精品解析：湖南省雅礼教育集团2024-2025学年下学期高二5月考试数学试卷及解析

雅礼教育集团2025年上学期5月考试试卷 高二数学 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据排列数公式求出集合，再根据补集的定义求出. 【详解】已知，根据排列数公式，可得，即，解得. 又因为，且，所以，即. 已知全集，根据补集的定义，可得. 故选：C. 2. 已知为奇函数，则a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的性质来建立等式，进而求出的值. 【详解】已知为奇函数，则. 先求， 因为，所以， 即， 两边同时减去可得：， 根据对数的运算法则， 则，所以， 交叉相乘可得：，化简得， 即，那么，所以，解得. 当时，，无意义，舍去. 当时，，此时函数有意义，所以. 故选：D. 3. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式列出方程求解即可． 【详解】， 解得， 故选：B． 4. 在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】令可得，可证得是以公比为的等比数列，由此甲能推出乙，举反列可说明乙不能推出甲，再由充分条件和必要条件可得出答案. 【详解】令，可得，即， 所以是以公比为的等比数列，所以甲能推出乙， 若是等比数列，则取，， 所以，所以乙不能推出甲， 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 5. 设双曲线，的离心率分别为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出两个双曲线的离心率，再结合已知计算得出，进而得出渐近线即可. 【详解】双曲线，的离心率分别为， 因为，所以，所以， 则双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 6. 2024年12月26日，Deep Seek—V3首个版本正式上线，截至2025年2月9日，Deep Seek APP的累计下载量已超1.1亿次，AI成为当下的热门话题.立德中学高中数学社团以16至40岁人群使用Deep Seek频率为课题，分小组自主选题进行调查研究，下列说法正确的是（ ） A. 甲小组开展了Deep Seek每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱 B. 乙小组利用最小二乘法得到Deep Seek每周使用频次y关于年龄x的经验回归方程为，可以推断年龄为30岁的群体每周使用频次一定为17次 C. 丙小组用决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.733和0.998，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多 D. 丁小组研究性别因素是否影响Deep Seek使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的Deep Seek使用频次没有差异 【答案】C 【解析】 【分析】由相关系数，回归方程，决定系数，卡方的检验逐项判断即可. 【详解】对于A，由的绝对值越接近1，相关性越强可得A错误，故A错误； 对于B，回归方程为给出的是预测值，实际值会有随机误差，所以年龄为30岁的群体每周使用频次不一定为17次，故B错误； 对于C，表示模型对因变量的解释比例，大说明经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多，故C正确； 对于D，，可以认为不同性别的Deep Seek使用频次有差异，故D错误. 故选：C 7. 设正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，若该四棱锥的外接球与内切球的球心重合，则外接球半径与内切球半径之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合正四棱锥的几何特征分别计算内切球及外接球半径即可求解. 【详解】设，分别为该四棱锥外接球、内切球半径， 由题可知球心在高上， ，， 过球心做面垂线，垂足为， 则点在的中线上（为中点），且， 则，， 在中，边上的高为， 所以，， 故选：D． 8. 函数的两个极值点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知函数求导，令则可得，代入极值点后两式作商，可得到的关系，作商得到的结果指对互换，便可解出，根据题目所求，代入后便可构造新的函数，通过求导可求得最小值. 【详解】由函数，，令， 则，因为函数两个极值点， 则①，②，得③，设， 则且，代入③得，， 设，则， 设，则 ，在单调递减，， 从而，在单调递减，，， 故的最小值为． 故选：A. 【点睛】方法点睛：求函数最值，通常是对所求函数求导，当一阶导数不能确定极值点时，可二阶求导确定导函数的单调性和零点，可得到原函数的单调区间，进而求得原函数的最值. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设正实数m、n满足，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为2 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值可判断ABC，利用代换1法求最小值可判断D. 【详解】因为正实数m、n满足，所以由基本不等式可得，当且仅当时取到等号，故A正确； 又由基本不等式可得，当且仅当时取到等号，故B正确； 又由基本不等式可得，当且仅当时取到等号，故C错误； 由，当且仅当时取到等号，故D正确； 故选：ABD. 10. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，，，则（ ） A. 的值为4 B. C. D. 的面积与的面积之比为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得，，，再结合抛物线的定义，可求的值，可判断A的真假；进而可得点的坐标，求值斜率，判断B的真假；利用两点间的距离公式可求，判断C的真假；根据可判断D的真假. 【详解】如图： 设，， 联立可得， 所以，， 故． 对A：因为，， 所以，则，解得或． 因为，所以，故A正确； 对B：因为，． 又，所以，，则，故B成立； 对C：因为，故C错误； 对D：因为，故D正确. 故选：ABD 11. 复数的三角形式揭示了复数和三角函数之间的联系．设复数，则．现假设3个非零复数，，，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A利用即可判断，对于B由题意有，得，由A选项得，同理，即可判断，对于CD由，由B选项，，即，又即可判断. 【详解】A选项，，故A正确； B选项，由题意得，故，即，由A选项，得，故B正确； C、D选项，， 由B选项，，即， 故， 即，，故C正确，D错误． 故选：ABC． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分） 12. 若随机变量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质求解即可. 【详解】由，，得； 所以， 所以，又， 所以，解得. 故答案为： 13. 如图所示，是的一条中线，点O满足，过点O的直线分别与射线，射线交于两点．设，，实数，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意得，又得，将用表示，利用三点共线即可求解. 【详解】由是的一条中线，所以， 又，，所以， 又，，代入上式，可得， 又因为三点共线，所以，故得. 故答案为：3. 14. 设，是公差为的等差数列，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意有，记，利用导数研究函数零点即可求解. 【详解】 记，则，所以为单调递增函数， 故在上至多只有一个零点．又， 所以，，． 所以． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，且三角形的面积为，求的周长l． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由所给等式结合余弦定理进行求解； （2）联立面积公式及可求出b、c，再利用余弦定理求出a，即可求得周长. 【详解】（1）∵，∴， 又，所以． （2），即， 由余弦定理得：．解得： 所以的周长. 16. 如图，在梯形BCEF中，EF∥BC，FB⊥BC，EF=1，BC=3，CE=4，AD是梯形BCEF的中位线，将梯形BCEF沿AD翻折得到五面体ABCDEF，点G为BC上靠近点B的三等分点，DG⊥CF. （1）证明：AB⊥DE； （2）求平面ACF与平面CDE夹角的余弦值. 【答案】（1）如图，连接AG，AC， ∵，CD=CG=2，AD//CG， ∴四边形AGCD为菱形，∴AC⊥DG， 又∵CF⊥DG，AC∩CF=C，AC，平面ACF， ∴DG⊥平面ACF，又∵平面ACF， ∴DG⊥AF，∵AD⊥AF，AD∩DG=D，AD，平面ABCD， ∴AF⊥平面ABCD，∵平面ABCD， ∴AB⊥AF，又∵AB⊥AD，AD∩AF=A，AD，平面ADF， ∴AB⊥平面ADEF，∵平面ABCD， ∴AB⊥DE. （2） 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的定义及判定定理，判断AB⊥平面ADEF，进而可证AB⊥DE. （2）根据（1）的结论。建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，AB⊥AF，AB⊥AD，AD⊥AF，如图，以A为原点，分别以AB，AD，AF所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 不难求得，则，，，，， ∴， 设平面CDE的法向量，则有即 ∴可取， ∵DG⊥平面ACF，∴平面ACF的法向量， ∴， 即平面ACF与平面CDE夹角的余弦值为. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）对任意的，当时，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减． （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导数，当时，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）设，分析可知函数在上为增函数，则在上恒成立，结合参变量分离法可得出，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：函数定义域为，. 当时，由得，由得. 此时函数的增区间为，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为. 【小问2详解】 由，化简为， 即. 令， 因为，则，所以函数在上单调递增， 故在上恒成立，即在上恒成立， 设，，在单调递增， 所以. 综上所述，实数的取值范围为. 18. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求出； （2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出； （3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出． 【小问1详解】 记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . 【小问2详解】 设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． 【小问3详解】 因为，， 所以当时，， 故． 【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解． 19. 已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于两点. （1）求的方程； （2）若，求的方程； （3）若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2），或； （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆焦距公式。椭圆离心率公式，结合椭圆标准方程中的关系进行求解即可； （2）根据直线的斜率是否为零，结合椭圆弦长公式分类讨论进行求解即可 （3）根据一元二次方程根与系数关系，结合中点坐标公式、三角形的特点、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为该椭圆的离心率为，所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率为零时，此时方程为，此时， 显然此时，不符合题意， 故设直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ， 因为， 所以设，则有， 由 ， 所以直线的方程为，或； 【小问3详解】 由（2）可知：，所以 因此的坐标为， 设故设直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ， 因为， 所以设，则有， ， 所以的坐标为， 因为的斜率乘积为， 所以，因此的坐标为， 显然边与横轴平行， 因此， 即 即时，取等号，即当时取等号， 所以面积的最大值. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出的坐标，再根据直线斜率的关系，把两个点的坐标统一一个变量，最后利用基本不等式进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅礼教育集团2025年上学期5月考试试卷 高二数学 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为奇函数，则a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 设双曲线，的离心率分别为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 2024年12月26日，Deep Seek—V3首个版本正式上线，截至2025年2月9日，Deep Seek APP的累计下载量已超1.1亿次，AI成为当下的热门话题.立德中学高中数学社团以16至40岁人群使用Deep Seek频率为课题，分小组自主选题进行调查研究，下列说法正确的是（ ） A. 甲小组开展了Deep Seek每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱 B. 乙小组利用最小二乘法得到Deep Seek每周使用频次y关于年龄x的经验回归方程为，可以推断年龄为30岁的群体每周使用频次一定为17次 C. 丙小组用决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.733和0.998，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多 D. 丁小组研究性别因素是否影响Deep Seek使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的Deep Seek使用频次没有差异 7. 设正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，若该四棱锥的外接球与内切球的球心重合，则外接球半径与内切球半径之比为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的两个极值点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设正实数m、n满足，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为2 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 10. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，，，则（ ） A. 的值为4 B. C. D. 的面积与的面积之比为4 11. 复数的三角形式揭示了复数和三角函数之间的联系．设复数，则．现假设3个非零复数，，，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分） 12. 若随机变量，则______． 13. 如图所示，是的一条中线，点O满足，过点O的直线分别与射线，射线交于两点．设，，实数，，则______． 14. 设，是公差为的等差数列，且，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，且三角形的面积为，求的周长l． 16. 如图，在梯形BCEF中，EF∥BC，FB⊥BC，EF=1，BC=3，CE=4，AD是梯形BCEF的中位线，将梯形BCEF沿AD翻折得到五面体ABCDEF，点G为BC上靠近点B的三等分点，DG⊥CF. （1）证明：AB⊥DE； （2）求平面ACF与平面CDE夹角的余弦值. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）对任意的，当时，都有，求实数的取值范围. 18. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 19. 已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于两点. （1）求的方程； （2）若，求的方程； （3）若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $