精品解析：浙江省宁波市海曙区储能学校2024-2025学年下学期期中试卷八年级数学试题

宁波市海曙区储能学校 2024学年第二学期八年级数学期中考试试题卷 温馨提示： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，考试时间90分钟，满分100分． 2．答题前，请在答题卷相应区域内填写学校、班级、姓名以及填涂考生号等． 3．不能使用计算器． 4．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，注意试题序号与答题序号相对应． 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意． 2. 若可以合并为一项，则可以是（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】把每个选项的的值代入二次根式，化简后，再确定与是不是同类二次根式，从而可得答案. 【详解】解：可以合并为一项， 与是同类二次根式， 当时，与不是同类二次根式；故不符合题意； 当时，与是同类二次根式；故符合题意； 当时，与不是同类二次根式；故不符合题意； 当时，与不是同类二次根式；故不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，同类二次根式的识别，掌握同类二次根式的含义是解题的关键. 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，使用配方法将方程转化为完全平方形式，通过添加一次项系数一半的平方完成配方即可． 【详解】解：， ， ； 故选B． 4. 八年级（7）班有7位同学参加年级“最强大脑”数学比赛初赛，有4位可以进入决赛．何同学知道自己的成绩后，更想知道自己是否进入决赛，他只需要知道这七位同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了中位数的定义，要判断何同学是否进入前4名，需确定他的成绩在7人中的相对位置．中位数能反映数据的中间位置，帮助确定排名． 【详解】解：共有7位同学，成绩按从高到低排列后，中位数是第4名的成绩．若何同学的成绩高于或等于中位数，则进入前4名．平均数（A）反映整体水平，众数（B）反映出现次数最多的值，方差（C）反映数据波动，均无法直接判断排名． 故选：D． 5. 下列命题中，正确的是（　　） A. 矩形的邻边不能相等 B. 菱形的对角线不能相等 C. 矩形的对角线不能相互垂直 D. 平行四边形的对角线可以互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据平行四边形的性质对D进行判断． 【详解】A、矩形的邻边能相等，若相等，则矩形变为正方形，故A错误； B、菱形的对角线不一定相等，若相等，则菱形变为正方形，故B错误； C、矩形的对角线不一定相互垂直，若互相垂直，则矩形变为正方形，故C错误； D、平行四边形的对角线可以互相垂直，此时平行四边形变为菱形，故D正确． 故选D． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 6. 牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都大于 C. 有一个内角小于或等于 D. 每一个内角都小于 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．至少有一个内角大于或等于的反面是每一个内角都小于，据此即可假设． 【详解】解：用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设：每一个内角都小于． 故选：D． 7. 若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，先求出方程的解，即可得出，，根据菱形的性质，利用勾股定理求出边长即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，， ∵菱形两条对角线的长度是方程的两根， ∴菱形两条对角线的长度为，， ∴菱形的边长． 故选：A． 8. 如图，将折叠，使点分别落在点处（点都在所在的直线上），折痕为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形与折叠的性质，易得CD∥MN∥AB，然后根据平行线的性质，即可求得∠DMN＝∠FMN＝∠A，又由平角的定义，根据∠AMF＝50°，求得∠DMF的度数，然后可求得∠A的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， 根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN， ∴AB∥CD∥MN， ∴∠DMN＝∠FMN＝∠A， ∵∠AMF＝50°， ∴∠DMF＝180°－∠AMF＝130°， ∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝65°， 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质与折叠的性质，注意数形结合思想的应用以及折叠中的对应关系，难度适中． 9. 《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； 设门的对角线长为尺，根据：竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，结合勾股定理即可列出方程，得到答案． 【详解】解：设门的对角线长为尺，则可列方程为； 故选：D． 10. 如图，平行四边形中，点E、F分别在上，依次连接，图中空白部分的面积分别为，已知，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 38 B. 40 C. 42 D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查了平行四边形的性质，解决为题的关键是明确各部分图形面积的和差关系：设平行四边形的面积为S，则，由图形可知，面积面积平行四边形的面积，求出，再根据求解即可． 【分析】解：设平行四边形的面积为S，则， 由图形可知，面积面积平行四边形的面积， ∴， 即， 解得， ∴ ． 故选：A． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【答案】6 【解析】 【分析】本题利用任意多边形外角和为定值360°，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系，再根据多边形内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得． 13. 在方差计算公式，若m，n分别表示这组数据的个数和平均数，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差的公式，根据方差的公式结合题意可得出，，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握方差的公式是解此题的关键． 【详解】解：∵在方差计算公式，若m，n分别表示这组数据的个数和平均数， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 绘画兴趣小组的每名同学将自己水墨画作品向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件．若设全组有x名同学，则根据题意列出方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．先求每名同学赠的作品，再求x名同学赠的作品，根据总作品182件列方程即可． 【详解】解：设全组共有x名同学，则每名同学所赠的作品为：件， 则， 故答案为：． 15. 定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，新定义运算的含义，分三种情况：①；②；③，再进一步计算并检验即可. 【详解】解：若多项式，，，（是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况， ① ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时：舍去， ② ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时，符合题意； ③ ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时； 综上所述，的值为． 故答案为： 16. 在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、垂线段最短，证明四边形是矩形，得出，，由直角三角形的性质可得，当值最小时，值最小，即当值最小时，值最小．根据垂线段最短，即当时，值最小，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：连接， ， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 又∵M是的中点， ∴， ∴当值最小时，值最小，即当值最小时，值最小． 根据垂线段最短，即当时，值最小 此时， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题有7小题，共52分，第17—19题每题6分，第20—22题每题8分，第23题10分） 17. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握运算法则和解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先化为一般式，再用配方法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ， ， ， 解得：，． 18. 如图，网格中每个小正方形的边长都是1，线段的两端点、都在格点上 ． （1）在图1中画一个以为边、面积为12的矩形；（要求：另外两个顶点也在格点上） （2）在图2中画一个以为对角线、面积为12的平行四边形．（要求：另外两个顶点也在格点上） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据矩形的性质结合面积为12画出图形即可； （2）根据平行四边形的性质结合面积为12画出图形即可． 【小问1详解】 解：如图，矩形即为所求， 【小问2详解】 解：如图，平行四边即为所求， 19. 某班进行“闪亮之星”的推选工作，经过自荐和第一轮筛选后，甲、乙两位同学进入终选．如表为甲、乙两位同学的得分情况．其中人气分的计算方法是：根据班级主科老师和同学的投票结果，老师一票记10分，同学一票记2分，两个分数相加即为人气分． 学生 人气分 学习分 行规分 工作分 老师票数 学生票数 分数 甲 4 20 a 85 95 85 乙 2 25 70 90 92 90 （1） ___________ ， ___________ ； （2）经全班同学讨论决定，候选人的最终得分将根据如图所示的百分比折算后计入总分，经计算，甲同学的最终得分为87分，请你求出乙同学的最终得分，并判断哪位同学当选． 【答案】（1）80，30 （2）86.6（分），甲被选上 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，扇形统计图，熟记加权平均数公式是解题的关键． （1）由同学一票记2分，老师一票记10分，两个分数相加即为人气分，可得甲的人气分a的值，再用整体1减去其他所占的百分比求出b的值； （2）利用加权平均数的计算公式分别求出甲乙两位候选人的最后得分，再比较即可． 【小问1详解】 由题意，得（分）； ，即； 故答案为：80，30； 【小问2详解】 甲被选上，理由如下： 甲候选人的最后得分是：（分）， 乙候选人的最后得分是：（分）， ∵， ∴甲被选上． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若、是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1） ， 方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据根的判别式判断一元二次方程根的个数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）计算出的值，根据的取值范围即可得证； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，，然后代入中，求出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得：，， ， ， 解得：． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，EF是直线DB上的两点，DE＝BF． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若四边形AFCE是矩形，且BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，求DE的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC交EF于点O，由平行四边形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，可证OE＝OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形AFCE是平行四边形； （2）利用勾股定理可求BD，AO的长，由矩形的性质可得AO＝EO＝，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接AC交EF于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵DE＝BF， ∴OE＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵BD⊥AD，AB＝5，AD＝3， ， ∴BO＝DO＝2， ， ∵四边形AFCE是矩形， ∴AO＝CO，EO＝FO，AC＝EF， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，利用勾股定理求出AO的长是解题的关键． 22. 综合与实践 矩形菜园最大面积探究 情境 数学拓展课上，老师带领兴趣小组的同学们探究矩形种植园最大面积问题．若校园空地上有一面墙（长度），用长的篱笆围出一个矩形菜园． 问题初探 如图1，兴趣小组利用墙（不超过墙长）和长的篱笆围出矩形菜园，设，矩形菜园的面积为，完成下题： （1） （用含x的代数式表示） （2）若矩形菜园面积为时，则的长为多少？ 问题续探 矩形菜园面积能否超过？如果能，请在图2中画出矩形菜园面积最大的方案示意图（标注边长）． 【答案】问题初探：（1）；（2）；变式探究：能，见解析 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，列代数式； （1）设，由长的篱笆减去即可得到答案； （2）设，则，可得，再解方程即可； 变式探究：当，时，满足条件，再画图即可． 【详解】解：问题初探：（1）由题意可得：， （2）设，则， ∴， ∴， 解得， ， 当时，，不符合题意， ∴． 变式探究：能，示意图如下： 此时面积为：，符合题意． 23. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为1． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【挑战应用】（4）如图，在四边形中，，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于 ． 【答案】（1）2； （2）解：， ∵， ∴， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）根据配方法将平方形式，结合其非负性即可求得最小值； （2）根据配方法将配成形式，结合其非负性即可求得最小值为正数，即可知无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）根据已知得，由面积公式得展开配成平方形式，结合非负性和不等式的性质求得最大值即可； （4）连结，由中点的性质得和，则 ，进一步得到=，结合 和 ，得到，结合（3）知四边形的面积最大值为 ，即可求得面积的最大值． 【详解】（1）解： ， 无论取何实数，都有， ，即的最小值为； 故答案为：； （2）略 （3）∵，， ∴， ∴ ∵， ∴当，四边形的面积最大，最大值为． （4）连结，如图， ∵点M是的中点， ∴，， ∴ ， ∵点M是的中点，点N是的中点， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ∵ 四边形的面积最大值为 ， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，涉及配方法和非负性、不等式的性质、中点的性质，解题的关键是熟悉配方法和中点的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波市海曙区储能学校 2024学年第二学期八年级数学期中考试试题卷 温馨提示： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，考试时间90分钟，满分100分． 2．答题前，请在答题卷相应区域内填写学校、班级、姓名以及填涂考生号等． 3．不能使用计算器． 4．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，注意试题序号与答题序号相对应． 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若可以合并为一项，则可以是（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 八年级（7）班有7位同学参加年级“最强大脑”数学比赛初赛，有4位可以进入决赛．何同学知道自己的成绩后，更想知道自己是否进入决赛，他只需要知道这七位同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 5. 下列命题中，正确的是（　　） A. 矩形的邻边不能相等 B. 菱形的对角线不能相等 C. 矩形的对角线不能相互垂直 D. 平行四边形的对角线可以互相垂直 6. 牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都大于 C. 有一个内角小于或等于 D. 每一个内角都小于 7. 若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将折叠，使点分别落在点处（点都在所在的直线上），折痕为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平行四边形中，点E、F分别在上，依次连接，图中空白部分的面积分别为，已知，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 38 B. 40 C. 42 D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 12. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 13. 在方差计算公式，若m，n分别表示这组数据的个数和平均数，则的值为_____． 14. 绘画兴趣小组的每名同学将自己水墨画作品向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件．若设全组有x名同学，则根据题意列出方程为_____． 15. 定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为_____． 16. 在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题有7小题，共52分，第17—19题每题6分，第20—22题每题8分，第23题10分） 17. （1）计算：． （2）解方程：． 18. 如图，网格中每个小正方形的边长都是1，线段的两端点、都在格点上 ． （1）在图1中画一个以为边、面积为12的矩形；（要求：另外两个顶点也在格点上） （2）在图2中画一个以为对角线、面积为12的平行四边形．（要求：另外两个顶点也在格点上） 19. 某班进行“闪亮之星”的推选工作，经过自荐和第一轮筛选后，甲、乙两位同学进入终选．如表为甲、乙两位同学的得分情况．其中人气分的计算方法是：根据班级主科老师和同学的投票结果，老师一票记10分，同学一票记2分，两个分数相加即为人气分． 学生 人气分 学习分 行规分 工作分 老师票数 学生票数 分数 甲 4 20 a 85 95 85 乙 2 25 70 90 92 90 （1） ___________ ， ___________ ； （2）经全班同学讨论决定，候选人的最终得分将根据如图所示的百分比折算后计入总分，经计算，甲同学的最终得分为87分，请你求出乙同学的最终得分，并判断哪位同学当选． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若、是该方程的两个根，且，求的值． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，EF是直线DB上的两点，DE＝BF． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若四边形AFCE是矩形，且BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，求DE的长． 22. 综合与实践 矩形菜园最大面积探究 情境 数学拓展课上，老师带领兴趣小组的同学们探究矩形种植园最大面积问题．若校园空地上有一面墙（长度），用长的篱笆围出一个矩形菜园． 问题初探 如图1，兴趣小组利用墙（不超过墙长）和长的篱笆围出矩形菜园，设，矩形菜园的面积为，完成下题： （1） （用含x的代数式表示） （2）若矩形菜园面积为时，则的长为多少？ 问题续探 矩形菜园面积能否超过？如果能，请在图2中画出矩形菜园面积最大的方案示意图（标注边长）． 23. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为1． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【挑战应用】（4）如图，在四边形中，，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $