第六章 考点测试40 圆锥曲线中的定点、定值、定线与探索性问题-【金版教程】2026年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

考点测试40　圆锥曲线中的定点、定值、定线与探索性问题

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1．(2025·陕西高三开学校际联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且|PF|＝3，|PE|＝.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是线段MN的中点，O是原点，直线MN，OQ的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值．

解：(1)不妨设双曲线C的半焦距为c(c>0)，

∵|PF|＝3，|PE|＝，

∴＝3，＝，又c2＝a2＋b2，

解得a＝1，b＝2，c＝，

故双曲线C的标准方程为x2－＝1.

(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1≠x2，x1＋x2≠0，则Q，

∵M，N为双曲线C上的两点，∴

两式相减，得(x1－x2)(x1＋x2)

＝，

整理得＝，

则k1k2＝·＝·＝4，为定值．

2．(2025·重庆八中高三开学考试)已知椭圆C1：＋＝1的焦点是椭圆C的顶点，椭圆C2：＋＝1的焦点也是椭圆C的顶点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知点P(1，y0)，y0>0，若P，A，B三点均在椭圆C上，且PA⊥PB，直线PA，PB，AB的斜率均存在，请问直线AB是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

解：(1)椭圆C1：＋＝1的焦点为(±2，0)，

椭圆C2：＋＝1的焦点为(0，±)，

易知椭圆C的焦点在x轴上，且

故椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)因为点P(1，y0)，y0>0在椭圆C：＋＝1上，所以＋＝1，

解得y0＝.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：y＝kx＋m.

联立

得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，

则Δ＝48(3＋4k2－m2)>0，

故m2<3＋4k2，x1＋x2＝，

x1x2＝，

所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，

y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.

因为PA⊥PB，

所以－1＝kPA·kPB＝×，

即(x1－1)(x2－1)＋＝0，

即x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋＝0，

即－＋1＋－×＋＝0，

即7m2＋k2＋8km－9m－＝0，