【变式1-3】（2025·高二·浙江宁波·期中）如图，为圆柱的轴截面，为底面半圆周上一点，为中点， (1)若，求的长 (2)若，求平面与平面所成夹角的余弦值 题型二：立体几何存在与探索类问题 【例2】（2025·高二·江苏扬州·期中）如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【变式2-1】（2025·高三·山东威海·期末）如图，在以为顶点的多面体中，平面平面，为的中点    (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【变式2-2】如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【变式2-3】如图，在四棱锥P-ABCD中，，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，． (1)取线段PA中点M，连接BM，证明：； (2)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型三：立体几何折叠相关问题 【例3】（2025·高三·江苏南京·开学考试）梯形ABCD中E为AD上的一点且有将沿BE翻折到使得二面角的平面角为连接PC，PD，F为棱PD的中点.    (1)求证：面； (2)当时，求直线PC与平面BCF所成角的正弦值. 【变式3-1】（2025·江西鹰潭·二模）如图1，等腰梯形是由三个全等的等边三角形拼成，现将沿BC翻折至，使得，如图2所示． (1)求证：； (2)在直线上是否存在点，使得直线BM与平面APD所成角的余弦值为？ 若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 【变式3-2】（2025·江西宜春·一模）如图，在等腰梯形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，沿线段EF将四边形AEFD翻折到四边形MEFN的位置，连接MB，NC.已知，，，P为射线FN上一点. (1)若，证明：平面BCNM. (2)若直线FN与平面CEP所成角的正弦值为，求PF. 【变式3-3】（2025·高二·浙江温州·期中）如图，在矩形中，为AD的中点，，将沿BE翻折至的位置，点在上，且 (1)求证：平面； (2)若平面平面，求二面角的余弦值. 题型四：立体几何作图相关问题 【例4】如图，在直三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，且是棱上一动点（不包括端点），为的中点.    (1)若为的中点，请作出与平面的交点，并写出与的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和理由）； (2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围. 【变式4-1】（2025·高二·上海·期中）在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    (1)请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）. (2)计算截面的周长. (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 【变式4-2】（2025·高二·浙江绍兴·期末）已知棱长为的正方体中，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)过三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长. 【变式4-3】如图所示，在四棱锥中；平面平面，，且，设平面与平面的交线为．    (1)作出交线（写出作图步骤），并证明平面； (2)记与平面的交点为，点在交线上，且，求平面与平面夹角的正弦值． 题型五：立体几何建系复杂类问题 【例5】（2025·高二·福建三明·期末）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为D． (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点F，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，指出点F的位置；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】如图，四棱柱的所有棱长都为2，AC交BD于点，且． (1)求证：平面ABCD； (2)若，求直线AB与平面所成角的正弦值． 【变式5-2】（2025·高二·云南昆明·期末）如图，平面四边形中，，且，现将△沿折起，使得，如图． (1)证明：平面⊥平面； (2)点在线段上，平面把三棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值． 题型六：借助传统方法找关系建系问题 【例6】（2025·高二·上海浦东新·期中）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，.    (1)求与平面所成角的大小（用反三角函数表示）； (2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值. 【变式6-1】（2025·高二·广东·期末）如图，在三棱锥中，，，是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长． 【变式6-2】（2025·山东·模拟预测）如图，四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，且，，平面． (1)证明：平面平面； (2)求四棱锥体积的最大值； (3)当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式6-3】（2025·高二·广东广州·期中）如图，在三棱锥中，，．是线段上的点． (1)求证：平面平面ABC； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面，为垂足，当三棱锥体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值． 题型七：空间中求点困难类问题 【例7】（2025·浙江温州·三模）如图，几何体由两个直三棱柱拼接而成，在直三棱柱中，；在直三棱柱中，．直线分别交平面于点． (1)求证：； (2)若，则 （i）当时，求线段的长度； （ii）当平面与平面的夹角与互余时，求的值． 【变式7-1】（2025·山西晋中·模拟预测）如图，四棱锥的底面为正方形，，且.    (1)求证：平面平面. (2)若，且三棱锥的体积是四棱锥体积的一半. （i）求点到平面的距离； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 【变式7-2】如图，在多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，且，，为的中点． (1)求证：平面平面． (2)已知，，，点是线段上的动点． （ⅰ）判断是否存在一点，使得与垂直？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【变式7-3】（2025·浙江·模拟预测）在多面体中，已知，，且，．    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 题型八：新定义类问题 【例8】（2025·高二·上海崇明·期中）正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点，与交于点，且. (1)用向量方法求线段的长； (2)对于个向量、、…、，如果存在不全为零的个实数、、…、，使得，则称这个向量、、…、线性相关，否则称其线性无关.试判断三个向量、、是否线性相关，并说明理由. 【变式8-1】（2025·高二·江西景德镇·期中）在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为（其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，，两两垂直，，，直线与平面所成的角为，以为坐标原点，，，的方向分别是，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面的一般式方程. (2)求到直线的距离. (3)在棱是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式8-2】把直线看作是动点的轨迹（集合），利用坐标法描述动点P的特征，其中为直线的法向量，使直线有了代数表达形式，即直线的方程. (1)类比此思想与方法，在空间直角坐标系下，若、、，求平面的方程. (2)求点到平面的距离. 【变式8-3】阅读数学材料：“为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.”解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，当直四棱柱的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率都相等，当直四棱柱的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等. (1)若，求直四棱柱在顶点处的离散曲率. (2)若四面体在点处的离散曲率为，证明平面. (3)若直四棱柱在顶点处的离散曲率为，求与平面所成角的正弦值. 1．（2025·高二·福建莆田·期中）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，F是半圆弧上（不含B，C）的动点，FG为圆柱的一条母线，点A在半圆柱下底面所在平面内，，． (1)求证：； (2)若平面ABE，求平面FOD与平面GOD夹角的余弦值. 2．（2025·高二·湖南长沙·期中）如图，在矩形纸片中，，，沿将折起，使点D到达点P的位置，点P在平面的射影H落在边上. (1)求三棱锥的体积； (2)若M是棱上的一个动点，是否存在点M，使得平面与平面的夹角正切值为，若存在，求点M到平面的距离；若不存在，请说明理由. 3．（2025·辽宁辽阳·二模）在矩形中，为上两个不同的三等分点，如图1．将和分别沿向上翻折，使得点重合，记重合后的点为，如图2．已知，四棱锥的体积为． (1)求； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 4．（2025·安徽安庆·二模）如图，在矩形中，为中点，在边上，且，将沿翻折至，得到五棱锥为中点.    (1)求证：平面： (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 5．如图，在三棱锥中，，，，. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 6．如图，在四棱台中，底面，底面是边长为2的正方形，，点为线段上的动点，棱台的体积为. (1)求的长； (2)若平面，请确定点的位置； (3)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 7．如图，四边形是边长为4的正方形，半圆面平面，点P为半圆弧上一动点（点P与点A、D不重合）． (1)求证：； (2)当点P为半圆弧上中点时，求二面角的正弦值． 8．（2025·高二·贵州贵阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，若分别为的重心. (1)求证：平面； (2)若，在线段上存在一点，使得，且平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 9．在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． (1)求经过的直线的点方向式方程； (2)已知平面，平面，平面，若，证明：； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小． 10．（2025·高二·四川凉山·期中）已知直三棱锥中，侧面为正方形，，E，F分别AC和的中点，D为上的点，BF⊥AB．    (1)当D为中点时，求C到平面DEF的距离； (2)当为何值时，平面与平面DEF夹角的正弦值最小． 11．如图，在三棱锥中，分别是棱，上的动点（不含端点），且. (1)证明：平面平面. (2)设，则当为何值时，的长度最小？ (3)当的长度最小时，求平面与平面的夹角的余弦值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$