第七章 考点测试41 等差数列-【金版教程】2026年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

高考总复习首选用卷数学 多学科网书城巴 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第七章 数列 考点测试41 等差数列 基础题（占比50%） 中档题（占比40%） 拔高题（占比10%） 题号 2 3 4 5 6 > 8 10 11 难度 ★ ★ ★★ 等差数 等差数 数学 求等 求等 列的判 列前n 求等 文化 等差 求等差 等差数 判断 差数 差数 定：求 项和的 差数 与数 数列 数列的 列前n 数列 对点 列的 列的 等差数 性质；等 列的 列的 的性 前n项 项和的 的单 具体 前n 列的 差数列 公差 实际 质 和 性质 调性 项 项和 前n项 基本量 应用 和 的计算 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ 由an 等差数列 由an与 等差数 等差数 等差 与Sn 等差数 的判定与 Sn的关 列的判 等差 等差数列 列的判 数列 的关 列的性 证明；等差 系求通 定与证 数列 的性质： 定与证 前n 系求 质；基 数列基本 对点 项；等 明：等 的判 充分、必 明；等差 项和 通 本不等 量的计 差数列 差数列 定与 要条件的 数列基 的性 项： 式求最 算：等差数 基本量 基本量 证明 判断 本量的 质 并项 值 列前n项和 的计算 的计算 计算 求和 的最值 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ★★ 难度 ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ ★★★ ★★ ★ ★ 等差 含 等差数 等差数 由an 由an 等差数 等比、 由an与Sn 等差 数列 绝 列的判 列基本 与Sm 与Sn 列前n 等差中 的关系求 数列 的判 对 定与证 量的计 的关 的关 项和的 项的应 通项；含 的判 对点 定与 值 明；等 算：等 系求 系求 最值和 用；累 绝对值的 定与 证 的 比中项 差数列 通 通 符号： 加法求 等差数列 证 明； 等 的应 前n项 项； 项：等 等差数 通项； 的前n项 明；并 1 独家授权侵权必究 高考总复习首选用卷数学 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅，正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+数辅专家 等差差用：等 和的最 并项 差中 列的性 裂项相 和：数列 项求 数列 数 差数列 值；含 求和 项的 质 消法求 的单调性 和（含 项的 列 前n项 绝对值 (含奇 应 和 与导数的 奇偶 最值 前n 和的最 的等差 偶项) 用：数 交汇 项) 项 值 数列前 列的 和 n项和 单调 性 高考概览 本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，中、低等难度 1.理解等差敏列的概念 2.掌提等差数列的道项公式与前n项和公式 考点研读 3.能在具体的问题情境中识别敏列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系 八基础巩固练 1.(2025四川成都高三开学考试)己知等差数列a}满足a=9,a=3,则a2=() A.-2 B.1 C.0 D.-1 答案：C 解析：解法一：设等差数列{an}的公差为d,由题意，得al十2d=9,al十8d=3,)解得al =11,d=-1,)则a2=41+11d=0.故选C. 解法二：设等差数列{an}的公差为d,由a3=9,=3,可得d=a9-a39-3=3-96=-1, 所以a2=a十3d=3-3=0.故选C 2.等差数列{am}的前n项和为Sn,若a=4,S=18,则公差d=() A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案：B 解析：由题可知a1+2d=4,9×82)d=18,解得al=6,d=一1.)故选B 3.《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤：斩末一尺，重二斤， 问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金箠，长五尺，在粗的一端截下一尺，重4斤： 在细的一端截下一尺，重2斤.问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金箠由粗到 细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是() A.73斤 B.72斤 2 ·独家授权侵权必究· 高考总复习首选用卷数学 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 C.52斤 D.3斤 答案：B 解析：依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，设首项a1=4,则5=2，设公差 为d,则2=4十4d,解得d=-12,所以a2=4-12=72.故选B. 4.已知等差数列{an}的前n项和为S,a3=1,S,=3a6,则S=() A.1 B.-1 C.3 D.-3 答案：D 解析：设等差数列{an}的公差为d,则a1十2d=1,7a1十7×62d=3(a1+5d,解得a1=-3,d =2,所以S3=3a1十3d=-3.故选D 5.已知数列{am}的前n项和Sn=am2+bn(a,b∈R),且a2=3,a6=11,则S,=() A.13 B.49 C.35 D.63 答案：B 解析：由Sn=am2+bn(a,b∈R),可知{an}是等差数列，所以a1十a,=2+a6=14,所以S7 =(a1+a7)×72=14×72=49 6.(2025甘肃武威高三上期末联考)己知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1十a6十a1=6, 则S,一&2=( A.24 B.21 C.14 D.18 答案：C 解析：由等差数列的性质可得a1十a6十a1=3a6=6,即a6=2,∴S,-S2=a3十a4十as十十a =7a6=14.故选C 7.(2025·江苏南京航空航天大学附中高三开学考试)已知等差数列{am}的公差大于0，a十 a-a2=0,asa,=一1，则{an}的前10项和为(） A.-4 B.0 C.-5 D.5 答案：C 解析：设等差数列{am}的公差为d,则d0.由a5十a3一a2=0,得as十d=0=a6.又asa=-1, 则(a6-d(a6十d①=-dP=-1,又0，则d=1,所以as=一1，因此可得S1。=10(al十al0) 2=5(as十a6)=-5.故选C 8.(2025江苏南京高三第一次调研考试)已知{an}为等差数列，前n项和为Sm若S=6,S6= 3,则S=() 独家授权侵权必究 高考总复习首选用卷数学 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 A.-18 B.-9 C.9 D.18 答案：B 解析：由等差数列前n项和的性质可知，S,S。一S,S一S6成等差数列，所以(S一S6)十品 =2(S6-S),则S,=3S6-3=3×3-3×6=-9.故选B 9.(2025·安徽六校高三入学考试)设公差d中0的等差数列a,}中，a2,as,a成等比数列， 则al十a3十a5al+a4+a7=( A.1011 B.1110 C.34 D.43 答案：A 解析：因为公差d≠0的等差数列{an}中，a2,a5,ag成等比数列，所以a25=a2ag,即(a1十 4d2=(a1+d(a1+8d,解得a=8d,所以al+a3+a5al十a4+a7=3a33a4=a3a4=al+2dal +3d=8d+2d8d+3d=1011.故选A 10.(2025河北张家口尚义一中开学考试)已知等差数列{an},a1=一4048，其前n项和为S, 若S2020-S1818=4,则S225=() A.0 B.20242 C.2025 D.20252 答案：A 解析：设等差数列{an}的公差为d,则Sm=na1十n(n一1)2d,Sm=a1十n一12d,故S2020 =-4048+192d,S1818=-4048+172d,故S2020-S1818=d=4,S225=2025×(-4048) +2025×20242×4=0.故选A 11.(多选)下列关于公差d>0的等差数列a}的四个结论中正确的是() A.{an}是递增数列 B.{nan}是递增数列 Cfam)是递增数列 D.{an十3nd是递增数列 答案：AD 解析：，an=a十(n-I)d,dD>0,.a+1-an=d>0,A正确：nan=na十n-1)d,.(n +1)an+1一nan=41十21d,与0的大小关系和a1的取值情况有关，故{nan}不一定是递增数列， B不正确：，amn=aln+n-lnd,am十ln十I-amm=-al十d(n十1)，当d-a10,即d <a时，am)是递减数列，C不正确；设bn=an十3nd,则bn+1一bn=a+1一an十3d=4d >0,∴.{an十3nd}是递增数列，D正确，故选AD 12.等差数列an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且SmTn=3n十17n十3，则ab9= 4 ·独家授权侵权必究· 高考总复习首选用卷数学 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅，正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 答案：2661 解析：因为等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为S和Tm,则Sm-1=(al十a2m一1)(2n一1) 2=(2am)(2n-1)2=(2n-1)aw.同理，T2n-1=(2n-1)bn,所以S2n-1T2m-1=ambm,a9b9 =S17717=3×17+17×17+3=52122=2661, 13.(2025·重庆十一中高三月考)已知首项为2的正项数列{an}的前n项和为Sm,且当n≥2时 ，3S4-2=a2n-3S-1'则as= 答案：14 解析：因为当n≥2时，3Sm一2=a21一3Sn-1,所以3Sn+1-2=a2n+1-3S,两式相减，得 a2n+1-a2n-3an=3an+1,所以a2n+1-a2n-3an+1-3an=0,即(a+1十an)(an+1-an-3)= 0,由于{an}是正项数列，所以a+1一an-3=0,即an+1一an=30n≥2)，当n=2时，由已知 条件，得3S2-2=a22-3S,即3(a+a2)-2=a22-3a,又a1=2,所以a2=5,即a2-a1 =3,所以{an}是首项为2，公差为3的等差数列，所以a5=2十4×3=14 14.(2024辽宁沈阳二中高三五模)已知数列{a}满足a=1,a>0,Sn是数列{an}的前n项和 ,对任意n∈N,有2Sn=2a2n十an-1. (1)求数列{a}的通项公式： (2)设bn=(-1yr-la%,求bn}的前100项和 解：(1)由2Sn=2a2n+an-1,得 2Sm-1=2a2n-1+an-1-1(0n≥2)， 两式相减，得2an=2a2n-2a2n-1十an-an-1, 即(an十a%-1)2aw-2an-1-1)=0, 因为a>0,所以2an-2aw-1-1=0, 即an-an-1=12(n≥2)， 故{an}是首项为1，公差为12的等差数列， 所以an=12n十1). (2)由(1)，知bn=(-1r-1am=12(-1)r-1(0n+1), 所以b2m-1十b2n=-12, 记cn=b2n-1+b2,则cn=一12， 所以b1+b2+…+b1om=G十c2+…+cs0=laws4 alcol(-/12×50=-25 Q综合提升练 15.(2025辽宁沈和郊联体高三开学考试)已知数列{an}的前n项和为Sm若an十an+1=2n十5， 4=1,则Ss=() A.48 B.50 ◆独家授权侵权必究· 高考总复习首选用卷数学 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 C.52 D.54 答案：C 解析：解法一：，a+1十an=2n+5①，.当n≥2时，an十aw-1=20n-1)十5②，由① ②，得当n≥2时，an+1一an-1=2,∴{an}中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均 为2.，a1=1,∴.当n为奇数时，an=a1十n-12×2=n:当n为偶数时，an=2n十5一a+1=n +4.S8=(a1十a+as+a)+(a2+a4十a6+as)=4×(1+7)2+4×(6+12)2=52.故选C 解法二：：an十ar+1=2n+5,.a+2十an+3=2(n十2)十5，a1十a2=7,∴.{a2e-1十a2n}是以7 为首项，4为公差的等差数列，.Ss=a1十a2十a3十a4十…十a,十as=4×7十4×32×4=52.故选 C 16.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=一23，Sn十1Sn十2=a(n≥2)，则下列各项为等 差数列的是() A.{S+1} B.{Sn-1} C.1S+1刀 D.1Sm一1》 答案：C 解析：由Sn+1Sm+2=a(n≥2)，得Sn=-1Sn一1+20n≥2)，则S1=-23,S2=一34，S3= -45,…,故S1+1=13,S2+1=14,S3+1=15,,则1S1+1=3,1S2+1=4,1S3+1=5,… ,所以1S1十1》为等差数列.故选C 17.设S。为正项等差数列{am}的前n项和，若S2o24=2024,则1a4十4a2021的最小值为() A.52 B.5 C.9 D.92 答案：D 解析：由等差数列的前n项和公式，可得S2024=2024(a1十a2024)2=2024,则a1十42024=2 ，又a1+a2024=a4+a2021=2且a40,a2021>0,所以1a4+4a2021=12(a4+a2021） als4alcol(f(14a2021)= 125+ b\lc\(rc\4a4a2021))12aws4allcol(5++ 2r0fa20214a4a2021)月=2，当且仅当a2021a4=4a4a2021,即2a4=a221=43时，等号成立， 所以1a4+4a2021的最小值为92.故选D 18.(2025广东四校高三开学大联考)己知等差数列{am}的前n项和为Sm,则“a224=0”是“S =S4o47-(K4047,n∈N)”的() A.充分不必要条件 B,必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 答案：C 独家授权侵权必究。 高考总复习首选用卷数学 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅，正版资源 b.ZXXK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 解析：当n≤2023时，Sn=S447-4=0=an+1十a+2十…十a4047-n=am1+1+a4047-n2(4047-2m) ，得a2024=0:当n2023时，S#=S4047-m→0=a408-十a4040-#十…+an=am十a4048-n2 (2n一4047)，得a2024=0,所以“a2024=0”是“Sn=S4047-<4047,n∈N”的充要条件，故 选C 19.已知数列{an}满足am十1am十am十1am十2=2，且41=1，a=13,则a226=() A.12025 B.12026 C.14051 D.14052 答案：C 解析：由am十1am+an+1am+2=2,得1am+lam+2=2am十1，故可得1am十2-1an+1=1am +1-1am,所以1am+1-1am=1an-1am-1=…=1a3-1a2=1a2-1al,又4=1，a2=13, 则1a1=1,1a2-1a1=3-1=2,所以f1am)是以1为首项，2为公差的等差数列，所以1am =1+2n-1)=2n-1,则an=12n-1,故a2026=12×2026-1=14051.故选C 20.(多选)(2025陕西高三校际联考)已知数列{am}满足2a+1=an十ae+2,其中a1=21,2=19, 设Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是() A.{an}为等差数列 B.an=2n+19 C.Snn=20+n D.当n=11时，Sm有最大值 答案：AD 解析：由2am+1=a十au+2,得an+1一an=an+2-an+1,且a2-a1=19-21=-2,所以{an}是 首项为21，公差为-2的等差数列，故A正确：am=21-20n-1)=-2m十23，故B错误：m =21-2m+232n×n=22-n,故C错误：Sm=21-2m+232×n=-(n-11)2+121,因为n∈N ·,所以当n=11时，Sn有最大值，为121，故D正确.故选AD 21.(2024北京清华大学附中模)已己知数列{an}满足a=一9，na+1一(n+1)an=2(n十1)， 设bn=an,则bn=·an的最小值为 答案：2m-11-15 解析：由na+1-(n+1)an=2m(n+1),得am十In十1-am=2,而bn=an,则bm+1-bn=2 因此{bn}是首项为b1=a1=-9,公差为2的等差数列，故bn=一9十20n-1)=2n-1l,an bn=2n-11)=2as4alco1m一f114)2-1218,又n∈N,所以当n=3时，an取得最小 值-15 22.若等差数列{a}的前n项和为S,已知a1=9,a2∈Z,且Sn≤Ss(n∈N,则a1十la2十… +lan= 答案：10m一n2,n≤5，n2-10m十50，n>5) ·独家授权侵权必究 高考总复习首选用卷数学 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.C0m● 您身边的互联网+教辅专家 解析：设等差数列{an}的公差为d,,等差数列{an}的前n项和为Sn,a,=9,a2∈Z,且S ≤S,∴a5=9+4d0,a6=9+5ds0,a2∈Z,.d=-2,Sn=9m+n(n-1)2×(-2) =10m-n2,∴.当n≤5时，la+la+…+lan=10n-n2:当>5时，a1+la2+…+an=2 (a1+a2+a+a4+a5)-(10m-m2)=2×(10×5-5)+n2-10m=m2-10m+50,.la1+la2+…+ 1anl=10m-n2,s5,n2-10m+50,n>5) 23.(2024四川自贡三模)已知数列{am}的前n项和为S,且S。一nan=12n-1) (I)证明：{an}为等差数列： (2)若a5,a,au成等比数列，求Sn的最大值. 解：(1)证明：数列{am}满足Sm-nan=12m(n-1),① 当n≥2时，有Sn-1-n-1)a.-1=12n-1)(n-2),② 由①-②，得Sn-S41-nan+(n-1)a-1=12(n-1)-120n-1)n-2), 即(1-m)an+(n-1)an-1=12n-1儿n-(n-2], 变形可得a,a-1=-1(n≥2)， 故{a}是以-1为公差的等差数列. (2)由(1)可知{an}是以一1为公差的等差数列， 若a,a,a1成等比数列，则有a29=asa1, 即(a1-8)2=(a-4)(a1-10),解得4=12， 所以an=a1十(n-1)d=13-n, 所以{an}为递减数列，又当1≤13时，am0:当n=13时，an=0:当n>13时，an0 故当n=12或n=13时，8m取得最大值， 且(S)mx=S2=S13=12×12+12×112×(-1)=78. 24.(2025河北衡水二中高三开学考试)在等差数列am}中，a3=7,a=一5，数列{an}的前n 项和为S (I)求数列{an}的通项公式： (2)求Sn取最大值时n的值： (3)设Tn=a1+al十lag+…十la,求Tn 解：(I)设等差数列{an}的公差为d, 则ag-a=6d=-12,解得d=-2,则a1=a-2d=11, 故an=a1+(n-1)d=13-2m (2)结合(1)，可得Sm=11n+n(n-1)2×(-2)=12n-n2=-0n-62+36, 所以当n=6时，S取最大值. (3)因为an=13-2n, 所以由13-21≥0，得n≤132=612， ·独家授权侵权必究。 高考总复习首选用卷数学 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 即n≤6时，有aw0;n≥7时，有an<0, 故当n≤6时，Tm=la1l十la+la3+…+lam=a1十a2十a4十…+an=Sn=12n-n2, 当n≥7时，Tn=a1十a2十…十a6-a,-…-an=2(a1十a2+…+a6)-(a1十2十a3十…十an)= 2S6-Sn=2×(12×6-36)-(12n-n2)=n2-121+72 所以Tn=12m-n2,ns6,n2-12n+72,27) @素养深化练 25.(2024浙江温州高三第三次适应性考试)数列{an}的前n项和为Sn,a+1=Snam(n∈N), 则∑=a2一6，=2，-1可以是() A.18 B.12 C.9 D.6 答案：C 解析：由aa+1=nann∈N,得S。=an+1an且an≠0，由上式又有a2=S1al=l,还有S+1 =au+2an+1,两式相减，得a+1=an+2an+1一an+1a,两边同时除以an+1(ar+1≠0)，得an+2 a=1,由上式可知数列{a}的奇数项和偶数项均成等差数列，公差为1，所以∑5，=a2一∑6 -1a2-1=(a2+a+a6+ag+a10)-(a+a+a5+a+ag+a)=(1+2+3+4+5)-(a1十a1+1+ a十2+4十3+a1十4十4十5)=-6a1,因为数列{am}的奇数项公式为a2-1=41十(n-1),又 a,≠0，所以可以判断a一定不能为负整数，即只能有一6a,=9,故选C 26.已知数列{aw}的前n项和为Sm,且满足a1=1,aam+1=2Sn,设bn=am3m,若存在正整数 p,q@<q),使得b1,b,b成等差数列，则() A.p=1 B.p=2 C.p=3 D.p=4 答案：B 解析：数列{an}满足a1=1,an4+1=2Sn,当n=1时，a1a2=2S1=2a1,解得a2=2;当n≥2 时，2au=2(Sn-Sn-)=a(an+1一an-1),因为an≠0，所以an+1一aa-1=2,所以{an}是首项为 1,公差为1的等差数列，所以an=1十(n-1)=n,bw=am3n=n3m,若存在正整数p,q (p<q,使得b1,b2,bg成等差数列，则2b,=b1十bg,所以2p3p=13十g3g①.因为b+1 bn=n+13n十1-n3n=1-2n3n十1<0，所以bm}是递减数列，当p=1时，则有23=13+q3q, 解得q=1,舍去：当p=2时，则有49=13+q3q,解得q=3:当p≥3时，2p3p≤2×333= 2913,又q3q0,所以①式无解.综上，p=2.故选B 27.(多选)(2025江苏南京六校高三调研)已知等差数列{a}的首项为a1,公差为d,其前n项 和为Sn,若S<S。<S,则下列说法正确的是( A.当n=7时，S最大 ·独家授权侵权必究 高考总复习首选用卷数学 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 B.使得Sm0成立的最小自然数n=13 C.las+alas+aol D.数列f(Snan)中的最小项为S8a8 答案：ACD 解析：若Sg<S6<S,则a=S,一S6>0,a,十as=S8-S6<0,所以as<0,d=ag一a<0,即等差数 列{am}为递减数列.对于A,由as0,a>0,知等差数列{an}的前7项为正数，其余项为负 数，故当n=7时，Sn最大，故A正确：对于B,因为a1十a14=a,十as0,故S1:=I3×(al 十al3)2=13a>0,S14=14×(al十al4)20,所以使得Sn0成立的最小自然数n=14,故 B错误；对于C,la6十al-lag十aol=a6十a十as十ag=2(a,+as)0,则1a6十adas十agl,故C 正确：对于D,当n≤7或n≥14时，Sman>0:当7<14时，Snan-0.因为0>ag>ag>>a13, S8>Sg>S1>>S3>0,所以数列f(Snan))中的最小项为S8a8,故D正确. 28.(2024天津南开区高三二模)已知{an}是等差数列，公差d≠0，十as=8,且a函是a41与 a,的等比中项 (1)求数列{an}的通项公式： (2)数列b}满足bn一bn十1bnbn十1=2an,且b1=12 ①求数列bn}的前n项和Sn: ②是否存在正整数m,m≠)，使得S4,S2m,S成等差数列？若存在，求出m,n的值； 若不存在，请说明理由 解：(1)因为{an}为等差数列，且a十a5=8,所以a3=4. 又a4是41与a,的等比中项， 所以a23=a1a7,即16=(4-2d0(4+4d. 化筒，得P-d=0,解得d=1或d=0(舍去)， 所以a=3十(0n-3)×1=n+1 (2①由bn-bn+1bnbn+1=2an,得1bn+1-1bn=2aw, 所以1bn-1bn-1=2an-10n≥2)，又b1=12, 则当n≥2时，lbn=avs4 alcol0f1lbn-)+avs4 alcol(f11bn-2)+…+ as4alcol(f(11b1)+1b1=2a-1+2a-2++2a1+1b1=22 (n-1)+f (n-1)(n-2) 2)×1)+2=mn十1)： 又b1=12也适合上式，所以1bn=n十1)， 则bn=ln(n十1)=1n-ln十1， S=laws4lalicol(1-12))+\a s4alcol(f(113)+..+\alvs4allcol(f(11n1)=1-In+ 1=m+1 ②假设存在正整数m,n,使得S4,S2m,S2成等差数列， 10 ·独家授权侵权必究