第六章 微专题训练——圆锥曲线中的交汇与创新型问题-【金版教程】2026年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

微专题训练——圆锥曲线中的交汇与创新型问题

题型一　圆锥曲线中的新定义问题

1．(2025·四川达州通川区高三摸底联考)定义：若椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足＋＝0，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作[A，B]．已知椭圆C的一个焦点坐标为F1(－1，0)，且椭圆过点A.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求证有两个点B满足“共轭点对”[A，B]，并求出点B的坐标；

(3)设(2)中的两个点B分别是B1，B2，已知O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，B1，P，B2，Q顺时针排列且PQ∥OA，证明：四边形B1PB2Q的面积小于4.

解：(1)由题意，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的另一焦点为F2(1，0)，

因此2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝4，

所以a＝2，b＝，

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)设“共轭点对”[A，B]中点B的坐标为(x，y)，根据“共轭点对”[A，B]定义：

点B的坐标满足

所以或

于是有两个点B满足“共轭点对”[A，B]，且点B的坐标为，.

(3)证明：设B1，B2，B1B2所在的直线为l，则l的方程为x＋2y＝0.

设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，则

两式相减，得＋

＝0.

又PQ∥OA，于是＝，

则yP＋yQ＝－(xP＋xQ)，

所以线段PQ的中点在直线l上．

所以线段PQ被直线l平分．

设点P到直线x＋2y＝0的距离为d，

则S四边形B1PB2Q＝2S△PB1B2＝2××|B1B2|×d，

又|B1B2|＝＝，

则有S四边形B1PB2Q＝d.

设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为x＋2y＝m，则当l1与C相切时，d取得最大值．

由消去y得4x2－2mx＋m2－12＝0，(*)

令Δ＝4m2－16(m2－12)＝0，解得m＝±4.

当m＝±4时，方程(*)为4x2±8x＋4＝0，

即(x±1)2＝0，

解得x＝±1，

则此时点P或点Q必有一个和点A重合，不符合条件PQ∥OA，

从而直线l1与C不可能相切，

即d小于直线x＋2y＝0和直线x＋2y＝4(或x＋2y＝－4)的距离＝，

所以S四边形B1PB2Q<×＝4.

2．(2024·陕西铜川王益中学高三模拟)若A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上不同的两点，弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”．已知当x0>p时，点P(x0，0)存在无穷多条“相关弦”．

(1)证明：点P(x0，0)(x0>p)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；

(2)当p＝2时，试问：点P(x0，0)(x0>2)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值(用x0表示)；若不存在，请说明理由．

解：(1)证明：设AB为点P(x0，0)(x0>p)的任意一条“相关弦”，且点A，B的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2)，

则y＝2px1，y＝2px2，

两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)，

因为x1≠x2，所以y1＋y2≠0.

设直线AB的斜率为k，弦AB的中点是M(xM，yM)，

则k＝＝＝＝，

可得AB的垂直平分线l的方程为y－yM＝－(x－xM)，

又点P(x0，0)在直线l上，

所以－yM＝－(x0－xM)，

因为yM≠0，可得xM＝x0－p，

故点P(x0，0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都为x0－p，即横坐标相同．

(2)由(1)得，弦AB所在直线的方程为y－yM＝k(x－xM)，

且k＝，x1＋x2＝2xM，xM＝x0－2，

联立方程整理得k2x2＋2[k(yM－kxM)－2]x＋(yM－kxM)2＝0，

所以x1x2＝＝＝＝(y－2xM)2，