第六章 微专题训练——圆锥曲线中的焦点弦、中点弦、垂直弦问题-【金版教程】2026年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

微专题训练——圆锥曲线中的焦点弦、中点弦、垂直弦问题

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题型一　焦点弦问题

1．(2024·河北张家口高三模拟)已知F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若|AF|＝λ|BF|＝λ，则λ＝(　　)

A．1   B. 

C．3   D．4

答案：C

解析：由|AF|＝λ|BF|＝λ，得|AF|＝λ，|BF|＝1，|AB|＝1＋λ.设直线l与抛物线C的准线交于点D，点A，B，F在准线上的射影分别为A′，B′，F′，则＝＝，即＝，解得|DB|＝.又＝，即＝，解得λ＝3.故选C.

2．(2025·河南部分重点中学高三开学考试)已知F是双曲线C：x2－＝1的左焦点，过点F的直线与C交于A，B两点(点A，B在C的同一支上)，且|BF|＝2|AF|，则|AB|＝(　　)

A．6   B．8 

C.   D.

答案：D

解析：由C：x2－＝1，可得F(－2，0)．根据对称性，不妨设过点F的直线方程为x＝my－2(m>0)，由直线AB与双曲线的渐近线不平行，得m≠±，联立可得(3m2－1)y2－12my＋9＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝　①，由|BF|＝2|AF|，得＝2，又＝(－2－x2，－y2)，＝(x1＋2，y1)，所以－y2＝2y1　②，由①②可得y1＝－，y2＝，所以－×＝，解得m＝或m＝－(舍去)，y1＝，所以|AB|＝·|y1－y2|＝×3|y1|＝×＝.故选D.

3．(多选)(2024·湖南岳阳高三模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与该抛物线相交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点(其中x1>0)，O为坐标原点，则下列说法正确的是(　　)

A．若p＝2，则x1x2＝－4

B．若y1y2＝1，则p＝2

C．若p＝2，则S△OMN＝

D．若p＝2，则|MF|＝8＋4

答案：ABD

解析：若p＝2，则抛物线x2＝4y的焦点坐标为F(0，1)，则直线l的方程为y＝x＋1，联立消去y可得x2－4x－4＝0，又直线l与该抛物线相交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，x1>0，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4，故A正确；设直线l的方程为y－＝x，代入抛

物线x2＝2py，可得y2－7py＋＝0，则y1y2＝＝1，则p＝2，故B正确；由A项分析，知x1＝4＋2，x2＝2－4，y1＝7＋4，y2＝7－4，则|MN|＝y1＋y2＋p＝16，原点O到直线l的距离d＝＝，则S△OMN＝××16＝4，故C错误；|MF|＝y1＋＝7＋4＋1＝8＋4，故D正确．故选ABD.

4．(多选)(2024·四川大数据精准教学联盟高三一模)已知椭圆E：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与椭圆相交于P，Q两点，则(　　)

A．|F1F2|＝1

B．|PQ|≤4

C．当F2，P，Q不共线时，△F2PQ的周长为8

D．设点P到直线x＝－4的距离为d，则d＝2|PF1|

答案：BCD

解析：对于A，由题意知，a＝2，b＝，∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2c＝2，A错误；对于B，∵PQ为椭圆C的焦点弦，∴|PQ|≤2a＝4，B正确；对于C，∵|PF1|＋|PF2|＝|QF1|＋|QF2|＝2a＝4，∴△F2PQ的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PF1|＋|PF2|＋|QF1|＋|QF2|＝8，C正确；对于D，作PM垂直于直线x＝－4，垂足为M，设P(x0，y0)，则d＝|PM|＝|x0＋4|，∵F1(－1，0)，＋＝1，∴|PF1|＝＝＝＝＝，∴2|PF1|＝|x0＋4|，∴d＝2|PF1|，D正确．故选BCD.

5．(2025·湖北重点中学联盟高三联考)已知抛物线y2＝2x，从抛物线内一点A(2，)出发沿平行于x轴的光线经过抛物线上点B反射后交抛物线于点C，则直线BC与x轴交点的横坐标为________，△ABC的面积S为________．

答案：　

解析：由抛物线的光学性质可知，BC过焦点F，即BC与x轴交点的横坐标为