山东省实验中学2024-2025学年高一下学期期末数学模拟测试卷

绝密★启用并使用完毕前 山东省实验中学2024-2025学年第二学期期末模拟测试 高一数学试题 2025.6 本试题共 4 页，共19 题，满分 150 分，考试用时120 分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，座号填写在答题卡和试卷的指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题的答案，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，用 0.5mm 的黑色签字 笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 ,其中 i 是虚数单位，则复数 z 的虚部为 A ．1 B ．i C ． -1 D ． -i 2．已知向量 a ＝(1,0) ，b ＝( -1, -3)，若(ka+b)与 b 垂直，则 k= A ． -10 B ． -2 C ．2 D ．10 3．掷两枚质地均匀的正方体骰子，记事件A＝“第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件 B = “第二枚骰子向上的点数为奇数”，则 A．A 与 B 互为对立事件 B．A 与 B 互斥 C．P（A）＝P（B） D．A＝B 4．已知样本 x1，x2，x3 ，⋯ , x2025的方差为 16，则样本 2x1+1 ，2x2+1 ，2x3+1 ，⋯ , 2x2025+1 的标准差为 A ．8 B ．64 C ． D ．33 5．如图，四边形 ABCD 的斜二测画法直观图为等腰梯形A ′B ′C ′D′，已知 A ′B′＝4， C’D’ = 2 ，则下列说法正确的是 A ．AB = 2 B ． C ．四边形ABCD 的周长为 D ．四边形ABCD 的面积为6 2 高一数学试题 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 6．一个圆台的母线长为 5，上、下底面的半径分别为 2 ，5，则圆台的体积为 A ．64τ B ．56τ C ．48τ D ．52τ 7．在△ABC 中，动点 P 满足 则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的 A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 8．在正方体ABCD -A1B1C1D1 中，P 为线段A1D 上的动点，则直线 PC1与 B1C 所成角的取 值范围是 兀 兀 兀 兀 兀 兀 兀 兀 A ． B ． C ． D ． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对者得 6 分，部分选对者得部分分，有错选的得 0 分. 9．2020 至 2024 年我国国内生产总值及其增长速度如图所示，则 A ．2020 至 2024 年我国国内生产总值 逐年增长 B ．2020 至 2024 年我国国内生产总值 的 30%分位数是 1234029 亿元 C ．2020 至 2024 年我国国内生产总值 年增长速度的极差是 6.3% D ．2020 至 2024 年我国国内生产总值 年增长速度的平均数大于 5% 10．已知复数z1 = 1 + i ，z2 = x + yi(x, y∈ R) ，则下列说法正确的是 A ．(z1 —1)2025 = i B ．z2 (2) =| z2 |2 为纯虚数 D ．若z1 ， z2 为实系数方程x2 — ax + b = 0 的两虚根，则 a = b = 2 11．在锐角△ ABC 中，设a = 6 ，c = 5 ， 则下列说法正确的是 A ．b = 4 B ．AC 边上的高是 C ．△ ABC 面积是 D ．△ ABC 内切圆的面积是 兀 高一数学试题 第 2 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共15 分. 12．甲、乙、丙 3 人独立地破译某个密码，每人译出此密码的概率均为 ，则至少有两人译 出该密码的概率为 ． 13．在平行四边形 ABCD 中，已知点 E 在线段 CD 上，且 DE ＝2EC，设向量AB = a, AD = b ， 用向量a , b 表示AE ，则 AE = ． 14．如图，在三棱锥 S -ABC 中，△ABC 为等边三角形，SA⊥AB ， SB ＝SC，若 SA+AB ＝1，则三棱锥 S -ABC 外接球体积的最小值 为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤. 15．（本小题满分 13 分）在△ ABC 中，角A ，B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，△ ABC 的 面积为S ，满足S = a2 + b2 — c2 — absinC ． （1）求 sinC 的值； 若 求△ ABC 的周长． 16．（本小题满分 15 分）为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了 800 名学 生进行调查，得到了这 800 名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分 成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求 a 的值； （2）若周平均阅读时间的平均数和中位数均超过 9 小时，则认为该市区高中生阅读量达 标．以样本估计总体试判断该市区高中生阅读量是否达标？ （3）为进一步了解这 800 名学生阅读时 间的分配情况，从周平均阅读时间在（12， 14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生中， 采用分层抽样的方法抽取了 10 人，现从 这 10 人中随机抽取两人，求这两人周平 均阅读时间均在（14 ，16]内的概率． 高一数学试题 第 3 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 17．（本小题满分 15 分）如图，在三棱柱 ABC -A1B1C1 中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC =BC ＝2 ，CC1 ＝3，点 D，E 分别在棱AA1和棱 CC1上，且 AD ＝1 ，CE ＝2 ，M 为棱A1B1 的中点． （1）求证：C1M∥平面 B1ED； （2）求直线 C1M 到平面 B1ED 的距离； （3）求点A1到直线 B1E 的距离． 18 ．（本小题满分 17 分）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，且 （1）求 B ； （2）已知D 为边AB 上的一点，且 上 若 求AC 的长； 求 的取值范围． 19．（本小题满分 17 分）如图，在四棱锥 P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱 PA⊥PD， 且 点 E 为AD 中点． （1）求证：平面 PAD⊥平面 ABCD； （2）求二面角 P -CE -B 的正切值； （3）点 F 为对角线 AC 上的点，且 FG⊥PB，垂足为 G，求 FG 与平面 ABCD 所成的最 大角的正弦值． 高一数学试题 第 4 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省实验中学2024-2025学年第二学期期末模拟测试 高一数学试题答案 2025.6 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C A D D A D 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共18 分。 题号 9 10 11 答案 AC ACD ABC 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共15 分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。 15．（本小题满分 13 分） 解：（1）因为S = a2 + b2 — c2 — absinC ， 所以 absinC = 2abcos C — absinC ，……1 分 所以 所以 分 因为sin2 C + cos2 C = 1 ， C∈(0, 兀) ，所以 分 （2）因为c = 2 ，B = 4 (兀) ， 所以 分 所以 分 所以由正弦定理得 分 所以 分 所以△ ABC 的周长为 分 高一数学试题参考答案及评分意见 第 1 页（共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 16．（本小题满分 15 分） 解：（1）解：（1）根据题意可得(0.02 + 0.03 + 0.05 + 0.05 + 0.15 + a + 0.05 + 0.04 + 0.01) × 2 = 1 ， 解得a = 0.1 ；……5 分 （2）根据题意可得平均数的估计值为： 1× 0.04 + 3× 0.06 + 5 × 0.1 + 7 × 0.1 + 9 × 0.3 +11× 0.2 +13 × 0.1 +15 × 0.08 +17 × 0.02 = 9.12 > 9 ， ……7 分 前几组的频率依次为 0.04 ，0.06 ，0.1 ，0.1 ，0.3， :中位数的估计值为 分 : 以样本估计总体可估计该市区高中生阅读量达标；……10 分 （3） 在(12 ，14] ， (14 ，16] ，(16 ，18] 三组内的频率之比为0.1: 0.08 : 0.02 = 5 : 4 :1 ， :采用分层抽样的方法抽取了 10 人中，在(12 ，14] ，(14 ，16] ，(16 ，18] 中分别抽取的人 数为 5 ，4 ，1 ，……12 分 ∴从这 10 人中随机抽取两人一共有 45 种抽法，……13 分 又所抽选的两人周平均阅读时间均在（14 ，16]内有 6 种抽法，……14 分 :所求概率为 分 17．（本小题满分 15 分） （1）设 A1D 的中点为 N，连接 MN，则 MN//B1D ，……1 分 又 MN⊄平面 B1ED ，B1Dc平面 B1ED，所以 MN∥平面 B1ED； 连接 C1N，因为 C1E∥ND 且 C1E＝ND， 所以 C1NDE 是平行四边形，所以 C1N//DE，……2 分 又 C1N⊄平面 B1ED，DEc平面 B1ED， 所以 C1N∥平面 B1ED；……3 分 又 C1N∩MN＝N，且 C1Nc平面 C1MN，MNc平面 C1MN， 所以平面 C1MN∥平面 B1ED，又 C1Mc平面 C1MN，……4 分 所以 C1M∥平面 DB1E；……5 分 （2）解：由（1）得 C1M / / 平面DB1E ， 所以直线 C1M 到平面B1ED 的距离等于点C1 到平面B1ED 的距离，……6 分 设 C1 到平面B1ED的距离为d ， 高一数学试题参考答案及评分意见 第 2 页（共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 又DE = , B1E = , DB1 = 2 ， 所以 分 ( 3 )所以 解得 分 所以直线 C1M 到平面B1ED的距离为 ；……10 分 （3）解：连接 A1E ，则 A1E = B1E = , A1B1 = 2 ，……11 分 设点A1 到直线B1E 的距离为h ， 所以 即 h = 2 ，……13 分 解得 分 ( 5 )所以点A1 到直线B1E 的距离为2 ．……15 分 18．（本小题满分 17 分） 解 因为 由正弦定理得sinA = sin B( sinC + cosC) = sin(B + C) = sin Bcos C + cosBsinC ，……1 分 所以cosBsinC = sinBsinC ，……2 分 因为 C∈(0,兀) ，所以 分 所以B = 6 (兀) ．……4 分 因为 上 根据余弦定理得 CD2 = B C2 + BD2—2 B.C Bc.s =B1 +1 2 — 2 ×2 3 × ,所以 2 CD = ，……5 分 因为上 所以sin 上 分 在△ BDC 中，由正弦定理知 即 所以 8 分 高一数学试题参考答案及评分意见 第 3 页（共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 进而 所以 故 分 因为 上 所以上 ，……11 分 在△ BCD 中，由正弦定理得 所以 分 又在△ ACD 中 ……14 分 因为上BCD > 0 ，所以 所以 分 所以 的取值范围是 分 19．（本小题满分 17 分） 解：（1）证明：因为 PA⊥PD，所以 ， 则 PC2＝PD2+CD2 ＝13， 所以 CD⊥PD ，……1分 又因为 CD⊥AD，PD∩AD＝D ，PD、AD⊂平面 PAD， CD⊥平面 PAD ，CD⊂平面 ABCD ，……2 分 所以平面 PAD⊥平面 ABCD；……3 分 （2）侧棱 PA⊥PD，点 E 为 AD 中点， 所以AE＝PE ＝2，又因为 PA ＝2，所以△PAE 为正三角形，取AE 中点 H，……4 分 则 PH⊥AD，AH＝1 ，……5 分 因为平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面ABCD＝AD， PH⊂平面 PAD，所以 PH⊥平面 ABCD ，……6 分 过点 H 作 HQ⊥CE 交 CE 延长线于点 Q，连接 HQ，PQ， 因为 CQ⊂平面ABCD，所以 PH⊥CQ，又 HQ⊥CQ， PH∩HQ＝H，PH、HQ⊂平面 PHQ， 所以 CQ⊥平面 PHQ，又 PQ⊂平面 PHQ， 所以 PQ⊥CQ ，……7 分 根据定义∠PQH即为二面角 P -CE -B 的平面角，……8 分 高一数学试题参考答案及评分意见 第 4 页（共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 因为| HQ|=| HE | sin 上HEQ =| HE | sin 上 分 所以tan 上 分 （3）作 GI⊥平面ABCD，则 GI∥PH，BH 为PB 在平面ABCD 内的射影， 所以点 B，I，H 共线，再在平面 PAB 作 GJ⊥PB 交AB 于点 J，……11 分 又因为 FG⊥PB，FG∩GJ＝G ，FG 、GJ⊂平面 GFJ， 所以 PB⊥平面 GFJ，设直线 FJ 交直线 BH 于点 L ，……12 分 则 BG⊥FJ，又因为 GI⊥FJ，GI∩BG ＝G ，GI、BG⊂平面 BGL， 所以 FJ⊥平面 BGL ，……13 分 BL⊂平面 BGL，得 FJ⊥BL，所以 IL≤IF，……14 分 所以∠GFI≤∠GLI＝90 ° - ∠GBL ，……15 分 又因为cos 上 所以FG 与平面 ABCD 所成的最大角的正弦值为 ……16 分 当点F 为线BH 与 AC 的交点时取到最大角．……17 分 高一数学试题参考答案及评分意见 第 5 页（共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$