重点03 立体几何中的体积、距离及夹角（六大常考题型）-2024年新高二数学暑假衔接重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

重点03 立体几何中的体积、距离及夹角 考点一、立体几何中的体积和距离 1.体积 （1）选择合适的底面,再利用体积公式求解；（2）利用割补法进行求体积 2.点面距离 （1）直接过点作面的垂线,求垂线段的长通常要借助于某个直角三角形来; （2）转移法:借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解; （3）体积法:利用三棱锥的特征转换位置来求解 考点二、立体几何中的夹角 1.异面直线的夹角 定义:设是两条异面直线,经过空间任一点作直线,把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角,范围: 求法:平移法:将异面直线平移到同一平面内，放在一个三角形内进行解三角形 2.线面角 定义:平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角,范围:求法:（1）过线上的面外一点做平面,交平面于点，连接,则即为直线与平面的夹角， （2）在中解三角形，即(其中即点到面的距离,斜线长即为线段的长度) 3.面面角 定义:以二面角的棱上一点为端点,在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角范围: 求法①:定义法:在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角； 求法②:三垂线法:自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足),斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角,即为二面角的平面角 题型一 求体积 1．如图1，等腰中，，，点，，为线段的四等分点，且.现沿，，折叠成图2所示的几何体，使. (1)证明：平面； (2)求几何体的体积. 2．如图，在梯形中，，，，，，点满足，把沿折起到，使得，其中分别为，，的中点.    (1)证明：； (2)求三棱锥的体积. 3．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点．    (1)求证：//平面； (2)若，求三棱锥的体积． 4．在直三棱柱中，是的中点．    (1)求证：//平面； (2)求三棱锥的体积； 5．如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，面ABCD，，E，F分别是PC，AD的中点． (1)证明：平面PFB； (2)求三棱锥的体积． 6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD的平行四边形，∠ADC=60°，，PA⊥面ABCD，E为PD的中点.    (1)求证：AB⊥PC； (2)若，求三棱锥P﹣AEC的体积. 7．如图所示，在直三棱柱中，，且. (1)求证：平面平面； (2)若D是的中点，求三棱锥的体积. 题型二 求点面距离 8．如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为中点，为中点，为中点，．    (1)证明：平面平面； (2)求点到面的距离． 9．如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一点，E，F分别是线段PB，PC的中点，，，．      (1)求证：平面AEF； (2)求证：平面PAC； (3)求点P到平面AEF的距离． 10．如图，在圆锥中，是圆的直径，为上更靠近的三等分点，为线段的中点，且，圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形．    (1)求圆锥的表面积； (2)求到平面的距离． 11．如图，正三棱柱的各条棱长均为2，是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 12．如图，在直三棱柱中，，D，E分别为和的中点．      (1)求证：平面； (2)若，求点到平面的距离． 13．如图，已知直三棱柱，，，，点为的中点．    (1)证明：∥平面； (2)求直线AB1到平面的距离． 14．如图，正四棱锥P－ABCD的高PO=4，，交于，为侧棱的中点．      (1)求证：//平面； (2)求O到平面EBC的距离． 题型三 求异面直线的夹角 15．在直三棱柱中，，，，D是的中点.    (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角. 16．如图，在正方体中，E，F分别是，的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线EF与所成角的大小. 17．从条件①，②中选择一个，补充在下列横线中，并解答问题． 如图，在直三棱柱中，点在线段上，已知______，且，，．（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 18．如图，长方体中，，，，点是棱上一点．    (1)当点在上移动时，三棱锥的体积是否变化？若变化，说明理由；若不变，求这个三棱锥的体积； (2)当点移动到中点时，求直线与成角的余弦值． 19．如图，在三棱锥中，已知，，且，、分别为、的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 20．如图，在正方体中，点E，F分别是棱，的中点．      (1)求证：平面； (2)求异面直线与AF所成角的余弦值． 21．如图，正四棱台中，，，.    (1)证明：平面； (2)若，求异面直线与所成的角的余弦值. 题型四 求线面角 22．如图，边长为2的正方形中，点E是的中点，点F是的中点，将分别沿折起，使A､C两点重合于点A′，连接.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 23．图①是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，.将其沿，折起使得与重合，连接，如图②.    (1)证明：平面平面； (2)证明：//平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 24．在四棱锥中，平面PAB⊥平面ABCD，为等腰直角三角形，，底面ABCD为矩形，，点E是AB的中点． (1)证明：EC⊥平面PED； (2)若F是CD的中点，求直线PF与平面PBC所成角的大小． 25．如图，在堑堵中（注：堑堵是一长方体沿不在同一面上的相对两棱斜解所得的几何体，即两底面为直角三角形的直三棱柱，最早的文字记载见于《九章算术》商功章），已知平面，，，点、分别是线段、的中点.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 26．在正三棱台中，，，为中点，在上，.    (1)请作出与平面的交点，并写出与的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和理由）； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 27．四棱锥中，．    (1)求证：平面平面； (2)当平面时，求直线与平面所成的角的正切值． 28．如图，平面ABCD外一点P，，，，，，，.    (1)求异面直线PC与AD所成角的大小 (2)证明：平面； (3)求与平面所成角的余弦值. 题型五 求面面夹角 29．如图，四棱锥，平面，，，，过点作直线的平行线交于，为线段上一点．    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 30．如图（1）所示，，，，如图（2）所示，把沿折起，使平面平面，为的中点，连接，，．    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值． 31．如图，在四棱锥中，底面是菱形.    (1)若点是的中点，证明：平面； (2)若，，且平面平面，求二面角的正弦值. 32．如图，三棱锥的底面是等腰直角三角形，其中，平面平面ABC，点E，N分别是AB，BC的中点．    (1)证明：平面PAB； (2)求二面角的余弦值． 33．在如图所示的空间几何体中，两等边三角形与互相垂直，，平面ABC，且点E在平面ABC内的射影落在∠ABC的平分线上．    (1)求证：平面ACD； (2)求二面角的正切值． 34．如图1，四边形是边长为2的正方形，将沿折叠，使点到达点的位置（如图2），且.    (1)求证：； (2)求二面角的大小. 35．如图1所示，在矩形中，，，点为线段上一点，，现将沿折起，将点折到点位置，使得点在平面上的射影在线段上，得到如图2所示的四棱锥．    (1)在图2中，线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由； (2)在图2中求二面角的大小． 题型六 已知空间角求其他量 36．在三棱锥中，，，．    (1)求证：； (2)若点在棱上，当直线与平面所形成的角的正弦值为时，求的值． 37．如图，两两垂直，过作，垂足为D. (1)求证：平面； (2)设，二面角的平面角为时，求三棱锥侧面积. 38．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点为线段的中点，点为线段上的动点. （1）求证：平面平面； （2）是否存在点，使得直线与直线所成角为60°?若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 39．如图①梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图②，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过三点的平面交于．    (1)证明：是的中点； (2)是上一点，已知二面角为，求的值． 40．如图，ABDC是平面四边形，为正三角形，，．将沿BC翻折，过点A作平面BCD的垂线，垂足为H．    (1)若点H在线段BD上，求AD的长； (2)若点H在BCD内部，且直线AB与平面ACD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 41．如图，在中，平面，，，为棱的中点，点在棱上. （1）若，求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为120°，求异面直线与所成角的余弦值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点03 立体几何中的体积、距离及夹角 考点一、立体几何中的体积和距离 1.体积 （1）选择合适的底面,再利用体积公式求解；（2）利用割补法进行求体积 2.点面距离 （1）直接过点作面的垂线,求垂线段的长通常要借助于某个直角三角形来; （2）转移法:借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解; （3）体积法:利用三棱锥的特征转换位置来求解 考点二、立体几何中的夹角 1.异面直线的夹角 定义:设是两条异面直线,经过空间任一点作直线,把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角,范围: 求法:平移法:将异面直线平移到同一平面内，放在一个三角形内进行解三角形 2.线面角 定义:平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角,范围:求法:（1）过线上的面外一点做平面,交平面于点，连接,则即为直线与平面的夹角， （2）在中解三角形，即(其中即点到面的距离,斜线长即为线段的长度) 3.面面角 定义:以二面角的棱上一点为端点,在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角范围: 求法①:定义法:在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角； 求法②:三垂线法:自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足),斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角,即为二面角的平面角 题型一 求体积 1．如图1，等腰中，，，点，，为线段的四等分点，且.现沿，，折叠成图2所示的几何体，使. (1)证明：平面； (2)求几何体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由，可知四边形是棱形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. （2）连接，，取的中点，连接，， 则， 由图1知，所以，， 又，平面，所以平面，则平面， 又，所以几何体为直三棱柱，平面， 由图1，直角三角形中，，，所以， 所以， 由，知三角形为正三角形，则， 所以. 2．如图，在梯形中，，，，，，点满足，把沿折起到，使得，其中分别为，，的中点.    (1)证明：； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）证明：因为点E满足，，，， 所以，，且， 因为，，所以，所以， 因为，，，所以，故， 又因为，平面，且，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：因为M，N分别为，的中点，所以， MN在面PMN内，BE不在面PMN内，则BE//面PMN， 所以， 因为，，平面，所以平面， 所以点N到平面的距离为， 又因为，所以.    3．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点．    (1)求证：//平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解法一：取中点，连接，，    因为是中点，所以，， 因为是中点，所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面． 解法二：取中点，连接，，    因为是中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． 因为是中点，是中点 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面，， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． （2）取中点，连接，    在正三棱柱中， 所以，且， 因为平面平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面，即平面， 所以的长为点到平面的距离， 又的面积为， 所以， 所以三棱锥的体积为． 4．在直三棱柱中，是的中点．    (1)求证：//平面； (2)求三棱锥的体积； 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【详解】（1）设，连接，由直三棱柱性质可知，侧面为矩形，    ∴为中点， 又∵为中点，∴在中，， 又∵平面，平面， ∴平面． （2）由题，∴，即， 又由直三棱柱可知，侧棱底面， ∴. 所以三棱锥的体积为5 5．如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，面ABCD，，E，F分别是PC，AD的中点． (1)证明：平面PFB； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）取PB的中点G，连接EG，FG，如图， E，G分别是PC，PB的中点，底面ABCD为正方形， 且，又且， 且， 四边形是平行四边形， 则，又平面PFB，平面PFB， 平面PFB. （2）因为， 又平面ABCD，所以是三棱锥的高， 因为， F是AD的中点,则, 所以, 即三棱锥的体积是. 6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD的平行四边形，∠ADC=60°，，PA⊥面ABCD，E为PD的中点.    (1)求证：AB⊥PC； (2)若，求三棱锥P﹣AEC的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意， ∵PA⊥面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴AB⊥PA， ∵∠ABC=∠ADC=60°，， 在△ABC中，由余弦定理有： ∴AB2+AC2=BC2， 即：AB⊥AC， ∵PA∩AC=A，又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC， ∴AB⊥平面PAC， ∵PC⊂平面PAC， ∴AB⊥PC. （2）由题意及（1）得，， 所以PA=AB=2，AD=4，因为PA⊥面ABCD 且E为PD的中点，所以E点到平面ADC的距离为， 所以三棱锥P﹣AEC的体积：    7．如图所示，在直三棱柱中，，且. (1)求证：平面平面； (2)若D是的中点，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱， 所以平面ABC. 因为平面ABC， 所以. 因为，平面， 所以平面. 又因为平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，平面， 所以是三棱锥的底面上的高. 因为， 所以. 因为D是的中点， 所以. 因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积. 题型二 求点面距离 8．如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为中点，为中点，为中点，．    (1)证明：平面平面； (2)求点到面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为为中点，为中点，所以，， 因为为中点，为中点，所以，. 又四棱锥中，底面为矩形，故，则， 因为平面，平面，则平面. 因为平面，平面，则平面. 又，平面，故平面平面. （2）因为为中点，故点到面的距离等于点到面的距离的. 又平面，平面，故，又，，平面，则平面. 又平面，故. 又，，故，又，则. 由，有，解得. 即点到面的距离为    9．如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一点，E，F分别是线段PB，PC的中点，，，．      (1)求证：平面AEF； (2)求证：平面PAC； (3)求点P到平面AEF的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：因为E，F分别是线段PB，PC的中点，所以, 又平面AEF，又平面AEF，所以BC平面AEF （2）因为PA垂直于所在的平面，包含于所在的平面， 所以, 因为C是圆周上不同于A，B的一点, 所以, 又平面PAC, 所以平面PAC, （3）又，所以平面PAC, 所以, ，所以，， ,, 又因为， F是线段PC的中点，所以, 所以, 设点P到平面AEF的距离为. 所以, ， 又，所以点P到平面AEF的距离为. 10．如图，在圆锥中，是圆的直径，为上更靠近的三等分点，为线段的中点，且，圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形．    (1)求圆锥的表面积； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，得， 所以圆锥的表面积为． （2）由题意得到平面的距离等于到平面的距离的． 因为为上更靠近的三等分点， 所以为等边三角形， 所以． 易得，， 设到平面的距离为， 由， 得． 故到平面的距离为． 11．如图，正三棱柱的各条棱长均为2，是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接交于E点，连接， 在正三棱柱中，四边形为矩形， 故为的中点，而是的中点.， 故，平面，平面， 故平面； （2）由于正三棱柱的各条棱长均为2，是的中点， 故， 而, 即有，即, 所以, 由于，设点到平面的距离为d， 则，则. 12．如图，在直三棱柱中，，D，E分别为和的中点．      (1)求证：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接，，    由且，可得四边形为平行四边形， ∴， 又面，面， ∴平面 （2）因为，且D为的中点，则， 又因为平面，平面，则， ，平面，所以平面， 在中，，，， ， 设点到平面的距离为． 由，即， 则点到平面的距离为． 13．如图，已知直三棱柱，，，，点为的中点．    (1)证明：∥平面； (2)求直线AB1到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设交于O，连接OD， 在直三棱柱中，可知：侧面是平行四边形，则O是的中点， 又因为D是AC的中点，所以， 且平面，平面，故∥平面. （2）由（1）知∥平面，可知直线与平面的距离等价于点A到平面的距离，设为h， 因为，，所以， 又因为D为AC的中点，则， 可得，， 在直三棱柱中，可得面ABC，面ABC， 故，， 在中，，， 在中，， 所以在中，， 可知为锐角，则， 故， 因为，即， 可得，解得， 所以直线与平面的距离为．    14．如图，正四棱锥P－ABCD的高PO=4，，交于，为侧棱的中点．      (1)求证：//平面； (2)求O到平面EBC的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为四边形为正方形， 则为的中点，因为为的中点，则， 又因为平面，平面， 所以，平面． （2）   在正四棱锥中，为底面的中心， 则底面， 因为为的中点，则点到平面的距离为， ， 因此， 因为， 依题意， 所以中边上的高为5． 设到面的距离为， 由得：． 题型三 求异面直线的夹角 15．在直三棱柱中，，，，D是的中点.    (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角. 【答案】(1)证明见解析. (2) 【详解】（1）    设与的交点为，连接， 因为为直三棱柱，且， 则四边形为正方形，所以为的中点， 又D是的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）由（1）可知，， 所以为直线与所成的角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，， 则， 即异面直线与所成的角为. 16．如图，在正方体中，E，F分别是，的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线EF与所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，连接.    ∵，分别是，的中点，∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，∴. ∵平面，平面， ∴平面. （2）∵，∴异面直线与所成的角即直线与所成的角. ∵，∴为正三角形， ∴异面直线与所成角的大小为. 17．从条件①，②中选择一个，补充在下列横线中，并解答问题． 如图，在直三棱柱中，点在线段上，已知______，且，，．（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)条件选择见解析，证明见解析 (2)条件选择见解析， 【详解】（1）证明：连接，设，如下图所示： 因为，，且，所以，， 则，，所以，， 所以，，故， 所以，，即， 若选①，因为，，、平面，因此，平面； 若选②，因为，且， 由余弦定理可得， 整理可得，解得， 所以，，所以，， 因为平面，平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 因为，、平面，因此，平面. （2）解：将直三棱柱补成直四棱柱，使得四边形为平行四边形， 则，故异面直线与所成角为或其补角， 若选①，由（1）可知，， 因为平面，平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，则，且， ， 则直四棱柱为长方体，所以，平面， 因为平面，所以，， 因为平面，平面，所以，， 所以，，故， 因此，异面直线与所成角的余弦值为； 若选②，由（1）可知，平面，因为， 则，以下同①. 18．如图，长方体中，，，，点是棱上一点．    (1)当点在上移动时，三棱锥的体积是否变化？若变化，说明理由；若不变，求这个三棱锥的体积； (2)当点移动到中点时，求直线与成角的余弦值． 【答案】(1)体积不变， (2) 【详解】（1）三棱锥的体积不变， ，． ． （2）当点移动到中点时，设，取的中点，连接、， 显然为的中点，所以， 所以直线与成角即为（或其补角）， 因为，，， 所以， 所以直线与成角的余弦值为.    19．如图，在三棱锥中，已知，，且，、分别为、的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为、分别为、的中点，则， 因为平面，平面，因此，平面. （2）解：因为，则异面直线与所成角为或其补角， 因为，，则为等边三角形，且， 因为为的中点，则，且， 易知是边长为的等边三角形， 因为为的中点，则，且， 因为，、分别为、的中点，则， 取线段的中点，连接，    因为，，则， 所以，， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 20．如图，在正方体中，点E，F分别是棱，的中点．      (1)求证：平面； (2)求异面直线与AF所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）证明：取的中点为G，连接BG，FG，    ∵F为的中点，∴且，而且， ∴且，∴四边形ABGF为平行四边形，∴， 又∵且，∴四边形为平行四边形，∴，∴， ∵面，面，∴平面； （2）取中点为O，连接，，    ∵O，G分别为，的中点，∴， 由（1）知，为异面直线AF与所成的角或其补角， 设正方体的边长为，则，，， ， ∴异面直线AF与所成角的余弦值为． 21．如图，正四棱台中，，，.    (1)证明：平面； (2)若，求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵正四棱台中，，， ∴，又∵， ∴，∴四边形为平行四边形， ∴，又∵平面，平面， ∴平面， ∵，平面，平面，∴平面， 又∵，平面，平面， ∴平面平面， ∵平面，∴平面.    （2）在等腰梯形中作交于点， 由（1）知，，∴， ∴就是异面直线与所成的角， ∵，， ∴中，，， ∴， ∴异面直线与所成的角的余弦值为. 题型四 求线面角 22．如图，边长为2的正方形中，点E是的中点，点F是的中点，将分别沿折起，使A､C两点重合于点A′，连接.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在正方形中，有， 则， 又，平面，∴平面， 而平面，∴； （2）方法一：∵正方形的边长为2，点E是的中点，点F是的中点， ∴， ∴， ∴， 由（1）得平面，    ∴分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则, ∴， 设平面的一个法向量为， 则有，可取， 令直线与平面所成角为， ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为； 方法二：连接交于点，连接， ∵正方形中，点E是的中点，点F是的中点， ∴， ∴点G为的中点，则， 又，∴， 又平面，∴平面， 又面，所以面平面， 平面平面，∴在面的射影在上， 则为直线与平面所成角，    由（1）可得，∴为直角三角形， 在正方形中，，， 易得，， 又，∴， ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 23．图①是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，.将其沿，折起使得与重合，连接，如图②.    (1)证明：平面平面； (2)证明：//平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）    由题意知，，平面, 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2）法一：由题意可知，， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. 法二：因为，平面,平面,所以平面, ，平面,平面,所以平面, 平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面. （3）过作交的延长线于点，连接， 因为平面平面，且交线为平面, 所以平面， 所以在平面内的射影为， 所以与平面所成的角为， 因为，所以，   在中，，， 在中，，，所以， 所以， 所以与平面所成角的正切值为. 24．在四棱锥中，平面PAB⊥平面ABCD，为等腰直角三角形，，底面ABCD为矩形，，点E是AB的中点． (1)证明：EC⊥平面PED； (2)若F是CD的中点，求直线PF与平面PBC所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）平面平面，平面平面， 因为，点E是AB的中点，所以，又平面PAB， 所以平面，平面，所以， 底面为矩形，且，所以， 所以， 则，，且平面， 所以平面； （2）由（1）的证明可知，，则平面，平面， 所以， 因为为等腰直角三角形，所以，则, 因为是的中点，所以，且， 设点到平面的距离为， 因为，即，得， , 设直线PF与平面PBC所成角为，所以,又 则， 所以直线PF与平面PBC所成角的大小为. 25．如图，在堑堵中（注：堑堵是一长方体沿不在同一面上的相对两棱斜解所得的几何体，即两底面为直角三角形的直三棱柱，最早的文字记载见于《九章算术》商功章），已知平面，，，点、分别是线段、的中点.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，      因为且，故四边形为平行四边形， 因为为的中点，则为的中点， 又因为为的中点，所以，， 因为平面，平面，所以平面. （2）解：取中点，由题意可知，所以，且，    因为平面，平面，所以， 又，所以， 因为，、平面，所以平面． 连接，则是直线与平面所成的角． 由题意，同理可得， 则， 因为平面，平面，则，则， 因为，，即直线与平面所成角的余弦值为. 26．在正三棱台中，，，为中点，在上，.    (1)请作出与平面的交点，并写出与的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和理由）； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)答案见解析，2 (2) 【详解】（1）①作图步骤：延长，使其相交于，连接，则可得； 作图如下：    作图理由：在平面中，显然与不平行，延长相交于， 由，则平面，由平面，则平面， 由，，则平面，可得 故平面. ②连接，如下图所示：    在正三棱台中，，即，易知， 则，由，且，则，显然， 由分别为的中点，则，且， 易知，故. （2）由题意，过作平面的垂线，垂足为，并连接，如下图所示：      由（1）可知：且，则，由，， 在侧面中，过分别作的垂线，垂足分别为，如下图所示：    易知,，所以， 在中，，则， 棱台的高， 由图可知直线与平面所成角为， 因为平面，且平面，所以， 所以. 【点睛】关键点睛：本题第2小问解决的关键在于利用余弦定理求得，利用勾股定理求得，从而得解. 27．四棱锥中，．    (1)求证：平面平面； (2)当平面时，求直线与平面所成的角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为， 则四边形为边长为1的正方形，可得， 由，可得，所以， 又由，可得，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）解：过点作交的延长线于点，连接, 由（1）知平面，所以平面， 所以为与平面所成的角， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 又因为平面，且平面，所以， 所以． 因为平面，且平面，所以， 所以，即与平面所成角的正切值为．    28．如图，平面ABCD外一点P，，，，，，，.    (1)求异面直线PC与AD所成角的大小 (2)证明：平面； (3)求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意， 在四棱锥中，，， 面，面， ∴， ∵，，， 作且，则即为异面直线PC与AD所成角 ，，      由几何知识得，， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 解得：， ∴， ， ∴直线PC与AD所成角的大小为. （2）由题意及（1）得， 在四棱锥中， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∵，平面， ∴平面. （3）由题意及（1）（2）得， 作，垂足为H，连接， 因为平面， 平面， ∴， ∵且平面， ∴平面， ∴为与平面所成的角， 在中，， ， ∴直线与平面所成角的余弦值为：.    题型五 求面面夹角 29．如图，四棱锥，平面，，，，过点作直线的平行线交于，为线段上一点．    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）连结，过点作于点，连接，如图，   平面，、平面，所以，， 因为，，， 由勾股定理得：，则， 同理可得，， 故，所以三角形为等边三角形，， 同理可得：，，， 在中，由余弦定理得：， 则，， 在中，由余弦定理得：， 在中，， 因为，所以， 所以是平面与平面所成二面角的平面角， 由余弦定理得：． 30．如图（1）所示，，，，如图（2）所示，把沿折起，使平面平面，为的中点，连接，，．    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又且，平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）分别取，的中点，，连接，，，    因为为的中点，所以， 因为平面，所以平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面， 所以， 又，平面，所以平面，平面，所以， 所以是二面角的平面角， 又，，，所以， ，所以， 在直角中，，，， 所以，即二面角的正弦值为． 31．如图，在四棱锥中，底面是菱形.    (1)若点是的中点，证明：平面； (2)若，，且平面平面，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接交于M，连接，      因为底面是菱形，所以为的中点， 又点是的中点，故为的中位线， 故，而平面，平面， 故平面； （2）设为的中点，连接，因为，故， 因为平面平面，且平面平面， 平面，所以平面，而平面， 故， 底面是菱形，故，作交于N， 则，且N为的中点， 连接，因为平面， 故平面，平面， 故， 则即为二面角的平面角， 设，则， ，则，则， 由于为的中点，N为的中点，故，则， 而平面，平面，故， 则 所以， 即二面角的正弦值为. 32．如图，三棱锥的底面是等腰直角三角形，其中，平面平面ABC，点E，N分别是AB，BC的中点．    (1)证明：平面PAB； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为三棱锥的底面是等腰直角三角形，且，所以， 又点E，N分别是AB，BC的中点，故，故， 又平面平面ABC，平面平面，平面， 故平面PAB． （2）如图，取PB的中点为F，连接AF，CF，    因为，所以，． 又平面平面ABC，平面平面，， 平面，故平面ABP，平面，故， ，平面，故平面， 平面，故， 则即为所求的角，于是，， 所以二面角的余弦值为． 33．在如图所示的空间几何体中，两等边三角形与互相垂直，，平面ABC，且点E在平面ABC内的射影落在∠ABC的平分线上．    (1)求证：平面ACD； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）如图，取AC中点O，连接BO，DO，EO，    ∵为等边三角形，∴BO为∠ABC的平分线，设点F是点E在平面ABC上的射影， 由题知，点F在BO上，连接EF，则EF⊥平面ABC， ∵平面平面ABC，平面平面，平面ACD， ，则平面ABC， ∴，则DEBO为平面四边形， ∵平面ABC，平面DEBO，平面平面， ∴，∵平面平面ABC，平面平面， 平面ABC，，∴平面ACD，∴平面ACD. （2）∵，，，DO，平面BOD， ∴平面BOD，∵平面BOD，∴， ∴∠DOE为二面角的平面角， ∵平面ABC，平面ABC，∴， ∵，， ∴四边形DEFO为矩形，∴，∴，， 则，故二面角的正切值为． 34．如图1，四边形是边长为2的正方形，将沿折叠，使点到达点的位置（如图2），且.    (1)求证：； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在图1中连接交于，则， 所以在图2中，，因为为平面中的两条相交直线， 所以平面，又平面，所以；    （2）由（1）可知，为二面角的平面角， 在中，， 由余弦定理，得，因为， 所以，所以二面角的大小为. 35．如图1所示，在矩形中，，，点为线段上一点，，现将沿折起，将点折到点位置，使得点在平面上的射影在线段上，得到如图2所示的四棱锥．    (1)在图2中，线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由； (2)在图2中求二面角的大小． 【答案】(1)存在， (2) 【详解】（1）在上取点，使得， 过作的平行线交于点，连接，，    因为且， 又且， 所以且， 故四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面， 所以平面. （2）如图，记点在线段上射影为，过点作的垂线，垂足为，连接，    因为，，，，平面， 所以平面，又平面， 所以， 则为二面角的平面角， 在矩形中如图，，，则，，，    又，所以，可得， 故，则， 所以二面角的大小为． 题型六 已知空间角求其他量 36．在三棱锥中，，，．    (1)求证：； (2)若点在棱上，当直线与平面所形成的角的正弦值为时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接，． ∵，为的中点． ∴， ∵，为的中点． ∴，又，平面， ∴平面，而平面， ∴.    （2）因为，，， 所以，所以，又，， 平面，所以平面， 又，所以， 又， 由图可知二面角为钝二面角， 过点作平面交于点（、在两侧），连接、、， 则即为直线与平面所成的角， 又，所以，所以， 又直线与平面所形成的角的正弦值为， 所以，则， 在中由余弦定理可得， 又在中由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 所以，所以.    37．如图，两两垂直，过作，垂足为D. (1)求证：平面； (2)设，二面角的平面角为时，求三棱锥侧面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：，，，平面， 平面， 又平面， 又，，平面 平面 （2），且，为BC中点， ，， ， 是二面角的平面角，即， 在直角中，，， 又平面，又平面， 在直角中，，， ， 所以三棱锥的侧面积为： 38．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点为线段的中点，点为线段上的动点. （1）求证：平面平面； （2）是否存在点，使得直线与直线所成角为60°?若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明过程见解析；（2）存在点，满足，使得直线与直线所成角为． 【详解】（1）证明：平面，平面，， 为正方形，， 又，、平面， 平面， 平面，， ，为线段的中点，， 又，、平面， 平面，而平面， 平面平面； （2）取中点，连接，则，且， 平面，平面，则， 设，，， 要使直线与直线所成角为，则， 可得， ． 故存在点，满足，使得直线与直线所成角为． 39．如图①梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图②，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过三点的平面交于．    (1)证明：是的中点； (2)是上一点，已知二面角为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在图①中过C作，则，， 图②中，， 又∵，∴，∴，∴且． ∴，∴， 在中，，， ∴，又平面ACD，平面ACD， ∴平面ACD，平面平面， ∴，∴， 又是的中点，∴是的中点；    （2）如图， 过作交BE于H，过作于点，连结， 且，因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 平面，所以， 则为二面角的平面角，∴， 设，∴， 又，∴， 在中，，, 由得，即，∴， ∴．    40．如图，ABDC是平面四边形，为正三角形，，．将沿BC翻折，过点A作平面BCD的垂线，垂足为H．    (1)若点H在线段BD上，求AD的长； (2)若点H在BCD内部，且直线AB与平面ACD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 【答案】(1)4 (2) 【详解】（1）方法一： 平面，平面，，    中，， 中，， ，， 由于为等腰直角三角形，，为中点， 在中由勾股定理得，，， 在中由勾股定理得，，. 方法二：在平面四边形中，设的中点为， 连接并延长，交于.    为正三角形，为的中点，， ，， 为的中点，为的中点. 在三棱锥中，，，且， 平面，又平面， 平面平面，点在直线上.    当点在线段上，此时与重合， ， 平面，平面， ， 在，， 在，， （2）方法一： 当点在内部，知平面，平面，则， 设是的中点，连接，    为正三角形，， ，平面，平面， 平面，， 为二面角的平面角. 设点到平面的距离为，则， 过点作，连接， 由平面，在的中垂线上， 设，则， 由等体积法得：， ，即， ，解得，所以, . 方法二： 当点在内部，知平面，此时在线段（不含端点）上. ，为二面角的平面角. 由于平面，， 过点作交于，连接，    ，， 又因为，平面， 平面，平面平面， 过点作，交于点， 又平面平面，平面. 设为直线与平面所成的角，则点到平面的距离为， ，解得， 在中，可设 由于，解得.    在中，， 所以. 41．如图，在中，平面，，，为棱的中点，点在棱上. （1）若，求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为120°，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【详解】（1）由，可知为棱的中点， 又因为为棱的中点，所以在△中，， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为底面，平面，所以， 在△中，，为的中点，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面 又因为平面，所以平面平面. （3）由题意知，二面角的大小为， 由（2）的证明可知，平面，又因为平面，所以， 又，所以即为二面角的平面角， 所以，因为底面，平面，所以， 在△中，，，，所以. 因为，所以为棱的中点，故， 于是即为异面直线与所成的角. 易知△△，故，， 在△中，由余弦定理知，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查二面角及线面角的知识，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$