第八章 高考真题集训——计数原理-【金版教程】2026年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

高考总复习首选用卷　数学 高考真题集训——计数原理 一、单项选择题 1．(2024·北京高考)在(x－)4的展开式中，x3的系数为(　　) A．15 B．6 C．－4 D．－13 答案：B 解析：(x－)4的展开式的通项为Tk＋1＝Cx4－k(－)k＝C(－1)kx4－ (k＝0，1，2，3，4)，令4－＝3，解得k＝2，故x3的系数为C×(－1)2＝6. 2．(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 答案：C 解析：首先确定相同的读物，共有C种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物中选出2种进行排列，共有A种情况，根据分步乘法计数原理知，共有CA＝120种选法．故选C. 3．(2023·北京高考)的展开式中x的系数为(　　) A．－80 B．－40 C．40 D．80 答案：D 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)5－k＝(－1)k25－kCx5－2k，令5－2k＝1，得k＝2，所以的展开式中x的系数为(－1)2×25－2×C＝80.故选D. 4．(2023·全国甲卷)有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为(　　) A．120 B．60 C．40 D．30 答案：B 解析：先从五名志愿者中选择1人连续参加两天社区服务，有C＝5种方法；再从剩余的4人中选择2人分别参加星期六与星期天的社区服务，共有A＝12种方法．所以恰有1人连续参加两天服务的选择种数为5×12＝60.故选B. 5．(2022·北京高考)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 答案：B 解析：令x＝1，则a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，令x＝－1，则a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－3)4＝81，故a4＋a2＋a0＝＝41.故选B. 6．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有(　　) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 答案：B 解析：因为丙、丁要在一起，先把丙、丁捆绑，看作一个元素，连同乙、戊看成三个元素排列，有A种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插入方式；注意到丙、丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有A×2×2＝24种不同的排列方式．故选B. 7．(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　) A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 答案：C 解析：根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A种安排方法．故满足题意的分配方案共有CA＝240(种)． 8．(2020·北京高考)在(－2)5的展开式中，x2的系数为(　　) A．－5 B．5 C．－10 D．10 答案：C 解析：(－2)5的展开式的通项为Tk＋1＝C()5－k(－2)k＝(－2)kCx，令＝2，得k＝1，则x2的系数为(－2)1×C＝(－2)×5＝－10.故选C. 9．(2020·新高考Ⅱ卷)3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有(　　) A．4种 B．5种 C．6种 D．8种 答案：C 解析：根据题意，可将问题分为两步：第一步，将3名大学生分成两组，有CC＝3(种)分法；第二步，将2组大学生安排到2个山村，有A＝2(种)安排方法．所以不同的分配方案共有6种．故选C. 10．(2020·新高考Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　) A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 答案：C 解析：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C；最后剩下的3名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有CC＝6×10＝60种．故选C. 11．(2020·全国Ⅱ卷)如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12.若k－j＝3且j－i＝4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为(　　) A．5 B．8 C．10 D．15 答案：C 解析：根据题意可知，原位大三和弦满足k－j＝3，j－i＝4，∴i＝1，j＝5，k＝8；i＝2，j＝6，k＝9；i＝3，j＝7，k＝10；i＝4，j＝8，k＝11；i＝5，j＝9，k＝12.原位小三和弦满足k－j＝4，j－i＝3.∴i＝1，j＝4，k＝8；i＝2，j＝5，k＝9；i＝3，j＝6，k＝10；i＝4，j＝7，k＝11；i＝5，j＝8，k＝12.故可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10.故选C. 12．(2020·全国Ⅰ卷)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 答案：C 解析：(x＋y)5的展开式的通项为Tk＋1＝Cx5－kyk(k∈N且k≤5)，所以(x＋y)5＝xTk＋1＋Tk＋1＝xCx5－kyk＋·Cx5－kyk＝Cx6－kyk＋Cx4－kyk＋2.在xTk＋1＝Cx6－kyk中，令k＝3，可得xT4＝Cx3y3＝10x3y3，该项中x3y3的系数为10，在Tk＋1＝Cx4－kyk＋2中，令k＝1，可得T2＝Cx3y3＝5x3y3，该项中x3y3的系数为5，所以x3y3的系数为10＋5＝15.故选C. 二、填空题 13．(2024·天津高考)在的展开式中，常数项为________． 答案：20 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C＝36－2kCx6(k－3)，k＝0，1，…，6，令6(k－3)＝0，可得k＝3，所以常数项为30C＝20. 14．(2023·天津高考)在的展开式中，x2的系数是________． 答案：60 解析：解法一：二项式的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x3)6－k＝(－1)k26－kCx18－4k，令18－4k＝2，解得k＝4，所以x2的系数为(－1)4×22×C＝60. 解法二：将二项式看成6个多项式相乘，要想出现x2项，则先在2个多项式中分别取2x3，然后在余下的多项式中都取－，相乘，即C(2x3)2×C＝60x2，所以x2的系数为60. 15．(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)． 答案：64 解析：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有CC种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有CC种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有CC种方案．综上，不同的选课方案共有CC＋CC＋CC＝64种． 16．(2022·天津高考)的展开式中的常数项为________． 答案：15 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C()5－k＝C3kx，令＝0，得k＝1，所以的展开式中的常数项为15. 17．(2021·北京高考)4的展开式中常数项为________． 答案：－4 解析：4的展开式的通项为Tk＋1＝C(x3)4－kk＝(－1)kCx12－4k，令12－4k＝0，得k＝3，则常数项为T4＝(－1)3×C＝－4. 18．(2021·天津高考)在的展开式中，x6的系数是________． 答案：160 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x3)6－k＝26－kCx18－4k，令18－4k＝6，解得k＝3，所以x6的系数是23×C＝160. 19．(2020·全国Ⅲ卷)的展开式中常数项是________(用数字作答)． 答案：240 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)6－k＝C2kx12－3k.令12－3k＝0，解得k＝4，∴的展开式中常数项是C×24＝15×16＝240. 20．(2020·天津高考)在的展开式中，x2的系数是________． 答案：10 解析：因为的展开式的通项为Tk＋1＝Cx5－k＝C2kx5－3k(k＝0，1，2，3，4，5)，令5－3k＝2，解得k＝1.所以x2的系数为C×2＝10. 21．(2020·全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种． 答案：36 解析：∵4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，∴先将4名同学分为3组，分法有＝6种，然后将3组同学分配到3个小区，分法有A＝6种，根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有6×6＝36种． 22．(2022·上海高考)二项式(3＋x)n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n＝________． 答案：10 解析：∵二项式(3＋x)n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，即C×3n－2＝5C×3n，即＝5×9，∴n＝10. 23．(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)． 答案：－28 解析：展开式中含有x2y6的项为Cx2y6－·Cx3y5＝－28x2y6. 24．(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值是________． 答案：5 解析：展开式的通项为Tk＋1＝Cxk，0≤k≤10且k∈Z，设展开式中第k＋1项系数最大，则解得即≤k≤，又k∈Z，故k＝8，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C×＝5. 25．(2022·浙江高考)已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________． 答案：8　－2 解析：含x2的项为x×C×x×(－1)3＋2×C×x2×(－1)2＝－4x2＋12x2＝8x2，故a2＝8.令x＝0，即2＝a0，令x＝1，即0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2. 26．(2021·浙江高考)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________． 答案：5　10 解析：(x－1)3的展开式的通项为Tr＋1＝Cx3－r(－1)r，(x＋1)4的展开式的通项为Sk＋1＝Cx4－k，则a1＝C＋C＝1＋4＝5，a2＝C×(－1)1＋C＝3，a3＝C×(－1)2＋C＝7，a4＝C×(－1)3＋C＝0.所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10. 27．(2024·新课标Ⅱ卷)在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 答案：24　112 解析：由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有4×3×2×1＝24种选法．每种选法可标记为(a，b，c，d)，a，b，c，d分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为(11，22，33，44)，(11，22，34，43)，(11，22，33，44)，(11，22，34，42)，(11，24，33，43)，(11，24，33，42)，(12，21，33，44)，(12，21，34，43)，(12，22，31，44)，(12，22，34，40)，(12，24，31，43)，(12，24，33，40)，(13，21，33，44)，(13，21，34，42)，(13，22，31，44)，(13，22，34，40)，(13，24，31，42)，(13，24，33，40)，(15，21，33，43)，(15，21，33，42)，(15，22，31，43)，(15，22，33，40)，(15，22，31，42)，(15，22，33，40)，所以选中的方格中，(15，21，33，43)的4个数之和最大，为15＋21＋33＋43＝112. 5 学科网（北京）股份有限公司 $$