新高二暑期成果验收卷（测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

新高二暑期成果验收卷 满分：150分 测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程 一．选择题（共8小题） 1．在空间直角坐标系中，点，3，关于平面对称的点的坐标是　　 A．，3， B．，， C．，3， D．，， 2．已知，，则“直线与直线垂直”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．直线关于直线对称的直线方程是　　 A． B． C． D． 4．直线的一个方向向量为　　 A． B． C． D． 5．已知直线的方向向量，平面的法向量，若，则　　 A． B． C．2 D． 6．空间直角坐标系中，，2，，，1，，，0，，点在平面内，且平面，则　　 A． B． C． D． 7．在长方体中，，，是的中点，点在线段上（包含端点），若直线与平面所成的角为，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 8．经过点，且以为圆心的圆的一般方程为　　 A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） 9．直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为，则直线的方程为　　 A． B． C． D． 10．如图，正方体的棱长为2，为的中点，为棱上的动点（包含端点），则下列结论正确的是　　 A．存在点，使 B．存在点，使 C．四面体的体积为定值 D．二面角的余弦值的取值范围是 11．已知圆与圆，则下列说法正确的是　　 A．圆的圆心恒在直线上 B．若圆经过圆的圆心，则圆的半径为 C．当时，圆与圆有4条公切线 D．当时，圆与圆的公共弦长为 三．填空题（共3小题） 12．若两条平行直线与之间的距离是2，则　　． 13．如图，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，，分别为和的中点，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为 　　． 14．已知，是圆上的动点，，则实数的取值范围是 　　． 四．解答题（共5小题） 15．已知的三个顶点是，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程． 16．已知圆的圆心在坐标原点，面积为． （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）若直线，都经过点，且，直线交圆于，两点，直线交圆于，两点，求四边形面积的最大值． 17．已知正三棱柱的各条棱长都相等，为上的点，，且． （1）求的值； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 18．已知圆的圆心为，且，，圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合），且线段为圆的一条直径． （Ⅰ）求证：的面积为定值； （Ⅱ）若直线经过圆的圆心，求圆的方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设是直线上的一个动点，过点作圆的切线，，切点为，，求线段长度的最小值． 19．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，．请用空间向量的知识解答下列问题： （1）求与平面所成角的大小； （2）设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高二暑期成果验收卷 满分：150分 测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程 一．选择题（共8小题） 1．在空间直角坐标系中，点，3，关于平面对称的点的坐标是　　 A．，3， B．，， C．，3， D．，， 【分析】根据空间点关于坐标平面的对称直接求解． 【解答】解：根据空间直角坐标系中点的对称的性质， ，3，关于平面对称的点的坐标为，3，． 故选：． 【点评】本题考查了空间点关于坐标平面的对称性的性质，是基础题． 2．已知，，则“直线与直线垂直”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】先计算出两直线垂直得到或1，故得到答案． 【解答】解：直线与直线垂直， 则， 解得或1， 故“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题考查直线垂直与斜率的关系以及充分必要条件的定义，属于基础题． 3．直线关于直线对称的直线方程是　　 A． B． C． D． 【分析】在直线上任取一点，设其关于直线的对称点为，然后根据对称关系，列方程表示出，，再代入中，化简得解． 【解答】解：在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为． 故选：． 【点评】本题考查直线中的对称问题，熟练掌握中点坐标公式，两条直线的垂直关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 4．直线的一个方向向量为　　 A． B． C． D． 【分析】变形后得到的方向向量是求出答案． 【解答】解：变形为， 故的方向向量是， 只有选项符合，其他选项均不合要求． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：直线的方向向量，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 5．已知直线的方向向量，平面的法向量，若，则　　 A． B． C．2 D． 【分析】根据得到与垂直，进而得到方程，求出． 【解答】解：因为，故与垂直， 故，解得． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 6．空间直角坐标系中，，2，，，1，，，0，，点在平面内，且平面，则　　 A． B． C． D． 【分析】利用向量法求出的长，再由勾股定理求解即可． 【解答】解：由，2，，，1，，，0，，得， 设平面的法向量， 则，令，则，， 故， 又，平面， 所以， 又， 所以． 故选：． 【点评】本题考查空间中点线面之间的距离，属于中档题． 7．在长方体中，，，是的中点，点在线段上（包含端点），若直线与平面所成的角为，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围． 【解答】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，0，，，0，，，2，，，1，，，2，， 设，则，，， 则，，，，， 设平面的法向量为，，，则， 令，得，，所以， 所以， 由于，所以， 所以． 故选：． 【点评】本题考查直线与平面所成角，属于中档题． 8．经过点，且以为圆心的圆的一般方程为　　 A． B． C． D． 【分析】根据两点间的距离公式求出圆的半径，结合圆的标准方程与一般方程之间的转化，即可求解． 【解答】解：由题意得，圆的半径， 所以圆的标准方程为， 所以圆的一般方程为． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 二．多选题（共3小题） 9．直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为，则直线的方程为　　 A． B． C． D． 【分析】根据直线方程的截距式求解． 【解答】解：由题意直线在两坐标轴上有截距且截距不为0， 故设所求直线方程为， 则，解得，，或，， 故直线方程为或． 故选：． 【点评】本题考查了直线方程的截距式，是基础题． 10．如图，正方体的棱长为2，为的中点，为棱上的动点（包含端点），则下列结论正确的是　　 A．存在点，使 B．存在点，使 C．四面体的体积为定值 D．二面角的余弦值的取值范围是 【分析】利用向量法，根据线面垂直，两点间的距离，几何体的体积，二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案． 【解答】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 设， 则，2，，，1，，，0，，，2，，，0，， 所以，，， 当时，即点与点重合时，，故正确； 因为，所以， 解得，此时点与点重合，故正确； 因为为定值，故错误； 又因为，，设平面的法向量， 由，令，则，，所以， 又因为平面的一个法向量为， 所以， 又因为，所以，故错误． 故选：． 【点评】本题考查空间中直线与平面的位置关系，几何体的体积，二面角等，属于中档题． 11．已知圆与圆，则下列说法正确的是　　 A．圆的圆心恒在直线上 B．若圆经过圆的圆心，则圆的半径为 C．当时，圆与圆有4条公切线 D．当时，圆与圆的公共弦长为 【分析】先将圆的方程化为标准方程，，由此即可判断；将圆的圆心坐标代入圆的方程即可求出参数，从而可得圆的半径，由此即可判断；判断此时两圆的位置关系即可判断；先求出公共弦方程，然后由圆的弦长公式计算判断即可． 【解答】解：，即，， 所以圆的圆心为，恒在直线上，故选项错误； 因为的圆心为在圆上，所以， 解得，所以的半径为，故选项正确； 当时，圆，圆心为，半径为1， 此时圆与圆的圆心距，即大于两圆半径和， 所以圆与圆外离，圆与圆有4条公切线，故选项正确； 当时，圆，圆，两圆相交， 公共弦方程为，圆的圆心到公共弦的距离， 所以圆与圆的公共弦长为，故选项错误． 故选：． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查转化思想，考查运算求解能力，属中档题． 三．填空题（共3小题） 12．若两条平行直线与之间的距离是2，则　　． 【分析】根据两直线平行求出的值，再由平行线之间的距离公式求出，即可得解． 【解答】解：因为直线与平行， 所以，解得， 所以， 又两平行线之间的距离，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查平行线间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题． 13．如图，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，，分别为和的中点，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为 　　． 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式结合空间向量的坐标运算，即可得到结果． 【解答】解：连接，相交于点，点为底面的中心，取中点为，连接，， 则，因为平面平面，则平面， 以点为原点，分别以，，为，，轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系， 且底面边长为2，是等边三角形， 则，1，，，，，，1，， ，，，0，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，解得， 取，则，，所以， 且平面上任意一点到底面中心距离的最小值即为点到平面的距离， 则， 所以平面上任意一点到底面中心距离的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查两点间距离最小值，考查向量法的应用，考查运算求解能力，属中档题． 14．已知，是圆上的动点，，则实数的取值范围是 　　． 【分析】由的几何意义可知其表示圆上的点，与点所在直线的斜率，求出过点的切线的斜率，结合图象即可求得结果． 【解答】解：设，由题知圆的圆心为，半径，表示直线的斜率， 不妨设过点的圆的切线方程为，则圆心到切线的距离， 解得或， 结合图可知，实数的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，考查运算求解能力，属于中档题． 四．解答题（共5小题） 15．已知的三个顶点是，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程． 【分析】（1）求出直线的斜率，则可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线的方程； （2）由题意分直线与平行和直线通过的中点两种情况求解． 【解答】解：（1）由，． 所以， 所以边上的高所在直线的斜率为， 则边上的高所在直线的方程， 即． （2）因为点，到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行， 因为，且过点， 所以方程为，即． ②当直线通过的中点， 所以， 所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或． 【点评】本题考查平行直线，垂直直线的性质的应用，属于基础题． 16．已知圆的圆心在坐标原点，面积为． （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）若直线，都经过点，且，直线交圆于，两点，直线交圆于，两点，求四边形面积的最大值． 【分析】（Ⅰ）根据面积解出半径，再应用圆的标准方程即可； （Ⅱ）根据几何法求出弦长，再应用面积公式计算，最后应用基本不等式求最值即可． 【解答】解：（Ⅰ）由题可知圆的圆心为，半径， 所以圆的方程为； （Ⅱ）当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，圆心到直线的距离为， 则， 同理可得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 当直线的斜率不存在时，， 此时， 当直线的斜率为0时，根据对称性可得， 综上所述，四边形面积的最大值为14． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题． 17．已知正三棱柱的各条棱长都相等，为上的点，，且． （1）求的值； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【分析】（1）设出正三棱柱的棱长，以底面上一边的中点为原点建立坐标系，写出要用的各个点的坐标，得到向量的坐标，根据向量的垂直关系，要求的实数的值． （2）在两条异面直线上构造两个向量，根据两个向量的坐标，写出两个向量的夹角的余弦，是一个负值，根据异面直线所成的角是不大于的角，得到余弦值． 【解答】解：（1）设正三棱柱的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系， 则：，，，，，1，，，，， ，，1，， ，，， ， ，，， （2）由（1）知：，，， 异面直线与所成角的余弦值是． 【点评】本题考查用空间向量解决立体几何中的夹角和距离的问题，是一个典型的题目，解题的关键是要用的点的坐标比较多，写起来比较繁琐，注意不要出错． 18．已知圆的圆心为，且，，圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合），且线段为圆的一条直径． （Ⅰ）求证：的面积为定值； （Ⅱ）若直线经过圆的圆心，求圆的方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设是直线上的一个动点，过点作圆的切线，，切点为，，求线段长度的最小值． 【分析】（Ⅰ）求出圆的方程，分别令， 求出，，即可求出的面积，即可证明； （Ⅱ）因为直线经过圆的圆心，所以，结合，即可解出，可求出求圆的方程； （Ⅲ）由题意可得，，，四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，可得圆的方程，由点到直线的距离、圆的弦长公式表示出，再由二次函数的性质即可求出求线段长度的最小值． 【解答】（Ⅰ）证明：设圆的方程为， 由题可知点在圆上， 则圆的方程为， 整理得， 因为圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合）， 令，解得：；令，解得：， 则，． 所以，为定值． （Ⅱ）解：因为直线经过圆的圆心，所以． 又，且，解得． 所以圆的方程为． （Ⅲ）解：过点作圆的切线，，切点为，， 显然，，，四点共圆，且为该圆的一条直径， 设这四点所在的圆为圆，， 则圆的方程为， 即，① 又圆的半径，方程可化为，②， ①②，得圆与圆的相交弦所在直线的方程为， 点到直线的距离， 所以 ，所以当时，取得最小值， 故线段长度的最小值为． 【点评】本题考查直线与圆的综合问题，属于中档题． 19．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，．请用空间向量的知识解答下列问题： （1）求与平面所成角的大小； （2）设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）证明出，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线面角的求解公式得到答案； （2）证明出，求出平面的法向量，设，则，，设平面的法向量为，根解两平面关角列出方程，求得或，设，进而根据，求出答案． 【解答】解：（1）因为，，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 取的中点，连接，因为是等边三角形，所以， 又平面平面，两平面交线为，平面， 所以平面， 取的中点，连接，则，因为平面，所以平面， 因为，平面，所以，， 故，，两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 因为，由勾股定理得， 所以，0，，，，，0，， 平面的法向量为， 设与平面所成角的大小为， 则，， 因为，所以， 所以与平面所成角的大小为； （2）设平面的法向量为， 则，令，得，，则，， 连接， 因为平面，平面平面，所以， 不妨设，则 ， 设，，，则，，，0，， 即，，，故，0，， 设，，，则， 即．．，故， 设平面的法向量为， 则， 解得，设，则，故，0，， 所以，， 化减得， 两边平方得，化简得， 解得或 设，则，设，，， 则，解得，， 故， 当．因为， 所以，解得， 解得满足要求， 当，，因为，所以， 解得，解得，满足要求． 故存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时的值为或． 【点评】本题考查线面角的大小的求法，考查平面法向量的求法，考查向量坐标的数量积运算，考查方程思想，考查化归转化思想，属难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$