河南省郑州市2024-2025学年七年级下册数学期末提优卷

2024-2025学年河南省郑州市七年级下册期末提优卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列中，属于轴对称图形的是(    ) A. 郑州银行B. 河南博物院C. 郑州大学D. 郑州地铁 2.年月日，国家重大科技基础设施高能同步辐射光源加速器储存环最后一台磁铁安装就位，储存环是世界上第三大光源加速器，其发射度小于纳米弧度已知将用科学记数法表示应为(    ) A. B. C. D. 3.如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，用不同的方法计算剩余阴影部分的面积，可以验证的公式是(    ) A. B. C. D. 第3题 第4题 第5题 4.如图，小明站在河岸边的点处，想要测量河对岸的一棵树到的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，他想出来这样一个办法：他面向树的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在树的底部处；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与点的距离，这个距离就是他与树的距离，小明这种方法的依据是(    ) A. B. C. D. 5.我国古代数学名著张邱建算经中记载：今有清酒一斗直粟九斗，醑酒一斗直粟四斗今持粟五斛，得酒七斗，问清、醑酒各几何？意思是：现有一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值斗谷子，现在拿斗谷子，共换了斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为(    ) A. B. C. D. 6.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最少要带第块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃． A. B. C. D. 7.马老师带领的数学兴趣小组做“频率的稳定性”试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是(    ) A. 掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面 B. 一副去掉大小王的普通扑克牌张，四种花色洗匀后，从中任抽一张牌，花色是梅花 C. 不透明袋子中有个红球和个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球 D. 在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头” 8.如图所示，货车匀速通过隧道隧道长大于货车长时，货车从进入隧道至离开隧道的时间与货车在隧道内的长度之间的关系用图象描述大致是(    ) A. B. C. D. 9.如图，将沿、翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为度。 A. B. C. D. 第9题 第10题 10.如图，一块边长为的正方形试验田里有一个边长为的正方形鱼塘，除鱼塘以外的田地都种有“丰收号”小麦；“丰收号”小麦种在一块边长为的正方形实验田里比较“丰收号”小麦的种植面积与“丰收号”小麦的种植面积，则(    ) A. B. C. D. 无法确定 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，某种型号的自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为如果节链条的总长度是，那么与之间的关系式为          ． 12.如图，将一张长方形纸片沿，折叠，点的对应点为，点的对应点为，且点在线段上是的平分线，若，则的度数是______． 第12题 第13题 第14题 13.如图，中，的垂直平分线交于点，若的周长是，的周长是，则            ． 14.小明与爸妈在公园里荡秋千如图，小明坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，爸爸在处接住小明时，小明距离地面的高度是           ． 15.“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就之一，它直观的呈现了展开式中各项的系数，如表所示如果将为非负整数的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为； ，它有两项，系数分别为，； ，它有三项，系数分别为，，； ，它有四项，系数分别为，，，； 观察图，我们发现每一行的首末都是，并且下一行的数比上一行的数多个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和根据上述材料，的展开式中含项的系数为          ． 三、解答题：本题共8小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 计算：； 解方程组：． 17.本小题分 解不等式组，并的对它的所有整数解． 18.本小题分 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，点，，均在小正方形的顶点上． 的形状是______； 在图中画出与关于直线成轴对称的； 结合所画图形，在直线上画出点，使最小； 根据图形，求的面积． 19.本小题分 如图，，与、交于点、，平分，，求的度数． 解：与交于点，______， ______， 已知 ______， ，与、交于点、已知， ______ ______， 平分已知， ______ ____________ 20.本小题分 有一张北京儿艺原创儿童剧长安在哪里的门票，小明和小亮都想得到它，小红为他们出了一个主意，方法就是：从牌面为，，，，，，，的张扑克牌中任取一张，抽到比大的牌，小明去；否则，小亮去． 求小明抽到的概率． 你认为这种方法对小明和小亮公平吗？请说明理由若不公平，请你修改游戏规则，使游戏对双方都公平． 21.本小题2分 几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑在该书的第卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． 我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，图中各四边形均为长方形，找出可以推出的代数公式；如图，下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号． 公式： 公式： 公式： 图对应公式______，图对应公式______，图对应公式______． 请仿照设计几何图形来推理说明公式： 几何原本中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图，请写出证明过程图中各四边形均为长方形 22.本小题分 综合与实践 【问题情景】 农民王大爷，通过农村土地流转承包了亩农田种植小麦，今年又是一个丰收年，王大爷看着即将收割的小麦，心里很高兴，可是如何租赁小麦收割机，王大爷犯了难，请你帮助王大爷设计一套租赁方案． 【调研发现】 市场上有大小两种小麦收割机可供租赁，一台大型收割机的租赁费用是每天元，一台小型收割机的租赁费用是每天元，不足一天按一天计算，一天工作小时；一台大型收割机的工作效率是一台小型收割机工作效率的两倍，台大型收割机和台小型收割机个小时可收割小麦亩． 【分析问题】 两种收割机每小时分别可以收割多少亩小麦？ 【解决问题】 由于道路的原因，有亩小麦只能用小型收割机收割，王大爷要求一天把小麦全部收割完，并且租来的收割机都工作满个小时，现计划租用大型收割机台，小型收割机台，请你帮王大爷设计一下有哪几种租赁方案？ 为了节省租赁费用，在的条件下，请直接写出最佳方案． 23.本小题分 已知在中，，，点为边上一点，且，过点作射线，动点从点出发，以个单位秒的速度沿射线的方向运动，连接． 如图，当时，线段与相等吗？请说明理由． 当线段与的其中一边垂直时，求出点运动的时间的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 8页 2024-2025 学年河南省郑州市七年级下册期末提优卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.下列����中，属于轴对称图形的是( ) A. 郑州银行B. 河南博物院C. 郑州大学D. 郑州地铁 2.2023 年 12 月 11 日，国家重大科技基础设施高能同步辐射光源(����)加速器储存环最后一台磁铁安装 就位，����储存环是世界上第三大光源加速器，其发射度小于 0.06 纳米(��) ⋅弧度.已知 1�� = 1 × 10−9�. 将 0.06��用科学记数法表示应为( ) A. 0.6 × 10−10� B. 6 × 10−11� C. 60 × 10−10� D. 0.06 × 10−9� 3.如图，在边长为�的正方形中剪去一个边长为�的小正方形(� > �)，用不同的方法计算剩余阴影部分的面 积，可以验证的公式是( ) A. (� + �)(� − �) = �2 − �2 B. (� − �)2 = �2 − 2�� + �2 C. (� + �)2 = �2 + 2�� + �2 D. �2 + �� = �(� + �) 第 3题 第 4题 第 5题 4.如图，小明站在河岸边的点�处，想要测量河对岸的一棵树到�的距离，在不能过河测量又没有任何测量 工具的情况下，他想出来这样一个办法：他面向树的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在 树的底部�处；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点�上；接着， 他用步测的办法量出自己与点�的距离，这个距离就是他与树的距离，小明这种方法的依据是( ) A. ��� B. ��� C. ��� D. ��� 5.我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟九斗，醑酒一斗直粟四斗.今持粟五斛，得 酒七斗，问清、醑酒各几何？意思是：现有一斗清酒价值 9 斗谷子，一斗醑酒价值 4 斗谷子，现在拿 50 斗谷子，共换了 7 斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒�斗，醑酒�斗，那么可列方程组为( ) 第 2页，共 8页 A. � + � = 7 9� + 4� = 50 B. � + � = 7 4� + 9� = 50 C. � + � = 50 � 9+ � 4 = 7 D. � + � = 50 � 4+ � 9 = 7 6.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了 3 块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最少要带第 (    )块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃． A.① B.② C.③ D.①②③ 7.马老师带领的数学兴趣小组做“频率的稳定性”试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线 统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是( ) A.掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面 B.一副去掉大小王的普通扑克牌(52 张，四种花色)洗匀后，从中任 抽一张牌，花色是梅花 C.不透明袋子中有 1 个红球和 4 个白球，每个球除颜色外都相同， 从中任取一球是白球 D.在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头” 8.如图所示，货车匀速通过隧道(隧道长大于货车长)时，货车从进入隧道至离开隧道的时间�与货车在隧道 内的长度�之间的关系用图象描述大致是( ) A. B. C. D. 9.如图，将△ ���沿��、��翻折，顶点�，�均落在点�处，且��与��重合于线段��，若∠��� + ∠��� = 104°， 则∠�的度数为(    )度。 A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 第 9题 第 10题 第 3页，共 8页 10.如图，一块边长为��的正方形试验田里有一个边长为 1�的正方形鱼塘，除鱼塘以外的田地都种有“丰 收 1 号”小麦；“丰收 2 号”小麦种在一块边长为(� − 1)�的正方形实验田里(� > 1).比较“丰收 1 号”小 麦的种植面积�1与“丰收 2 号”小麦的种植面积�2，则( ) A. �1 > �2 B. �1 = �2 C. �1 < �2 D.无法确定 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。 11.如图，某种型号的自行车每节链条的长度为 2.5��，交叉重叠部分的圆的直径为 0.8��.如果�节链条的 总长度是���，那么�与�之间的关系式为 ． 12.如图，将一张长方形纸片����沿��，��折叠，点�的对应点为�′，点�的对应点为�′，且点�′在 线段�′�上. ��是∠���的平分线，若∠��� = 20°，则∠���的度数是______． 第 12 题 第 13 题 第 14 题 13.如图，△ ���中，��的垂直平分线交��于点�，若△ ���的周长是 14，△ ���的周长是 24，则�� = ． 14.小明与爸妈在公园里荡秋千.如图，小明坐在秋千的起始位置�处，��与地面垂直，两脚在地面上用力一 蹬，妈妈在距地面 1�高的�处接住他后用力一推，爸爸在�处接住他.若妈妈与爸爸到��的水平距离��、�� 分别为 1.5�和 2.0�，∠��� = 90°.爸爸在�处接住小明时，小明距离地面的高度是 ． 15.“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就之一，它直观的呈现了(� + �)�展开式中各项的系数，如表 1 所示.如果将(� + �)�(�为非负整数)的每一项按字母�的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： (� + �)0 = 1，它只有一项，系数为 1； (� + �)1 = � + �，它有两项，系数分别为 1，1； (� + �)2 = �2 + 2�� + �2，它有三项，系数分别为 1，2，1； (� + �)3 = �3 + 3�2� + 3��2 + �3，它有四项，系数分别为 1，3，3，1； … 第 4页，共 8页 观察图，我们发现每一行的首末都是 1，并且下一行的数比上一行的数多 1 个，中间各数都写在上一行两 数的中间，且等于它们的和.根据上述材料，(� − 2)5的展开式中含�2项的系数为 ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题 12 分) (1)计算： 9 + 3 −64 − | 4 − 3| + ( − 2)2； (2)解方程组： �−1 6 = �−2 3 + 1 2� + � = 11 ． 17.(本小题 9 分) 解不等式组 2� − 1 >− 5 2 − �+23 ≥ � ，并的对它的所有整数解． 18.(本小题 10 分) 如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，点�，�，�均在小正方形的顶点上． (1) △ ���的形状是______； (2)在图中画出与△ ���关于直线�成轴对称的△ �′�′�′； (3)结合所画图形，在直线�上画出点�，使�� + ��最小； (4)根据图形，求△ ���的面积． 第 5页，共 8页 19.(本小题 8 分) 如图，��/ ​ /��，��与��、��交于点�、�，��平分∠���，∠3 = 60°，求∠1 的度数． 解：∵ ��与��交于点�，(______)， ∴ ∠3 = ∠4(______)， ∵ ∠3 = 60°(已知) ∴ ∠4 = 60°( ______)， ∵ ��/ ​ /��，��与��、��交于点�、�(已知)， ∴ ∠4 + ∠��� = 180°(______) ∴ ∠��� = ______， ∵ ��平分∠���(已知)， ∴ ∠1 = 12 ______= ______(______). 20.(本小题 10 分) 有一张北京儿艺原创儿童剧《长安在哪里》的门票，小明和小亮都想得到它，小红为他们出了一个主意， 方法就是：从牌面为 1，2，3，4，4，5，6，7 的 8 张扑克牌中任取一张，抽到比 4 大的牌，小明去；否 则，小亮去． (1)求小明抽到 4 的概率． (2)你认为这种方法对小明和小亮公平吗？请说明理由.若不公平，请你修改游戏规则，使游戏对双方都公平． 第 6页，共 8页 21.(本小题 12 分) 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑.在该书的第 2 卷“几 何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规 律体现在具体的图形之中． (1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，图中各四边形均为长方形，找出 可以推出的代数公式；(如图，下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号)． 公式①：(� + �)2 = �2 + 2�� + �2 公式②：(� + � + �)� = �� + �� + �� 公式③：(� + �)(� + �) = �� + �� + �� + �� 图 1 对应公式______，图 2 对应公式______，图 3 对应公式______． (2)请仿照(1)设计几何图形来推理说明公式(� − �)2 = �2 − 2�� + �2： (3)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式(� + �)(� − �) = �2 − �2的方法，如图，请写 出证明过程. (图中各四边形均为长方形) 第 7页，共 8页 22.(本小题 12 分) 综合与实践 【问题情景】 农民王大爷，通过农村土地流转承包了 520 亩农田种植小麦，今年又是一个丰收年，王大爷看着即将收割 的小麦，心里很高兴，可是如何租赁小麦收割机，王大爷犯了难，请你帮助王大爷设计一套租赁方案． 【调研发现】 市场上有大小两种小麦收割机可供租赁，一台大型收割机的租赁费用是每天 2500 元，一台小型收割机的租 赁费用是每天 1500 元，不足一天按一天计算，一天工作 10 小时；一台大型收割机的工作效率是一台小型 收割机工作效率的两倍，2 台大型收割机和 3 台小型收割机 2 个小时可收割小麦 56 亩． 【分析问题】 (1)两种收割机每小时分别可以收割多少亩小麦？ 【解决问题】 (2)由于道路的原因，有 220 亩小麦只能用小型收割机收割，王大爷要求一天把小麦全部收割完，并且租来 的收割机都工作满 10 个小时，现计划租用大型收割机�台，小型收割机�台，请你帮王大爷设计一下有哪 几种租赁方案？ (3)为了节省租赁费用，在(2)的条件下，请直接写出最佳方案． 第 8页，共 8页 23.(本小题 12 分) 已知在△ ���中，∠� = 90°，�� = 5，�� = 8.点�为边��上一点，且�� = ��，过点�作射线�� ⊥ ��，动 点�从点�出发，以 1 个单位/秒的速度沿射线��的方向运动，连接��． (1)如图 1，当�� = ��时，线段��与��相等吗？请说明理由． (2)当线段��与△ ���的其中一边垂直时，求出点�运动的时间�的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：，，选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选B． 2.【答案】  【解析】解：， ， 故选：． 绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．据此解答． 本题考查了科学记数法，绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负数指数幂，指数是由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，正确用指数表示出来是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：图中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即，也可以看作两个梯形的面积和，梯形的上底是，下底是，高为的长方形，因此阴影部分的面积为， 所以有， 故选：． 根据正方形及梯形的面积公式解答即可． 本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：根据题意可知：，， 又， ≌， ， 故选：． 利用证明≌即可． 本题考查了全等三角形的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 5.【答案】  【解析】解：共换了斗酒， ； 一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值斗谷子，拿斗谷子换了斗酒， ． 所列方程组为． 故选：． 根据“一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值斗谷子，现在拿斗谷子，共换了斗酒”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形， 只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的． 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了利用频率估计概率，正确求出各试验的概率是解题关键．利用折线统计图可得出试验的频率在左右，进而得出答案． 【解答】 解：掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面的概率为，符合题意； B.一副去掉大小王的普通扑克牌张，四种花色洗匀后，从中任抽一张牌，花色是梅花 的概率为，不符合题意； C.不透明袋子中有个红球和个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球的概率为，不符合题意； D.在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头”的概率为，不符合题意． 故选A． 8.【答案】  【解析】解：根据题意可知货车进入隧道的时间与货车在隧道内的长度之间的关系具体可描述为： 当货车开始进入隧道时逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时不变且最大， 当货车开始离开隧道时逐渐变小．另外货车是匀速运动，货车进入隧道或离开隧道随的均匀变化而均匀增大或减小，故图象呈直线型，排除选项B、、． 故选：． 根据当货车开始进入隧道时均匀变大，当货车完全进入隧道，值不变且等于车长，当货车开始离开隧道时均匀变小，逐一判断． 本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是熟练掌握函数值随自变量变化的增减性质和均匀性． 9.【答案】  【解析】解：因为沿、翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段， 所以，，，， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 即， 所以， 所以， 所以． 故选：． 10.【答案】  【解析】解：由题意可得：，， ， ， ， ，即． 故选：． 分别求出“丰收号”小麦的种植面积与“丰收号”小麦的种植面积，判断的大小关系即可解答． 本题考查了整式的加减、完全平方公式、作差法比较大小，解题关键在于掌握作差法比较大小和整式的加减混合运算法则． 11.【答案】  【解析】解：， 因为节链条的长度为：， 节链条的长度为：， 节链条的长度为：， 所以节链条的总长度： ． 故答案为：． 通过列举法，找出规律，归纳出节链条的总长度即可． 本题考查了函数关系式，掌握通过列举得到：节链条的总长度是解题的关键． 12.【答案】  【解析】由于折叠，，，，是的平分线，，． 13.【答案】  【解析】解：因为是的垂直平分线， 所以，， 因为的周长是， 所以， 所以， 因为的周长是， 所以， 所以， 所以， 故答案为：． 根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：由题意可知，， 因为， 所以． 所以， 和中， ， 所以≌， 所以，， 因为、分别为和， 所以， 因为， 所以， 答：小明距离地面的高度是 ． 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：由题意，， 可知，展开式中含项的系数为：． 故答案为：． 根据表中的系数找出规律，首先确定的每一项，即可解决问题． 本题考查了数字类的规律变化问题，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题，属于中考常考题型． 16.【答案】解： ； 由得， ，得， ，得， 将代入，得， 故原方程组的解为．  【解析】根据算术平方根、立方根、绝对值分别计算即可； 根据加减消元法解二元一次方程组即可． 本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，熟练掌握实数的运算法则以及加减消元法解方程组是解题的关键． 17.【答案】解：解不等式得， 解不等式得， 原不等式组的解集为， 该不等式组所有的整数解为：，，．  【解析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的的所有整数解即可． 本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 18.【答案】直角三角形；   见解析；   见解析；   ．  【解析】由勾股定理可得：，，， ， 的形状是直角三角形； 故答案为：直角三角形； 如图所示，所作即为所求， ； 如图所示，所作点即为所求； 的面积． 由勾股定理求出、、的长，再由勾股定理逆定理计算即可得出答案； 根据轴对称的性质作出即可； 连接交直线于点，点即为所作； 利用割补法求三角形面积即可． 本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、作图轴对称变换、割补法求三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 19.【答案】解：与交于点，已知， 对顶角相等， 已知等量代换， ，与、交于点、已知， 两直线平行，同旁内角互补， ， 平分已知， 角平分线定义． 故答案为：已知  对顶角相等等量代换  两直线平行，同旁内角互补      角平分线定义．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】． 20.【答案】解：从张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到的结果有种．所以，抽到． 答：小明抽到的概率为． 不公平．理由如下： 从张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到比大的结果有种．所以，抽到比大． 所以小明去看儿童剧的概率为， 则小亮去看儿童剧的概率为： ， 因为，所以，游戏不公平． 修改游戏规则如下：答案不唯一从印有、、、、、、、的张扑克牌中任取一张，抽到比大的牌，小明去；抽到比小的牌，小亮去，抽到重新抽，游戏对双方都公平．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 21.【答案】，，；   答案如图所示；   证明过程见解析．  【解析】解：图“整体”上看长是，宽为的长方形，因此面积为， 从“部分”上看三个长方形面积的和为，因此， 图对应公式， 图“整体”上看长是，宽为的长方形，因此面积为， 从“部分”上看四个长方形面积的和为，因此有， 图对应公式， 图“整体”上看长是，宽为的长方形，因此面积为， 从“部分”上看四个部分面积的和为，因此有， 图对应公式， 故答案为，，； 答案如图所示： 由图可知：矩形和矩形都是正方形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 根据各个图形中面积之间关系可得答案； 仿照根据式子特点不难设计几何图形； 用代数式表示图形中各部分面积，再由面积之间关系可得结论． 本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式及平方差公式的几何背景，掌握完全平方公式，平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 22.【答案】解：设大型收割机每小时可收割小麦亩，小型收割机每小时可收割小麦亩， 由题意得：， 解得：， 答：大型收割机每小时可收割小麦亩，小型收割机每小时可收割小麦亩； 由题意得：， 整理得：， 又， ， 由题意可知：、为自然数，可知是偶数，则为奇数， 或或或， 有种租赁方案： 租赁大型收割机台，租赁小型收割机台； 租赁大型收割机台，租赁小型收割机台； 租赁大型收割机台，租赁小型收割机台； 租赁大型收割机台，租赁小型收割机台； 由种租赁方案得：每减少租赁大型收割机台，租赁小型收割机增加台，其费用增加：元， 租赁大型收割机最多时，费用最小，即方案费用最小，其费用为：元， 最佳租赁方案是：租赁大型收割机台，租赁小型收割机台，总费用是元．  【解析】设大型收割机每小时可收割小麦亩，小型收割机每小时可收割小麦，根据一台大型收割机的工作效率是一台小型收割机工作效率的两倍，台大型收割机和台小型收割机个小时可收割小麦亩．列出二元一次方程组，解方程组即可； 设租赁大型收割机台，租赁小型收割机台，列出二元一次方程，解方程即可； 由得每减少租赁大型收割机台，租赁小型收割机增加台，其费用增加元，得出方案费用最小，再计算即可． 本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程和找准数量关系，正确列出一元一次不等式． 23.【答案】解：相等； 理由如下：，， C.   在和中 ； 如图，当时， ， ， ， ， ， 在和中 ， ，， ， ； 如图，当时， ， ， ． ， ，． 在和中 ， ， ，  综上所述，点运动的时间的值为或．  【解析】此题考查了全等三角形的判定及性质，垂直的定义等知识点， 利用判定，即可得出； 分两种情况考虑：当时，当时，分别求解即可， 学科网（北京）股份有限公司 $$