第六章 高考真题集训——平面解析几何-【金版教程】2026年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

高考真题集训——平面解析几何

一、单项选择题

1．(2024·北京高考)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　)

A．2   B．2 

C．3   D.

答案：C

解析：由题意得x2＋y2－2x＋6y＝0，即(x－1)2＋(y＋3)2＝10，则其圆心坐标为(1，－3)，则圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝3.故选C.

2．(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　)

A.＋＝1(y>0)   B.＋＝1(y>0)

C.＋＝1(y>0)   D.＋＝1(y>0)

答案：A

解析：设点M(x，y)，则P(x，y0)，P′(x，0)，因为M为PP′的中点，所以y0＝2y，即P(x，2y)，又P在曲线x2＋y2＝16(y>0)上，所以x2＋4y2＝16(y>0)，即＋＝1(y>0)，即点M的轨迹方程为＋＝1(y>0)．故选A.

3．(2024·天津高考)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2.△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1   D.－＝1

答案：C

解析：如图，由题意可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，设|PF2|＝m，由kPF2＝tan∠PF2F1＝2，得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝m，由S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝·2m·m＝8，得m＝2，则|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2，故c＝，由双曲线的定义，得|PF1|－

|PF2|＝2a＝2，故a＝，b2＝c2－a2＝8，所以双曲线的方程为－＝1.故选C.

4．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案：A

解析：由e2＝e1，得e＝3e，因此＝3×，而a>1，所以a＝.故选A.

5．(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝(　　)

A．1   B. 

C.   D.

答案：B

解析：解法一：因为x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，可得圆心C(2，0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，因为|PC|＝＝2，则|PA|＝＝，可得sin∠APC＝＝，cos∠APC＝＝，则sin∠APB＝sin2∠APC＝2sin∠APCcos∠APC＝2××＝，cos∠APB＝cos2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝－＝－<0，即∠APB为钝角，所以sinα＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝.故选B.

解法二：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，连接AB，可得|PC|＝＝2，则|PA|＝|PB|＝＝，因为|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|cos∠APB＝|CA|2＋|CB|2－2|CA|·|CB|cos∠ACB，且∠ACB＝π－

∠APB，则3＋3－6cos∠APB＝5＋5－10cos(π－∠APB)，即3－3cos∠APB＝5＋5cos∠APB，解得cos∠APB＝－<0，即∠APB为钝角，则cosα＝cos(π－∠APB)＝－cos∠APB＝，又α为锐角，所以sinα＝＝.故选B.

解法三：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝，若切线斜率不存在，则切线方程为x＝0，则圆心到切线的距离d＝2<r，不符合题意；若切线斜率存在，设切线方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0，则＝，整理得k2＋8k＋1＝0，且Δ＝64－4＝60>0.设两切线斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝－8，k1k2＝1，可得|k1－k2|＝＝2，所以tanα＝＝，即＝，可得cosα＝，则sin2α＋cos2α＝sin2α＋＝1，又α∈，则sinα>0，解得sinα＝.故选B.

6．(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　)

A.   B. 

C．－   D．－

答案：C

解析：将直线与椭圆的方程联立得消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.因为直线与椭圆相交于A，B两点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)>0，解得－2<m<2.设F1到AB的距离为d1，F2到AB的距离为d2，易知F1(－，0)，F2(，0)，则d1＝，d2＝，＝＝＝2，解得m＝－或m＝－3(舍去)．故选C.