精品解析：安徽省安庆市太湖县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2024--2025学年度第二学期8年级数学测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与无理数最接近的整数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. 0 D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 6. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 3 D. 9. 如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　 　） A. 14cm B. 15cm C. 24cm D. 25cm 10. 如图，正方形的边长为，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 计算的结果是__________. 12. 对于实数，定义运算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是关于的一元二次方程的两个实数根，则※=_____． 13. 若，则________． 14. 如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是____． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 计算： （1）； （2） 16. 解下列方程组： （1） （2） 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 阅读理解 “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 设， 易知 故，由 解得，即． 根据以上方法，化简 18. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值． 19. 已知的三边长分别为，求证：是直角三角形. 20. 已知按规律排列的一列二次根式如下：，，，， （1）根据你发现的规律猜想第个式子是多少 （2）当时，求它与前面所有的二次根式的积． 21. 某村计划建造如图所示的长方形蔬菜温室，要求长与宽的比为，在温室内，沿前侧内墙保留宽的空地，其它三侧内墙各保留宽的通道．当矩形温室的长为多少时，蔬菜种植区域的面积是． 22. 为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本． （1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率； （2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？ 23. 阅读材料并回答问题：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义可以得出，一般地，点，在数轴上，分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为，所以在平面直角坐标系中，轴上两点，，则；轴上两点，，则． （1）如图1，求证：平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为：； （2）若在平面直角坐标系中，的三个顶点，，，试判断的形状； （3）如图2，点，，点是轴上的动点，直接写出的最小值：________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024--2025学年度第二学期8年级数学测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与无理数最接近的整数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：因为2.25˂3˂4，所以1.5˂˂2，所以无理数更加接近于2，故选B． 2. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为， ∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴这个方程为． 故选：D 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴判断a、b、与0的大小关系，然后根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简、化简绝对值、数轴，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A. ，计算正确，符合题意； B. 与不是同类二次根式，不符合题意； C. ，计算错误，不符合题意； D. 与不是同类二次根式，不符合题意； 故选A． 5. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A. ，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B. ，当时不是一元二次方程，不符合题意； C. ，整理可得，是一元二次方程，符合题意； D. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 6. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算出一元二次方程根的判别式即可． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． 8. 若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由一元二次方程根与系数的关系得出，，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， ， 故选：A． 9. 如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　 　） A. 14cm B. 15cm C. 24cm D. 25cm 【答案】D 【解析】 【分析】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B'，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图，由于，然后利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B'，则蚂蚁爬行的最短路径为，如图： ， 在中， 根据勾股定理得： ， 所以它爬行的最短路程为． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，解题关键在于把圆柱侧面展开去构建直角三角形. 10. 如图，正方形的边长为，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出即求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴这个点表示的实数是， 故选：． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 计算的结果是__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次根式的除法计算即可. 【详解】解：， 故答案为3． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键. 12. 对于实数，定义运算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是关于的一元二次方程的两个实数根，则※=_____． 【答案】20 【解析】 【分析】根据新定义表示出，根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 13. 若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意将两边开方，即可分情况得出的值． 【详解】解：两边开方得， 或， ， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查开方运算，熟练掌握开方运算以及整体代换思想是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是____． 【答案】（,） 【解析】 【详解】连接BE，与AC交于G，作EF⊥AB， ∵AB=AE，∠BAC=∠EAC， ∴△AEB是等腰三角形，AG是BE边上的高，∴EG=GB，EB=2EG， BG==， 设E（x，y），则有：AE2-AF2=BE2-BF2即：82-x2=（）2-（8-x）2， 解得：x=，y=EF=，∴E点的坐标为：（,）． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． （1）先运用二次根式的乘法法则计算，再按照二次根式的性质化简即可； （2）直接运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 16. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【小问1详解】 解： 得， 得：， 解得， 将代入①得， 解得， ∴该方程组的解为； 【小问2详解】 解： 由②式得③， ①③得， 解得， 将代入①得， 解得 ∴原方程组的解为． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 阅读理解 “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 设， 易知 故，由 解得，即． 根据以上方法，化简 【答案】 【解析】 【分析】由常见的分母有理化利用平方差公式化解，由题提供的方式化解，之后再整理即可得． 【详解】解：设，易知 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴原式 【点睛】本题考查了分母有理化以及提取题干信息的能力；关键在于要会用平方差公式进行分母有理化，读懂题干，能用完全平方差公式进行有理化． 18. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值． 【答案】 （1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）m=﹣1或m=3. 【解析】 【分析】（1）求出∆的值，即可判断出方程根的情况； （2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10， ∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10， ∴m2﹣2m﹣3=0， ∴m=﹣1或m=3 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型． 19. 已知的三边长分别为，求证：是直角三角形. 【答案】 证明： ， 以为三边的是直角三角形. 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可. 【详解】略 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 20. 已知按规律排列的一列二次根式如下：，，，， （1）根据你发现的规律猜想第个式子是多少 （2）当时，求它与前面所有的二次根式的积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的实数的规律探究，二次根式的乘法运算，掌握规律探究的方法以及二次根式的乘法运算法则是解本题的关键； （1）先把前面给定的几个二次根式化为具有相同规律的形式，再总结归纳即可； （2）根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：，，，， 第个式子是； 【小问2详解】 当时，，它与前面所有的二次根式的积为： ． 21. 某村计划建造如图所示的长方形蔬菜温室，要求长与宽的比为，在温室内，沿前侧内墙保留宽的空地，其它三侧内墙各保留宽的通道．当矩形温室的长为多少时，蔬菜种植区域的面积是． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，解答此题，要运用含x的代数式表示矩形的长与宽，再由面积关系列方程．设矩形温室的宽为，则长为.，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解． 【详解】解：设矩形温室的宽为，则长为， 根据题意，得， ， ， ， 解得：（不合题意，舍去），， ， 答：当矩形温室的长为时，蔬菜种植区域的面积是． 22. 为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本． （1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率； （2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？ 【答案】（1）20%；（2）12.5． 【解析】 【详解】试题分析：（1）经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．设这两年的年平均增长率为x，则经过两次增长以后图书馆有书7500（1+x）2本，即可列方程求解； （2）先求出2017年图书借阅总量的最小值，再求出2016年的人均借阅量，2017年的人均借阅量，进一步求得a的值至少是多少． 试题解析：（1）设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x，根据题意得 7500（1+x）2=10800，即（1+x）2=1.44，解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）． 答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%； （2）10800（1+0.2）=12960（本） 10800÷1350=8（本） 12960÷1440=9（本） （9﹣8）÷8×100%=12.5%． 故a的值至少是12.5． 考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用；最值问题；增长率问题． 23. 阅读材料并回答问题：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义可以得出，一般地，点，在数轴上，分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为，所以在平面直角坐标系中，轴上两点，，则；轴上两点，，则． （1）如图1，求证：平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为：； （2）若在平面直角坐标系中，的三个顶点，，，试判断的形状； （3）如图2，点，，点是轴上的动点，直接写出的最小值：________． 【答案】（1） 证明：如图所示，过点A作轴，过点B作轴交于C， ∴， ∴， ∴ （2）是等腰直角三角形 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，轴对称最短路径问题： （1）过点A作轴，过点B作轴交于C，则，进而得到，再利用勾股定理进行求解即可； （2）利用（1）所求得到，，，进而得到，则由勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形； （3）作点A关于x轴的对称点C，连接，则，由轴对称的性质可得，则当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长，利用（1）的结论求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ， ∴， ∴是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：如图所示，作点A关于x轴的对称点C，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $